1、圆幂定理【教学目标】1知识与技能：（1）理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算；（2）学会作两条已知线段的比例中项；2过程与方法：师生互动，生生互动，共同探究新知；3情感、态度、价值观：通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法。【教学重难点】重点：正确理解相交弦定理及其推论难点：相交弦定理及其推论的熟练运用【教学过程】前面讨论了与圆有关的角之间的关系。下面我们讨论与圆有关的线段的关系及其度量问题。下面沿用从特殊到一般地思路，讨论与圆的相交弦有关的问题。探究1 如图2-20，AB是O的直径，CDABAB与CD相交于P，线段PAPBPCPD之间有什么关系？(老师引
2、导学生完成推导过程)探究2 将图2-20中的AB向上(或向下)平移，使AB不再是直径(图2-21)，探究1的结论还成立吗？连接ADBC，请同学们自己给出证明。探究3 如果CD与AB不垂直，如图2-22，CDAB是圆内的任意两条相交弦，探究1的结论还成立吗？事实上，AB、CD是圆内的任意相交弦时，探究1仍然成立，而证方法不变。请同学们自己给出证明。由上诉探究和论证，我们有1相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。探究4在图2-24中，使割线PB绕P运动到切线的位置(图2-25)，线段PA(或PB)、PCPD之间有什么关系？(老师引导学生完成推导过程)由上诉探究和论证，我们有
3、2切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。探究5下面对相交弦定理和切割弦定理作进一步分析： 由切割线定理和相交弦定理不难看出，不论点P在圆内或圆外，通过圆的任一条割线交圆于A，B两点，只要点P的位置确定了，则 PA PB 都是定值。设定植为k，则：当点P在圆外时，如图，由切割线定理，可得k = PA PB = PT2 = PO2 - r2 ( r表示O的半径 )当点P在圆内时， 如图， 过点P作AB垂直于OP， 则：k = PA PB = PA2 = r2 - PO2 ( r表示O的半径 )当点P在圆上时，显然k=0.由上，我们可以得到：3圆幂
4、定理：已知(O，r)，通过一定点的任意一条割线交圆于A ， B两点，则：当点P在圆外时，k= PO2 - r2 ；当点P在圆内时，k= r2 - PO2；当点P在O上时，k= 0.我们称定值k为点 P 对O 的 “幂”【自主检测】1圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为_。2已知：O和不在O上的一点P，过P的直线交O于A、B两点，若PAPB24，OP5，则O的半径长为_。3若PA为O的切线，A为切点，PBC割线交O于B、C，若BC20，PA=，则PC的长为_。4AB、CD是O切线，ABCD，O的切线EF和AB、CD分别交于E、F，则EOF_。【例题解析】例
5、1已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12cm和16cm两段，第二条弦的长度为32cm，求第二条弦被交点分成的两端的长。解：设第二条弦被交点分成的一端长为 x cm， 则另一段长为 (32 x) cm，根据相交弦定理，有 x (32 x)=1216，即x2 32x+192=0. 解得x1=8或x2=24因此 32 x1=24，32 x2=8 另一条弦被交点分成的两端长分别为8cm ，24cm。例2已知：线段a，b(如图)求作：线段c，使c2=aB作法：1作线段AP=a；2延长AP到点B，使PB=b；3以AB为直径作半圆；4过点P作PCAB，交半圆于点CPC就是a，b的比列中项C例3已知如图，在O中，C是O上异于A，B的一点，弦AB的延长线与过点C的切线相交于P，过B作O的切线交CP于点D，且CDB=90，CD=3，PD=4求O的弦AB的长。解：因为DC切O于点C，DB切O于点B，所以CD=BD=3，因为CDB=90，PD=4，所以【课堂小结】回顾本课学习了哪些知识？
