1、第八章立体几何初步,8.2立体图形的直观图,自 学 导 引,1直观图的定义直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形；画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用_内的点表示,斜二测画法,同一平面,2用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤,【答案】45135水平面x轴或y轴线段保持原长度不变一半,【预习自测】判断下列命题是否正确(正确的画“”，错误的画“”)(1)在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同()(2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴()(3)平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变()(4)斜二测坐标系取的角可能是135.(
2、)【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(3)平行于x轴的不变，平行于y轴的减半,相等的角在直观图中还相等吗？,【提示】不一定例如正方形的直观图为平行四边形,1与平面图形的直观图画法相比多了一个_轴，直观图中与之对应的是_轴；2平面_表示水平平面，平面_和_表示竖直平面；3已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中_和_都不变4成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为_,空间几何体直观图的画法,z,z,xOy,yOz,xOz,平行性,长度,虚线,空间几何体的直观图唯一吗？,【预习自测】,【提示】不唯一作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同,课 堂 互 动,(1)如图所示，一个
3、水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图ABCD中，顶点B到x轴的距离为_(2)用斜二测画法画出图中正五边形ABCDE的直观图,题型1平面图形的直观图,素养点睛：本题考查了直观想象的核心素养,连接AB，AE，ED，DC，并擦去辅助线GA，HD，x轴与y轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图ABCDE(如图3),画平面图形的直观图的技巧(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，
4、与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段,1用斜二测画法画出图中等腰梯形ABCD的直观图(其中O，E分别为线段AB，DC的中点),画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图素养点睛：本题考查了直观想象的核心素养,题型2画空间几何体的直观图,解：(1)画轴画Ox轴，Oy轴，Oz轴，xOy45(或135)，xOz90，如图(2)画底面以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.(3)画顶点在Oz轴上截取OP使OP的长度等于原四棱锥的高(4)成图连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图,画空间几何体直观图的规则(
5、1)按照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图(2)根据平行于z轴的线段在直观图中长度保持不变，画出几何体的各侧面，所以画空间多面体的步骤可简单总结为：,2一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高(两底面圆心连线的长度)为4 cm，圆锥的高(顶点与底面圆心连线的长度)为3 cm，画出此几何体的直观图,(5)成图连接AA，BB，PA，PB，整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线)得到此几何体的直观图，示意图如图2所示,题型3直观图的还原与计算,图1,图2,素养点睛：本题考查了直观想象和数学运算的核心素养【答案】(1)C,【例题迁
6、移1】(变换条件)本例(2)中的条件改为如图所示的直角梯形，ABC45，ABAD1，DCBC，求原图形的面积,【例题迁移2】(变换条件)本例(1)若改为“已知ABC是边长为a的正三角形，求其直观图ABC的面积”，应如何求？,【例题迁移3】(变换问法)本例(1)中直观图中OAB的面积与原图形面积之比是多少？,直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x轴、y轴平行的直线或线段，且平行于x轴的线段还原时长度不变，平行于y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可,错解：B,易错警示直观图与原图面积混淆致误,素 养 达 成,1斜二测画法是联系直观图和原图
7、形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形(体现直观想象、数学运算的核心素养)2在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小,1(题型1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是()A原来相交的仍相交B原来垂直的仍垂直C原来平行的仍平行D原来共点的仍共点【答案】B【解析】由斜二测画法规则知，B选项错误故选B.,2(题型1)利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确
8、的是()【答案】C【解析】正方形的直观图应是一个内角为45的平行四边形，且相邻的两边之比为21，故选C.,3(题型1)(多选)对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述正确的是()A三角形的直观图仍然是一个三角形B90的角的直观图会变为45的角C与y轴平行的线段长度变为原来的一半D由于选轴的不同，所得的直观图可能不同【答案】ACD,【解析】对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对于B，90的角的直观图会变为45或135的角，故B错误；C，D显然正确,4(题型3)如图，平行四边形OPQR是四边形OPQR的直观图，若OP
9、3，OR1，则原四边形OPQR的周长为_,【答案】10【解析】由直观图可知，原图形是矩形OPQR，且OP3，OR2.故原四边形OPQR的周长为2(32)10.,5(题型2)画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2 cm),解：画法：(1)画轴画x轴、y轴、z轴，使xOy45，xOz90.(2)画底面根据x轴，y轴，画正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱过A，B，C，D，E，F各点分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA，BB，CC，DD，EE，FF都等于侧棱长2 cm.,(4)成图顺次连接A，B，C，D，E，F，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图,课后提能训练,
