1、第三章圆锥曲线的方程,3.1椭圆,3.1.1椭圆及其标准方程,|自 学 导 引|,1平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_(大于_)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2椭圆的定义用集合语言叙述为：PM|MF1|MF1|2a,2a|F1F2|,常数,椭圆的定义,|F1F2|,1思维辨析(对的画“”，错的画“”)(1)已知F1(4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆()(2)已知F1(4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆()(3)平面内到点F1(4,0)，F2(4,0)两
2、点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆()(4)平面内到点F1(4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆(),【预习自测】,【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)因为2a|F1F2|8，动点的轨迹是线段F1F2，不是椭圆(2)2a|F1F2|，动点不存在，因此轨迹不存在(3)符合椭圆的定义(4)平面内到点F1(4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线,【答案】D,定义中的常数不满足2a|F1F2|时点的轨迹是什么？,【答案】提示：(1)当|PF1|PF1|2a|F1F1|时，P的轨迹不存在(2)当|PF1|PF1|2a|
3、F1F2|时，P的轨迹为以F1，F2为端点的线段,椭圆标准方程的两种形式,椭圆的标准方程,(c,0)，(c,0),(0，c)，(0，c),a2b2c2,若一个椭圆的长轴长是短轴长的3倍，焦距为8，则这个椭圆的标准方程为_,【预习自测】,从椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点的位置？,【答案】提示：判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”,在椭圆的标准方程中abc一定成立吗？,【答案】提示：不一定，只需ab，ac即可，b，c的大小关系不确定.,|课 堂 互 动|,求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(4,0)，(4,0)，椭圆
4、上一点P到两焦点距离的和是10；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)素养点睛：考查数学抽象、数学运算的核心素养,题型1求椭圆的标准方程,(3)找关系：依据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组(4)得方程：解方程组，将a，b，c或m，n代入所设方程即为所求提醒：焦点所在坐标轴不同，其标准方程的形式也不同,1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)；(2)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26.,题型2椭圆的定义及其应用,【例题迁移1】(变换条件)把本例条件“PF1F2120
5、”改为“F1PF260”，求PF1F2的面积,【例题迁移2】(改变问法)在例题题设条件不变的情况下，求点P的坐标,素养点睛：考查数学抽象、数学运算的核心素养【答案】B,素养点睛：考查数学抽象、数学运算的核心素养,解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可(2)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法,3求过点P(3,0)且与圆x26xy291
6、0相内切的动圆圆心的轨迹方程,易错警示椭圆的标准方程,错解分析：错误的原因是没有注意椭圆的标准方程中ab这个条件，当ab时，方程并不表示椭圆,|素 养 达 成|,1对椭圆定义的三点说明(1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视(2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量(3)常数2a必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件2椭圆定义的两个应用(1)若|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)，则动点M的轨迹是椭圆(2)若点M在椭圆上，则|MF1|MF2|2a.,3椭圆标准方程的特点(1)方程形式：从方程结构上看，在标准方程中，左边是两个平方相加，右边是“1”，x2，y2的系数均为正且不相等有时可简记作：Ax2By21(其中A0，B0，AB)(2)焦点的位置：利用标准方程判断焦点的位置的方法是看大小，即看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上较大的分母是a2，较小的分母是b2.,(3)a，b，c三个量的关系：椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆a，b，c(都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，所以ab，ac，且a2b2c2.(如图所示),【答案】D,【答案】C,【答案】B,4椭圆9x216y2144的焦点坐标为_,课后提能训练,
