1、第七章复数7.3*复数的三角表示7.3.1复数的三角表示式 7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义课后篇巩固提升必备知识基础练1.(2021河南郑州期末)已知z=cos3+isin3,则下列结论正确的是()A.z2的实部为1B.z2=z-1C.z2=zD.|z2|=2答案B解析z=cos3+isin3=12+32i.z2=12+32i2=14-34+32i=-12+32i,其实部为-12,故A错误;z-1=-12+32i=z2,故B正确;z=12-32iz2,故C错误;|z2|=-122+322=1,故D错误.故选B.2.将复数z=-23+2i化成三角形式是.答案4cos56+isin
2、56解析模长|z|=(-23)2+22=4,设辐角为,tan =-33,且点(-23,2)在第二象限,得辐角主值为56,故z=4cos56+isin56.3.2(cos 60+isin 60)3=.答案-8解析原式=23cos(603)+isin(603)=8(cos 180+isin 180)=-8.4.计算:4(cos 80+isin 80)2(cos 320+isin 320).解4(cos 80+isin 80)2(cos 320+isin 320)=42cos(80-320)+isin(80-320)=2cos(-240)+isin(-240)=2-12+32i=-1+3i.5.已知
3、z1=12cos3+isin3,z2=6cos6+isin6,计算z1z2,并说明其几何意义.解z1z2=126cos3+6+isin3+6=3cos2+isin2=3i.首先作复数z1对应的向量OZ1,然后将OZ1绕点O按逆时针方向旋转6,再将其长度伸长为原来的6倍,得到的向量即为z1z2所对应向量.6.已知复数z=r(cos +isin ),r0,求1z的三角形式.解1z=(cos0+isin0)r(cos+isin)=1rcos(0-)+isin(0-)=1rcos(-)+isin(-).关键能力提升练7.复数z=-1+1+i1-i2 021的辐角主值为.答案34解析因为1+i1-i=i
4、,所以1+i1-i2 021=i2 021=i.所以z=-1+i=2cos34+isin34,所以复数z的辐角主值为34.8.12-32i20(3i)=.答案-36+16i解析原式=cos-3+isin-3203cos2+isin2=cos-203+isin-2033cos2+isin2=cos43+isin433cos2+isin2=13cos43-2+isin43-2=13cos56+isin56=13-32+12i=-36+16i.9.莱昂哈德欧拉发现并证明了欧拉公式ei=cos +isin ,从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的取作就得到了欧拉恒等式ei+1=0,它是数学里令
5、人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来:两个超越数(自然对数的底数e,圆周率),两个单位(虚数单位i,自然数单位1)以及0.请你根据欧拉公式:ei=cos +isin ,解决以下问题:(1)试将复数e3i写成a+bi(a,bR,i是虚数单位)的形式;(2)试求复数e3i+12的模.解(1)根据欧拉公式可得e3i=cos3+isin3=12+32i.(2)由题意可知e3i+12=12+32i+12=1+32i,因此,e3i+12=12+322=72.10.已知复数z的模为2,实部为3,求复数z的代数形式和三角形式.解由题意,可设z=3+bi(bR).|z|=2,3+b2=2,解得b=
6、1,z=3+i或z=3-i.化为三角形式,得z=2cos6+isin6或z=2cos-6+isin-6.11.计算下列各式的值:(1)-12+32i2cos3+isin3;(2)3(cos 63+isin 63)2(cos 99+isin 99)5(cos 108+isin 108).解(1)-12+32i2cos3+isin3=cos23+isin232cos3+isin3=2(cos +isin )=-2.(2)3(cos 63+isin 63)2(cos 99+isin 99)5(cos 108+isin 108)=30(cos 270+isin 270)=-30i.12.求证:(cos
7、3+isin3)3(cos2+isin2)7(cos4+isin4)6=cos -isin .证明左边=(cos9+isin9)(cos14+isin14)(cos24+isin24)=(cos23+isin23)(cos24+isin24)=cos(-)+isin(-)=cos -isin =右边.学科素养创新练13.已知k是实数,是非零复数,且满足arg =34,(1+)2+(1+i)2=1+k.(1)求;(2)设z=cos +isin ,0,2),若|z-|=1+2,求的值.解(1)arg =34,可设=a-ai(aR),将其代入(1+)2+(1+i)2=1+k,化简可得2a+2a(1+a)i+2i=ka-kai,2a=ka,2a(1+a)+2=-ka,解得k=2,a=-1,=-1+i.(2)|z-|=|(cos +1)+(sin -1)i|=(cos+1)2+(sin-1)2=3+2(cos-sin)=3+22cos(+4).|z-|=1+2,3+22cos+4=1+2,化简得cos+4=1.4+42+4,+4=2,即=74.4
