1、5.1.2导数的概念及其几何意义课后篇巩固提升必备知识基础练1.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为5x-y+1=0,则()A.f(x0)0B.f(x0)0C.f(x0)=0D.f(x0)不存在答案A解析由切线方程可以看出其斜率是5,又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数,所以A正确.2.(2020江苏高二期末)函数f(x)=x2-sin x在0,上的平均变化率为()A.1B.2C.D.2答案C解析平均变化率为f()-f(0)-0=2=.故选C.3.已知f(x)=-23x2,若f(a)=13,则a的值等于()A.-14B.14C.-49D.34答案A解析由导数的定义
2、得f(x)=limx0-23(x+x)2-23x2x+x-x=limx0-43xx-23(x)2x=limx0-43x-23x=-43x,因此f(a)=-43a=13,则a=-14.4.(2020宁夏育才中学高二期末)设函数y=f(x)的导函数为f(x),若y=f(x)的图象在点P(1,f(1)处的切线方程为x-y+2=0,则f(1)+f(1)=()A.4B.3C.2D.1答案A解析点P(1,f(1)在切线x-y+2=0上,1-f(1)+2=0,解得f(1)=3.又f(1)=1,f(1)+f(1)=4.故选A.5.(多选)曲线y=9在点P处的切线的倾斜角为34,则点P的坐标可能为()A.(3,
3、3)B.(-3,-3)C.(9,1)D.(1,9)答案AB解析由导数定义得y=limx09x+x-9xx=limx0-9x(x+x)=-9x2,设P(x0,y0),则由导数的几何意义可得-9x02=tan 34=-1,解得x0=3,从而y0=3,即点P的坐标为(3,3)或(-3,-3).6.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+x)-f(x0)=ax+b(x)2(a,b为常数),则f(x0)=.答案a解析f(x0)=limx0f(x0+x)-f(x0)x=limx0ax+b(x)2x=limx0(a+bx)=a.7.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(x)在A,B两点处的导
4、数f(a)与f(b)的大小关系为f(a)f(b).(填“”)答案解析f(a)与f(b)分别表示函数图象在点A,B处的切线斜率,由图象可得f(a)f(b).8.曲线y=x2-2x+3在点A(-1,6)处的切线方程是.答案4x+y-2=0解析因为y=x2-2x+3,切点为A(-1,6),所以斜率k=yx=-1=limx0(-1+x)2-2(-1+x)+3-(1+2+3)x=limx0(x-4)=-4,所以切线方程为y-6=-4(x+1),即4x+y-2=0.9.利用导数的定义求函数f(x)=x+2在x=2处的导数.解y=(2+x)+2-2+2=4+x-2,yx=4+x-2x=(4+x-2)(4+x
5、+2)x(4+x+2)=14+x+2.f(2)=limx0yx=limx014+x+2=14.10.已知函数y=f(x)=-x2+x图象上两点A(2,f(2),B(2+x,f(2+x)(x0).(1)若割线AB的斜率不大于-1,求x的取值范围;(2)求函数y=f(x)=-x2+x的图象在点A(2,f(2)处切线的斜率.解(1)由题意得,割线AB的斜率为yx=f(2+x)-f(2)x=-(2+x)2+(2+x)-(-4+2)x=-4x+x-(x)2x=-3-x,由-3-x-1,得x-2.又因为x0,所以x的取值范围是(0,+).(2)由(1)知函数y=f(x)=-x2+x的图象在点A(2,f(2
6、)处切线的斜率为k=limx0yx=limx0(-3-x)=-3.关键能力提升练11.(2021江西南昌江西师大附中高二期末)设函数y=f(x)在R上可导,则limx0f(1+x)-f(1)3x等于()A.f(1)B.3f(1)C.13f(1)D.以上都不对答案C解析根据导数的定义limx0f(1+x)-f(1)x=f(1).所以limx0f(1+x)-f(1)3x=13limx0f(1+x)-f(1)x=13f(1),故选C.12.(2021安徽滁州高二期末)函数y=f(x)=x2在区间x0,x0+x上的平均变化率为k1,在区间x0-x,x0上的平均变化率为k2,x0,则k1与k2的大小关系
7、为()A.k1k2B.k10,所以k1k2.故选A.13.(多选)已知函数f(x)和g(x)在区间a,b上的图象如图所示,则下列说法正确的是()A.f(x)在a,b上的平均变化率等于g(x)在a,b上的平均变化率B.f(x)在a,b上的平均变化率小于g(x)在a,b上的平均变化率C.对于任意x0(a,b),函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率D.存在x0(a,b),使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率答案AD解析f(x)在a,b上的平均变化率是f(b)-f(a)b-a,g(x)在a,b上的平均变化率是g(b)
8、-g(a)b-a,又f(b)=g(b),f(a)=g(a),f(b)-f(a)b-a=g(b)-g(a)b-a,故A正确,B错误;易知函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x0处的导数,即函数f(x)在该点处的切线的斜率,同理可得,函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数g(x)在该点处的导数,即函数g(x)在该点处的切线的斜率,由题中图象可知,当x0(a,b)时,函数f(x)在x=x0处切线的斜率有可能大于g(x)在x=x0处切线的斜率,也有可能小于g(x)在x=x0处切线的斜率,故C错误,D正确.故选AD.14.(多选)(2020广西高三期末)近两年为抑制房价过快上涨,
9、政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价,提出多种方案,其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示,则在以下四种房产供应方案中,在时间0,T内供应效率(单位时间的供应量)不逐步提高的是()答案ACD解析单位时间的供应量逐步提高时,供应量的增长速度越来越快,图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大,则曲线是上升的,且越来越陡,故选ACD.15.曲线f(x)=2x在x=-2处的导数为,在点(-2,-1)处的切线方程为.答案-12x+2y+4=0解析f(-2)=limx0f(-2+x)-f(
10、-2)x=limx02-2+x+1x=limx01-2+x=-12,切线方程为y+1=-12(x+2),即x+2y+4=0.16.如图,函数f(x)的图象在点P处的切线方程为y=-2x+5,则f(2)+f(2)=.答案-1解析函数y=f(x)的图象在点x=2处的切线方程是y=-2x+5,f(2)=-2,又P(2,f(2)为切点,f(2)=-4+5=1,f(2)+f(2)=-2+1=-1.17.若抛物线y=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,在点P处的切线恰好过坐标原点,则实数c的值为.答案4解析y=limx0yx=2x-1,抛物线在点P处切线的斜率为2(-2)-1=-5.因为点P的横坐标是-2
11、,所以点P的纵坐标是6+c,故直线OP的斜率为-6+c2,根据题意有-6+c2=-5,解得c=4.18.已知直线y=4x+a和曲线y=x3-2x2+3相切,求切点坐标及实数a的值.解设直线与曲线相切于点P(x0,y0),则f(x)=limx0(x+x)3-2(x+x)2+3-(x3-2x2+3)x=3x2-4x.由导数的几何意义,得f(x0)=3x02-4x0=4,解得x0=-23或x0=2,切点坐标为-23,4927或(2,3).当切点为-23,4927时,有4927=4-23+a,a=12127.当切点为(2,3)时,有3=42+a,a=-5,因此切点坐标为-23,4927或(2,3),a
12、的值为12127或-5.学科素养创新练19.已知曲线y=x2,(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.解(1)设切点为(x0,y0),y|x=x0=limx0(x0+x)2-x02x=limx0x02+2x0x+(x)2-x02x=2x0,y|x=1=2.曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.(2)点P(3,5)不在曲线y=x2上,设切点为A(x0,y0),由(1)知,y|x=x0=2x0,切线方程为y-y0=2x0(x-x0),由P(3,5)在所求直线上,得5-y0=2x0(3-x0),再由A(x0,y0)在曲线y=x2上,得y0=x02,联立得x0=1或x0=5.从而切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2,此时切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10,此时切线方程为y-25=10(x-5),即10x-y-25=0.综上所述,过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程为2x-y-1=0或10x-y-25=0.6
