1、4.1 不定积分的概念与性质,一、原函数与不定积分的概念,二、基本积分表,三、不定积分的性质,四、积分表的使用,一、原函数与不定积分的概念,原函数的概念 如果在区间I上,可导函数F(x)的导函数为f(x),即对任一xI,都有F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数.,原函数举例,所以sin x是cos x的原函数.,因为(sin x)cos x,提问：,原函数存在定理,如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数F(x),使对任一xI 都有F(x)f(x).简单地说就是:连续函数一定有原函数.,两点说明：1.如果
2、函数f(x)在区间I上有原函数F(x),那么f(x)就有无限多个原函数,F(x)C都是f(x)的原函数,其中C是任意常数.2.函数 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数,即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数,则(x)F(x)C(C为某个常数).,不定积分中各部分的名称：-称为积分号,f(x)-称为被积函数,f(x)dx-称为被积表达式,x-称为积分变量.,不定积分的概念,在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分,记作,根据定义,如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,那么F(x)C就是f(x)的不定积分,即,在区间I上,
3、函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分,记作,不定积分的概念,例1,因为sin x 是cos x 的原函数,所以,如果F(x)是f(x)的一个原函数,则,例2,合并上面两式,得到,解,如果F(x)是f(x)的一个原函数,则,例3 设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解 设所求的曲线方程为yf(x),则曲线上任一点(x,y)处的切线斜率为yf(x)2x,即f(x)是2x 的一个原函数.,故必有某个常数C使f(x)x2C,即曲线方程为yx2C.因所求曲线通过点(1,2),故21C,C1.于是所求曲线方
4、程为yx21.,因为,函数f(x)的积分曲线也有无限多.函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率.,积分曲线 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线.,2x的积分曲线,微分与积分的关系 从不定积分的定义可知,又由于F(x)是F(x)的原函数,所以,由此可见,如果不计任意常数,则微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,二、基本积分表,例5,例4,例6,三、不定积分的性质,这是因为,f(x)g(x).,性质1,三、不定积分的性质,性质1,性质2,例7,例8,例10,三、不定积分的性质,性质1,性质2,例9,例11,例12,例13,tan xxC.,例1
5、4,例15,四 积分表的使用,积分的计算要比导数的计算来得灵活、复杂.为了实用的方便,往往把常用的积分公式汇集成表,这种表叫做积分表.求积分时,可根据被积函数的类型直接地或经过简单变形后,在表内查得所需的结果.,上页,下页,铃,结束,返回,首页,例16,这是含有axb的积分,解,这里a=3、b=4,于是,在积分表中查得公式,解,因为,例17,在积分表中查得公式,解,例18,这是含三角函数的积分.,在积分表中查得公式,这里a=5、b=-4,a 2b2,于是,例19,解,这是含三角函数的积分.,在积分表中查得公式,这里n=4,于是,基本积分表(1),不定积分的性质,原函数的概念：,不定积分的概念：,求微分与求积分的互逆关系,四、小结,思考题,符号函数,在 内是否存在原函数？为什么？,思考题解答,不存在.,假设有原函数,故假设错误,所以 在 内不存在原函数.,结论,每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.,作业 P120 2双数,练习,1.若,提示:,2.若,的导函数为,则,的一个原函数,是().,提示:,已知,求,即,B,?,?,3.求下列积分:,提示:,
