1、72.2两条直线的位置关系1利用法向量确定两直线的位置关系(1)两条直线平行或重合它们的法向量平行(2)两条直线相交它们的法向量不平行(3)两条直线垂直它们的法向量垂直2两直线的夹角两直线的夹角的大小规定在0的范围内，当法向量的夹角满足0时， ；当法向量的夹角时，.3定理2设直线l1，l2的方程分别为l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20l1与l2重合存在实数0，使l1与l2平行存在实数0，使l1与l2相交A1B2A2B10；l1与l2垂直A1A2B1B20；l1与l2夹角的余弦cos .1如何利用方程来判断两直线的位置关系呢？提示将两条直线的方程联立得方程组，若方程组有唯一解，则
2、两条直线相交，此解就是交点的坐标，若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行2直线的夹角和向量的夹角有何区别？提示直线的夹角的范围为，而向量的夹角的范围为0，3如何理解和应用定理2?提示不需死记定理2，只需掌握它的思路，将直线方程之间的关系转化为法向量之间的关系，先找直线的法向量判断两直线是否相交 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点(1)l1：2xy7和l2：3x2y70；(2)l1：2x6y40和l2：4x12y80；(3)l1：4x2y40和l2：y2x3.自主解答(1)方程组的解为因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，1)(2)方程组有无数组解，表明直线l1和l2
3、重合(3)方程组无解，表明直线l1和l2没有公共点，故l1l2.方程组有一解，说明两直线相交；方程组没有解说明两直线没有公共点，即两直线平行；方程组有无数个解说明两直线重合1判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标：(1)(2)解：解方程组得该方程组有唯一解所以两直线相交，且交点坐标为.(2)解方程组6得2x6y30，因此和可以化成同一个方程，即和有无数组解，所以两直线重合判断两直线的位置关系 a为何值时，直线(a1)x2y40与xay10.(1)平行？(2)垂直？自主解答(1)若两直线平行，则存在实数0，使得解得或当a2或a1时，两直线平行(2)若两直线垂直，则有(a1)1(
4、2)(a)0，解之得a.当a时，两直线垂直两直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.(1)l1l2A1B2A2B10，且B1C2B2C10；l1l2A1A2B1B20；(2)也可利用法向量来直接求解2已知两条直线l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0.当m取何值时，l1与l2：(1)相交？(2)平行？(3)垂直？解：l1的法向量为n1(1，m)，l2的法向量为n2(m2,3)(1)若l1与l2相交，则n1与n2不平行3m(m2)0，即m3或m1.(2)若l1与l2平行，则n1n2m(m2)30，m3或m1.经检验，当m3时重合，当m1时，平行(3)若l1与l2垂直，则(m
5、2)m30，m.m时，两直线垂直.求两直线夹角的余弦值 求直线l1：2x3y30与l2：3x4y20的夹角的余弦值自主解答由直线方程知A12，B13，A23，B24，l1与l2的夹角的余弦值为：cos .求两直线的夹角，只要写出A1，B1，A2，B2的值，再利用公式去求解3求直线l1：2xy30和l2：x2y10的夹角的余弦值解：因为A12，B11，A21，B22，所以cos .随堂体验落实1直线x2y20与直线2xy30的交点坐标是()A(4,1)B(1,4)C. D.解析：由方程组得即直线x2y20与直线2xy30的交点坐标是.答案：C2已知直线(a2)xay10与直线2x3y50平行，则
6、a的值为()A6 B6C D.解析：若两直线平行，则，解得a6.答案：B3直线(a2)x(1a)y30与(a1)x(2a3)y20互相垂直，则a为()A1 B1C1 D解析：若两直线互相垂直，则(a2)(a1)(1a)(2a3)0，(a1)(a1)0，a1.答案：C4经过两直线2x3y30和xy20的交点且与直线3xy10垂直的直线l的方程为_解析：由方程组得又所求直线与直线3xy10垂直，故k，直线方程为y，即5x15y180.答案：5x15y1805直线(3a2)x(14a)y80和(5a2)x(a4)y70互相垂直，求a的值解：两直线的法向量分别为n1(3a2,14a)，n2(5a2，a
7、4)若两直线垂直，则n1n20.(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，即11a(a1)0，a0或a1.感悟高手解题多解题求经过直线x2y10和xy20的交点且与直线2xy30平行的直线l的 方程解：法一：由方程组得直线l与直线2xy30平行，可设l为2xyC0.l过点(5,3)，2(5)3C0，解得C13.直线l的方程为2xy130.法二：直线l过两直线x2y10和xy20的交点，可设直线l的方程为x2y1(xy2)0，即(1)x(2)y210.直线l与直线2xy30平行，解之，得.从而所求直线方程为2xy130.一、选择题1两条直线xya0与xy20相交于第一象限，则实数a的取值范围是(
8、)A(2,2)B(，2)C(2，) D(，2)(2，)解析：联立方程组，解得.由交点在第一象限得解得a2.答案：C2直线l1：2x(m1)y40与直线l2：mx3y20平行，则m的值为()A2 B3C2或3 D2或3解析：若两直线平行，则.解得：m3或m2.答案：C3若直线axby110与3x4y20平行，并过直线2x3y80和x2y30的交点，则a，b的值分别为()A3，4 B3,4C4,3 D4，3解析：由方程组得交点B(1,2)，代入方程axby110中，有a2b110， 又直线axby110平行于直线3x4y20，所以， .由，得a3，b4.答案：B4已知直线l1：3x4y50与l2：
9、3x5y60相交，则它们夹角的余弦值为()A. BC. D.解析：因为A13，B14，A23，B25，所以cos .答案：A二、填空题5两直线2x3yk0和xky120互相垂直，则k_.解析：A12，B13，A21，B2k，213(k)0.答案：6已知直线l1经过点A(3，a)，B(a2，3)，直线l2经过点C(2,3)，D(1，a2)，如果l1l2，则a_.解析：直线l1的法向量n1(a5，3a)，直线l2的法向量n2(3，a5)若l1l2，则n1n20，即3(a5)(3a)(a5)0.a5或a6.答案：6或57若直线l1：xy0与直线l2：axy10的夹角为60，则a_.解析：因为A1，B
10、11，A2a，B21，则由已知得cos 60，解得a0或a.答案：0或8若两直线(m2)xym0，xy0与x轴围成三角形，则实数m的取值范围是_解析：当直线(m2)xym0，xy0及x轴两两不平行，且不共点时，必围成三角形当m2时，(m2)xym0与x轴平行；当m3时，(m2)xym0与xy0平行；当m0时，三条直线都过原点，所以m的取值范围为m|m3，且m2，且m0答案：m|m3，且m2，且m0三、解答题9求经过两条直线2x3y30和xy20的交点，且与直线x3y10垂直的直线的方程解：由得两直线的交点坐标为.因为所求直线与x3y10垂直，而x3y10的法向量为(1，3)，所以所求直线的法向量为(3,1)，故所求直线方程具有的形式为3xyC0.把点代入得3C0，C.故所求直线方程为3xy0，即15x5y160.10已知两直线l1：x(1m)ym2，l2：2mx4y16，求当m为何值时，l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合；(4)垂直解：直线l1和l2的法向量分别为n1(1,1m)，n2(2m,4)(1)若两直线相交，则n1与n2不平行，42m(1m)0，解得，m2且m1.(2)若两直线平行，则，解得m1.(3)若两直线重合，则，解得m2.(4)若两直线垂直，则n1n2，2m4(1m)0，m.
