1、6.4二阶常系数线性微分方程,一、线性微分方程的解的结构,二、二阶常系数齐次线性方程,三、二阶常系数非齐次线性微分方程,6.4二阶常系数线性微分方程,一般形式,y+py+qy=f(x),当f（x）=0时，称为齐次的,当f（x）0时，称为非齐次的,一、线性微分方程的解的结构,简要证明,这是因为,定理1(齐次方程的解的叠加原理),如果函数y1(x)与y2(x)是方程ypyqy0的两个解 那么yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解 其中C1、C2是任意常数,(C1y1C2y2)p(C1y1C2y2)q(C1y1C2y2),C1y1py1qy1C2y2py2qy2,000,(C1y1C2y2)p(
2、C1y1C2y2)q(C1y1C2y2),例：已知cos x与sin x都是方程y+y=0的解 因为比值 cos x/sin x=cot x不恒为零 方程的通解为 y=C1cos xC2sin x,如果函数y1(x)与y2(x)是方程y+py+qy=0的两个的解且y1(x)/y2(x)不等于常数，那么y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程的通解 其中C1、C2是任意常数,定理2(齐次方程的通解的结构),注,我们把方程y+py+qy=0叫做与非齐次方程 y+py+qy=f(x)对应的齐次方程,证明提示,Y(x)+y*(x)+pY(x)+y*(x)+qY(x)+y*(x)=Y+pY+qYy*+p
3、y*+qy*0f(x)f(x),举例,已知Y=C1cos x+C2sin x是齐次方程y+y=0的通解 y*=x2-2是非齐次方程y+y=x2的一个特解 因此 y=C1cos x+C2sin x+x2-2是非齐次方程y+y=x2的通解,定理3(非齐次方程的通解的结构),设y*(x)是方程ypyqyf(x)的一个特解 Y(x)是方程ypyqy0的通解 那么yY(x)y*(x)是方程ypyqyf(x)的通解,定理4(非齐次方程的解的叠加原理),简要证明 这是因为 y1+y2*py1*+y2*qy1*+y2*=y1*py1*qy1*y2*py2*qy2*=f1(x)f2(x),设y1*(x)与y2*
4、(x)分别是方程 ypyqyf1(x)与ypyqyf2(x)的特解 那么y1*(x)y2*(x)是方程 ypyqyf1(x)f2(x)的特解,-特征方程法,二、二阶常系数齐次线性方程,思想：,二阶常系数齐次线性微分方程,考虑到当y、y、y为同类函数时 有可能使ypyqy恒等于零 而函数erx具有这种性质 所以猜想erx是方程的解 将yerx代入方程ypyqy0得(r2prq)erx0由此可见 只要r满足代数方程r2prq0 函数yerx就是微分方程的解,分析,方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数,方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程.,特征方程及其根
5、,特征方程的求根公式为,二阶常系数齐次线性微分方程,方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数,有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,特征根为,有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为,通解为,特征根为,特解为,有一对共轭复根,重新组合,第一步 写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0第二步 求出特征方程的两个根r1、r2 第三步 根据特征方程的两个根的不同情况,写出微分方程的通解.,求y+py+qy=0的通解的步骤:,有两个不相等的实根 r1、r2,有一对共轭复根 r1,2i,yex(C1cosxC2sinx),特征方程的根与通解
6、的关系,有两个相等的实根 r1r2,有两个不相等的实根 r1、r2,有一对共轭复根 r1,2i,yex(C1cosxC2sinx),特征方程的根与通解的关系,有两个相等的实根 r1r2,因此微分方程的通解为yC1exC2e3x,例1 求微分方程y2y3y0的通解,解,微分方程的特征方程为,r22r30,特征方程有两个不相等的实根r11 r23,即(r1)(r3)0,有两个不相等的实根 r1、r2,有一对共轭复根 r1,2i,yex(C1cosxC2sinx),特征方程的根与通解的关系,有两个相等的实根 r1r2,特征方程有两个相等的实根r1r21,例2 求方程y2yy0的通解,解,微分方程的特
7、征方程为,r22r10,即(r1)20,因此微分方程的通解为yC1ex C2xex,即y(C1C2x)ex,r22r50 特征方程的根为r112i r212i 是一对共轭复根 因此微分方程的通解为yex(C1cos2xC2sin2x),例 3 求微分方程y2y5y 0的通解,有两个不相等的实根 r1、r2,有一对共轭复根 r1,2i,yex(C1cosxC2sinx),特征方程的根与通解的关系,有两个相等的实根 r1r2,解,微分方程的特征方程为,例4 求方程y(4)2y5y0 的通解,解,微分方程的特征方程为,r42r35r20,即r2(r22r5)0,它的根是r1r20和r3 412i,因
8、此微分方程的通解为,yC1C2xex(C3cos2xC4sin2x),一、f(x)Pm(x)ex型,二、f(x)=elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx型,三、二阶常系数非齐次线性微分方程,方程ypyqyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p、q是常数 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和 yY(x)y*(x),提示,=Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)ex,Q(x)+2Q(x)+2Q(x)ex+pQ(x)+Q(x)ex+qQ(x)ex,一、f(x)Pm(x)ex 型,y*Q(x)ex,设方程y
9、pyqyPm(x)ex 特解形式为,Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)(),则得,Q(x)exQ(x)exqQ(x)ex,y*py*qy*,提示,此时2pq0 要使()式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)b0 xmb1xm1 bm1xbm,(1)如果不是特征方程r2prq0的根 则,y*Qm(x)ex,一、f(x)Pm(x)ex 型,y*Q(x)ex,设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为,Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)(),则得,提示,此时2pq0 但2p0 要使()式成立 Q(x)应设为m1次多项式 Q(x)xQm(x)其中Qm(x)b0
10、 xm b1xm1 bm1xbm,(2)如果是特征方程r2prq0的单根,则,y*xQm(x)ex,(1)如果不是特征方程r2prq0的根 则,y*Qm(x)ex,一、f(x)Pm(x)ex 型,y*Q(x)ex,设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为,Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)(),则得,提示:,此时2pq0 2p0 要使()式成立 Q(x)应设为m2次多项式 Q(x)x2Qm(x)其中Qm(x)b0 xmb1xm1 bm1xbm,(3)如果是特征方程r2prq0的重根,则,y*x2Qm(x)ex,(2)如果是特征方程r2prq0的单根,则,y*xQm(x)ex
11、,(1)如果不是特征方程r2prq0的根 则,y*Qm(x)ex,一、f(x)Pm(x)ex 型,y*Q(x)ex,设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为,Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)(),则得,结论,二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyPm(x)ex有形如y*xkQm(x)ex的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2,提示,因为f(x)Pm(x)ex3x1 0不是特征方程的根 所以非齐次方程的特解应设为 y*b0 xb1 把它代入所给方程 得,例1 求微分方程y2y3y3x1
12、的一个特解,解,齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30,b0 xb12b0 xb13b0 xb1,3b0 x2b03b1,2b03b0 x3b1,3b0 x2b03b13x1,提示,3b03 2b03b11,例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解,解,齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r 60,其根为r12 r23,提示,齐次方程y5y6y0的通解为YC1e2xC2e3x,因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0 xb1)e2x 把它代入所给方程 得,2b0 x2b0b1x,提示,2b01 2b0b10,例2 求微分方程y5y
13、6yxe2x的通解,解,齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r 60,其根为r12 r23,2b0 x2b0b1x,因此所给方程的通解为,因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0 xb1)e2x 把它代入所给方程 得,二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqyexPl(x)cosxPn(x)sinx有形如 y*xkexR(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmaxl n 而k按i(或i)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1,二、f(x)=elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx型,结论,
