1、多元复合函数的求导法则一阶全微分形式不变性隐函数的导数,8.4 多元函数的求导法则,一 多元复合函数的求导法则,证,中间变量为一元函数的情形,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数 称为全导数.,设zf(u v)u(t)v(t)则,定理2 如果函数u(x y)v(x y)都在点(x y)具有对x及y的偏导数 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf(x y)(x y)在点(x y)的两个偏导数存在 且有,中间变量为多元函数的情形,定理1的推广,设zf(u v w)u(x y)v(x y)w(x y)则,设zf(u v)u(x y)v(x y
2、)则,例1,解,exyy sin(xy)cos(xy),eusin v,1,eucos v,y,eusin v,exyx sin(xy)cos(xy),1,eucos v,x,设zf(u v)u(t)v(t)则,设zf(u v)u(x y)v(x y)则,设zf(u v)u(t)v(t)则,讨论,提示,设zf(u x y)且u(x y)则,例2,解,etcos tetsin tcos t,v,cos t,+u,et,(sin t),解,et(cos tsin t)cos t.,解,令uxyz,vxyz,则wf(u,v).,例4 设wf(xyz,xyz),f具有二阶连续偏导数,设zf(u,v)具
3、有连续偏导数,则有全微分,二 全微分形式不变性,如果zf(u,v)具有连续偏导数,而uj(x,y),vy(x,y)也具有连续偏导数,则,由此可见,无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数,它的全微分形式是一样的.这个性质叫做全微分形式不变性.,设zf(u,v)具有连续偏导数,则有全微分,二 全微分形式不变性,如果zf(u,v)具有连续偏导数,而uj(x,y),vy(x,y)也具有连续偏导数,则,例5 设zeusinv,uxy,vxy,利用全微分形式不变性求全微分.,解,exyysin(xy)cos(xy)dx,(yeusinveucosv)dx(xeusinveucosv)dy,eusinv,eusinv,exyxsin(xy)cos(xy)dy.,dv,eucosv,du,(dxdy),eucosv,(ydxxdy),隐函数的求导公式,三 隐函数的导数,解,令,则,解,令,则,1、链式法则（分三种情况）,2、全微分形式不变性,（特别要注意课中所讲的特殊情况）,（理解其实质）,小结,（分以下几种情况）,3 隐函数的求导法则,小结,思考题,思考题解答,作业：P271 1 2 5(1)(2),
