1、第1章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若ab,则a+b=() A.(-2,-1)B.(2,1)C.(3,-1)D.(-3,1)答案A解析ab,2(-2)-x=0,x=-4.a+b=(2,1)+(-4,-2)=(-2,-1).2.在ABC中,若A=60,BC=43,AC=42,则B的大小为()A.30B.45C.135D.45或135答案B解析由正弦定理,得BCsinA=ACsinB,则sin B=ACsinABC=42sin6043=22.因为
2、BCAC,所以AB,而A=60,所以B=45.3.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)2-c2=4,C=120,则ABC的面积为()A.33B.233C.3D.23答案C解析将c2=a2+b2-2abcos C与(a+b)2-c2=4联立,解得ab=4,故SABC=12absin C=3.4.(2021陕西西安模拟)已知|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为6,则|a-3b|=()A.7B.22C.10D.19答案A解析|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为6,ab=1232=3.|a-3b|2=a2-23ab+3b2=1-233+322=7,故|a-3b|=7
3、.故选A.5.(2021福建福清期中)在ABC中,a=2,b=2,A=6,则此三角形()A.无解B.有两解C.有一解D.解的个数不确定答案B解析在ABC中,a=2,b=2,A=6,由正弦定理可得sin B=bsinAa=2122=22.所以B=4,或B=34,则此三角形有两解.故选B.6.(2018全国高考)在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=()A.34AB-14ACB.14AB-34ACC.34AB+14ACD.14AB+34AC答案A解析如图,EB=-BE=-12(BA+BD)=12AB-14BC=12AB-14(AC-AB)=34AB-14AC.7.(2020山东
4、潍坊模拟)如图所示,半圆的直径AB=4,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点.若P为半径OC上的动点,则(PA+PB)PC的最小值是()A.2B.0C.-1D.-2答案D解析由平行四边形法则得PA+PB=2PO,故(PA+PB)PC=2POPC,|PC|=2-|PO|,且PO,PC反向,设|PO|=t(0t2),则(PA+PB)PC=2POPC=-2t(2-t)=2(t2-2t)=2(t-1)2-1.0t2,当t=1时,(PA+PB)PC取得最小值-2,故选D.8.(2020湖北模拟)如图,在平行四边形ABCD中,DE=12EC,F为BC的中点,G为EF上的一点,且AG=79AB+mAD
5、,则实数m的值为()A.23B.13C.-13D.-23答案A解析DE=12EC,F为BC的中点,DE=13AB,BF=12AD.设AG=AE+(1-)AF=(AD+DE)+(1-)(AB+BF)=AD+13AB+(1-)AB+12AD=1-23AB+2+12AD,又AG=79AB+mAD,1-23=79,m=2+12,解得m=23.故选A.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2020江西南昌模拟)已知向量a=(1,-2),|b|=4|a|,ab,则b可能是()A.(4,-8)B.(
6、8,4)C.(-4,-8)D.(-4,8)答案AD解析当b=-4a时,b=(-4,8);当b=4a时,b=(4,-8).10.对于任意的平面向量a,b,c,下列说法错误的是()A.若ab且bc,则acB.(a+b)c=ac+bcC.若ab=ac,且a0,则b=cD.(ab)c=a(bc)答案ACD解析对于A,b=0,说法错误;对于B,显然正确;对于C,若a和b,c都垂直,显然b,c至少在模的方面没有特定关系,所以说法错误;对于D,如图,若a=AB,b=AC,c=AD,则(ab)c与a(bc)分别是与c,a共线的向量,显然(ab)c=a(bc)不成立.11.(2021湖北武汉期中)在ABC中,A
7、,B,C所对的边分别为a,b,c,则下面说法正确的是()A.若bsin A=acos B,则B=4B.若bcos2CC.若B=4,b=2,a=3,则满足条件的三角形共有两个D.若ABBC0,则满足条件的三角形为钝角三角形答案AB解析对于A,利用扩充的正弦定理得2Rsin Bsin A=2Rsin Acos B,由于0A,整理得sin B=cos B,故B=4,故A正确;对于B,由于bc,所以0sin Bsin C,故sin2Bsin2C,即1-cos2Bcos2C,故B正确;对于C,由于B=4为锐角,b=2,a=3,ba,则三角形的解只有一个,故C错误;对于D,由于ABBC0),解得a=4x,
8、b=5x,c=6x,所以sin Asin Bsin C=abc=456,所以A正确;由上可知,c边最大,所以三角形中角C最大,又cos C=a2+b2-c22ab=(4x)2+(5x)2-(6x)224x5x=180,所以角C为锐角,所以B错误;由上可知a边最小,所以三角形中角A最小,又cos A=c2+b2-a22cb=(6x)2+(5x)2-(4x)226x5x=34,所以cos 2A=2cos2A-1=18,所以cos 2A=cos C.由三角形中角C最大且角C为锐角可得,2A(0,),C0,2,所以2A=C,所以C正确;由扩充的正弦定理得2R=csinC,又sin C=1-cos2C=
9、378,所以2R=6378,解得R=877,所以D正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2019全国高考)已知a,b为单位向量,且ab=0,若c=2a-5b,则cos=.答案23解析a,b为单位向量,|a|=|b|=1.又ab=0,c=2a-5b,|c|2=4|a|2+5|b|2-45ab=9,|c|=3.又ac=2|a|2-5ab=2,cos=ac|a|c|=213=23.14.(2021福建福清期中)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,向量a与b的夹角为60,则|2a-3b|=.答案27解析|a|=1,|b|=2,=60,ab=1212=1,|2a-3b|=(
10、2a-3b)2=4a2+9b2-12ab=4+36-12=27.15.如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度:AB=5 km,BC=8 km,CD=3 km,DA=5 km,如图所示,且A,B,C,D四点共圆,则AC的长为 km.答案7解析因为A,B,C,D四点共圆,所以B+D=.由余弦定理,得AC2=52+32-253cos D=34-30cos D,AC2=52+82-258cos B=89-80cos B.由于B+D=,即cos B=-cos D,因此-34-AC230=89-AC280,解得AC=7.16.在四边形ABCD中,AB=DC
11、=(1,1),1|BA|BA+1|BC|BC=3|BD|BD,则四边形ABCD的面积为.答案3解析由AB=DC=(1,1),可知四边形ABCD为平行四边形,且|AB|=|DC|=2,因为1|AB|BA+1|BC|BC=3|BD|BD,所以可知平行四边形ABCD的对角线BD平分ABC,四边形ABCD为菱形,其边长为2,且对角线BD长等于边长的3倍,即BD=32=6.设对角线BD与AC交于点E,则CE2=(2)2-622=12,即CE=22,所以三角形BCD的面积为12622=32,所以四边形ABCD的面积为232=3.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1
12、7.(10分)已知a=(1,2),b=(-3,1).(1)求a-2b;(2)设a,b的夹角为,求cos 的值;(3)若向量a+kb与a-kb互相垂直,求k的值.解(1)a-2b=(1,2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0).(2)cos =ab|a|b|=1(-3)+211+(-3)222+1=-210.(3)因为向量a+kb与a-kb互相垂直,所以(a+kb)(a-kb)=0,即a2-k2b2=0,因为a2=5,b2=10,所以5-10k2=0,解得k=22.18.(12分)设向量a,b满足|a|=|b|=1,且|3a-2b|=7.(1)求a与b的夹角;(2)求|2a+3b|.
13、解(1)设a与b的夹角为.由已知得(3a-2b)2=7,即9|a|2-12ab+4|b|2=7,因此9+4-12cos =7,于是cos =12,故 =3,即a与b的夹角为3.(2)|2a+3b|=|2a+3b|2=4|a|2+12ab+9|b|2=4+1212+9=19.19.(12分)ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin Asin B+bcos2A=2a.(1)求ba;(2)若c2=b2+3a2,求B.解(1)由正弦定理得,sin2Asin B+sin Bcos2A=2sin A,即sin B(sin2A+cos2A)=2sin A.故sin B=2sin A,所以
14、ba=2.(2)由余弦定理和c2=b2+3a2,得cos B=(1+3)a2c.由(1)知b2=2a2,故c2=(2+3)a2.可得cos2B=12,又cos B0,故cos B=22,所以B=45.20.(12分)在四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.解(1)ADC=90,A=45,AB=2,BD=5,由正弦定理得ABsinADB=BDsinA,即2sinADB=5sin45,sinADB=2sin455=25.ABBD,ADBA,cosADB=1-252=235.(2)ADC=90,cosBDC=sinADB=25
15、.DC=22,BC=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=5.21.(12分)在ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,若asin B=3bcos A.(1)求A;(2)若ABC的面积为23,a=5,求ABC的周长.解(1)由题意,在ABC中,因为asin B=3bcos A,所以由正弦定理,可得sin Asin B=3sin Bcos A,又因为B(0,),可得sin B0,所以sin A=3cos A,即tan A=3.因为A(0,),所以A=3.(2)由(1)可知A=3,且a=5,又由ABC的面积23=12bcsin A=34bc,解得bc=8,由余弦定理a
16、2=b2+c2-2bccos A,可得25=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-24,整理得(b+c)2=49,解得b+c=7,所以ABC的周长a+b+c=5+7=12.22.(12分)(2021江苏宜兴期中)已知向量OA,OB是平面内两个不共线的单位向量,C为平面内一动点,且CACB,CP=CA+CB.(1)若P为OC的中点,求向量OA与OB夹角的余弦值;(2)若|OP|12,求|OC|的取值范围.解(1)CACB,CACB=(OA-OC)(OB-OC)=0,OAOB-OAOC-OCOB+OC2=0.CP=CA+CB,OP-OC=OA-OC+OB-OC.若P为OC的中点,则OP=12OC,可得OA+OB=32OC,OAOB-23(OA+OB)2+49(OA+OB)2=0.向量OA,OB是不共线的单位向量,设其夹角为,展开上式可得cos -29(2+2cos )=0,即cos =45.(2)由(1)知,OP=OA+OB-OC,|OP|=|OA+OB-OC|12,即0OA2+OB2+OC2+2OAOB-2OAOC-2OBOC14,02+OC2-2OC214,解得72|OC|2,|OC|的取值范围是72,2.8
