1、物理与光电工程学工程学院,第五章 微扰理论,1 非简并定态微扰理论 2 简并微扰理论3 变分法,（一）近似方法的重要性,前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理论解决了一些简单问题。如：（1）一维无限深势阱问题；（2）线性谐振子问题；（3）势垒贯穿问题；（4）氢原子问题。这些问题都给出了问题的精确解析解。,引 言,然而，对于大量的实际物理问题，Schrodinger 方程能有精确解的情况很少。通常体系的Hamilton 量是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理复杂的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法（简称近似方法）就显得特别重要。,（二）近似方法的出发点,近似方法通常是从简单问题的
2、精确解（解析解）出发，来求较复杂问题的近似（解析）解。,（三）近似解问题分为两类,（1）体系Hamilton量不是时间的显函数定态问题,1.定态微扰论；2.变分法。,（2）体系Hamilton量显含时间状态之间的跃迁问题,与时间 t 有关的微扰理论；,1 非简并定态微扰理论,（一）微扰体系方程（二）态矢和能量的一级修正（三）能量的二阶修正（四）微扰理论适用条件（五）讨论（六）实例,微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体运行的天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用微扰方法。计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。例如，地球受万有引力作用绕太阳转动，可是由于其它行星的影响，其轨道需要予以修正
3、。在这种情况下，计算所使用的方法是：首先把太阳和地球作为二体系统，求出其轨道，然后研究这个轨道受其它行星的影响而发生的变化。,（一）微扰体系方程,使用非简并定态微扰理论的条件：1.待求解的微观体系的 Hamilton 量不显含时间，此时问题就转换为定态问题。原来薛定谔方程,2.体系的Hamilton量可以分为如下两个部分：,具有可分离变量的特解,其中是 是定态薛定谔方程（能量本征方程）的解,除了一些特例外，这个方程往往没有精确的解析解。,其中 所描写的体系是可以精确求解的，也就是说如下形式的能量本征方程已经能够求出精确解,通过求解这个方程，我们能够得到算符 的本征函数和对应的能量本征值，我们分
4、别设为 和，显然它们满足,在求解微扰问题时，和 可以看成是已知条件。,另一部分 很小，可以看作加于 上的微小扰动。现在的问题是如何求解加上微扰后的总Hamilton 量 的本征值和本征矢，即如何求解整个体系的定态Schrodinger 方程：,我们把 的本征值和本征函数设为 和,为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为：,当 时，,；,当 时，引入微扰，使体系能级发生移动，由 E n(0)En，状态由n(0)n。,其中是很小的实数，表征微扰程度的参量。,因为 En、n 都与微扰有关，可以把它们看成是的函数而将其展开成的幂级数：,其中E n(0),E n(1),2 E n(1),.分别是能量的 0
5、 级近似，能量的一级修正和二级修正等；,而n(0),n(1),2n(2),.分别是状态波函数的 0 级近似，一级修正和二级修正等。,乘开得：,代入定态Schrodinger方程 得：,根据等式两边对应同幂次的系数应该相等，可得到如下一系列方程式:,整理后得：,上面的第一式就是 的本征方程，第二、三式分别是n(1)和n(2)所满足的方程，由此可解得能量和态矢的第一、二级修正。已经完成区分数量级的作用，我们把它省去。则以后,(1)能量一级修正En(1),（二）态矢和能量的一级修正,现在我们借助于未受微扰体系的本征函数 和本征能量 来 导出扰动后的态矢n 和能量 En的表达式。注意，我们只考虑非简并
6、情况，即本征值 只有一个本征函数,观察方程,左乘,积分,再看等式左边,因为是 是厄米算符，即对于任意两个波函数,显然 也是厄米算符，因此等式变为,能量的一级修正等于微扰 Hamilton 量在 0 级近似状态 中的平均值,(1)波函数一级修正,下面把一级修正波函数 用 的本征函数 展开,再观察方程,显然，如果 是方程的解，则（a是任意常数）也是方程的解，可代入上式验证。,两边同时加上，只要适当选择a就可以把右边包含 的项抵消。,因为 也是一阶修正波函数,设,方便起见，去掉的 撇号,代入,左乘，并积分,微扰矩阵元,代入展开式,我们由此求出了一级修正的波函数,（三）能量的二级修正,把 代入方程,两
7、边左乘,两边积分,可得,因为 是厄米算符，等式左边,因为是 厄米算符，它对应的矩阵是厄密矩阵，即,由此得到,在计及二阶修正后，扰动体系能量本征值由下式给出：,总结上述，在非简并情况下，受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出：,欲使二式有意义，则要求二级数收敛。由于不知道级数的一般项，无法判断级数的收敛性，我们只能要求级数已知项中，后项远小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件是：,当这一条件被满足时，由上式计算得到的一级修正通常可给出相当精确的结果。,微扰适用条件表明：,例如：在库仑场中，体系能量（能级）与量子数n2成反比，即,（1）要小，即微扰矩阵元要小；,（2）要大，即能级间距要宽。,由上式
8、可见，当n大时，能级间距变小，因此微扰理论不适用于计算高能级（n大）的修正，而只适用于计算低能级（n小）的修正。,例1.一电荷为 e 的线性谐振子，受恒定弱电场作用。电场沿 x 正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。,解：,（1）电谐振子Hamilton 量,将 Hamilton 量分成H0+H 两部分，在弱电场下，上式最后一项很小，可看成微扰。,（六）实例,（2）写出 H0 的本征值和本征函数 E(0),n(0),（3）计算 En(1),上式积分等于 0 是因为被积函数为奇函数所致。,（4）计算能量二级修正,欲计算能量二级修正，首先应计算 Hk n 矩阵元。,利用线性谐振子本征函数的递推公
9、式：,对谐振子有；En(0)-En-1(0)=,En(0)-En+1(0)=-，,由此式可知，能级移动与 n 无关，即与扰动前振子的状态无关。,（6）讨论：,1.电谐振子问题亦可在粒子数表象中求解微扰矩阵元,计算二级修正：,代入能量二级修正公式：,2.电谐振子的精确解,实际上这个问题是可以精确求解的，只要我们将体系Hamilton量作以下整理：,其中x=x e/2，可见，体系仍是一个线性谐振子。它的每一个能级都比无电场时的线性谐振子的相应能级低e22/22，而平衡点向右移动了e/2 距离。,由于势场不再具有空间反射对称性，所以波函数没有确定的宇称。这一点可以从下式扰动后的波函数n已变成n(0)
10、,n+1(0),n-1(0)的叠加看出。,例2.设Hamilton量的矩阵形式为：,（1）设，应用微扰论求矩阵H本征值到二级近似；（2）求H的精确本征值；（3）在怎样条件下，上面二结果一致。,E1(0)=1 E2(0)=3 E3(0)=-2,由非简并微扰公式,得能量一级修正：,是 对角矩阵，是 在自身表象中的形式。所以能量的0 级近似为：,能量二级修正为：,准确到二级近似的能量本征值为：,设H 的本征值是 E，由久期方程可解得：,解得：,(3)将准确解按 c(1)展开：,比较（1）和（2）之解，可知，微扰论二级近似结果与精确解展开式不计c4及以后高阶项的结果相同。,(2)精确解：,作 业,周世勋 量子力学教程 5.3,
