1、第四节复数,教材回扣夯实“四基”,题型突破提高“四能”,教材回扣夯实“四基”,基础知识1.复数的定义及分类(1)复数的定义：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中实部是_，虚部是_,a,b,实数,纯虚数,非纯虚数,2复数的有关概念(1)复数相等：abicdi_(a，b，c，dR)(2)共轭复数：abi与cdi共轭_，(a，b，c，dR)(3)复数的模：向量 OZ 的模叫做复数zabi的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|r_(r0，bR)(4)复平面：建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴,ac且bd,ac且bd,a 2+b 2,【微点拨】(1)实
2、数能比较大小，虚数不能比较大小(2)实数a的共轭复数是a本身(3)实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数,3.复数的几何意义(1)复数zabi 一一对应 复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi(a，bR)一一对应 平面向量 OZ.,【微点拨】(1)复数加法的几何意义若复数z1，z2对应的向量 O 1，O 2 不共线，则复数z1z2是以 O 1，O 2 为两邻边的平行四边形的对角线 OZ 所对应的复数(2)复数减法的几何意义复数z1z2是 O 1 O 2 2 1 所对应的复数,4复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2
3、cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)_；减法：z1z2(abi)(cdi)_；乘法：z1z2(abi)(cdi)_；除法：z 1 z 2 a+bi c+di a+bi cdi c+di cdi ac+bd c 2+d 2+bcad c 2+d 2 i(cdi0)(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3C，有z1z2_，(z1z2)z3_,(ac)(bd)i,(ac)(bd)i,(acbd)(adbc)i,z2z1,z1(z2z3),常用结论(1)in(nN*)具有周期性，且最小正周期为4，其性质如下：i4n1(nN*)，i4n1
4、i(nN)，i4n21(nN)，i4n3i(nN)i4ni4n1i4n2i4n30.(2)(1i)22i，1+i 1i i，1i 1+i i，z z z 2|z|2，|z1z2|z1|z2|，z 1 z 2 z 1 z 2，|zn|z|n.,基本技能、思想、活动经验题组一思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)1.若aC，则a20.()2已知zabi(a，bR)，当a0时，复数z为纯虚数()3复数zabi(a，bR)的虚部为bi.()4方程x2x10没有解(),题组二教材改编5设z(1i)(2i)，则复数z在复平面内所对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限,答案：A,解析：z
5、(1i)(2i)3i，故复数z在复平面内所对应的点(3，1)位于第一象限故选A.,6 2 1+2=()A1 B1Ci Di,答案：D,解析：2i 1+2i 2i 12i 1+2i 12i 24ii2 1+4 i，故选D.,题组三易错自纠7复数 1 13i 的虚部是()A 3 10 B 1 10 C 1 10 D 3 10,答案：D,解析：利用复数除法法则得 1 13i 1+3i 13i 1+3i 1+3i 10，所以虚部为 3 10，故选D.,8已知i是虚数单位，z 2i 1+i 3i2 021，则z的共轭复数为 z _,12i,解析：z 2i 1+i 3i2 021 2i 1i 1+i 1i
6、 3ii13i12i，所以 z 12i.,题型突破提高“四能”,题型一复数的有关概念例1(1)设z是复数，则下列命题中正确的是()A若z是纯虚数，则z20B若z的实部为0，则z为纯虚数C若z z 0，则z是实数D若z z 0，则z是纯虚数,答案：(1)C,解析：(1)对于A选项，若z为纯虚数，可设zbi(bR，b0)，则z2b20，A选项错误；对于B选项，取z0，则z为实数，B选项错误；对于C选项，设zabi(a，bR)，则z z 2bi0，则b0，zaR，C选项正确；对于D选项，取z0，则z z 0，但z0R，D选项错误故选C.,(2)2022山东省实验中学模拟已知复数z(a3i)(32i)
7、(aR)的实部与虚部的和为7，则a的值为()A1B0C2 D2,答案：(2)C,解析：(2)z(a3i)(32i)3a2ai9i6i23a6(2a9)i所以复数z的实部与虚部分别为3a6，2a9，于是3a62a97，解得a2，故选C.,类题通法解决复数概念问题的两个注意事项,巩固训练1(1)已知复数z23i，若 z(ai)是纯虚数，则实数a()A 2 3 B 2 3 C 3 2 D 3 2,答案：(1)D,解析：(1)z(ai)(23i)(ai)2a3(3a2)i是纯虚数，则 2a3=0 3a+20，解得a 3 2.故选D.,(2)2022江苏南通模拟若复数z满足z(2i)i，其中i为虚数单位
8、，则复数 z()A 1 5+2 5 i B 1 5 2 5 iC 1 5+2 5 i D 1 5 2 5 i,答案：B,解析：(2)由题意，z i 2i i 2+i 5 1 5+2 5 i，所以 z 1 5 2 5 i.故选B.,题型二复数的运算例2(1)2021新高考卷已知z2i，则z(z i)()A62iB42iC62i D42i,答案：(1)C,解析：(1)因为z2i，故 z 2i，故z z+i 2i 2+2i 44i2i2i262i.故选C.,(2)2022河北张家口模拟 6 13i()A 3 10 5 B 9 10 C 3 10 10 D2,答案：(2)A,解析：(2)6 13i 6
9、 13i 6 1 2+3 2 3 10 5.故选A.,(3)已知(1i)2z32i，则z()A1 3 2 i B.1 3 2 iC.3 2 i D.3 2 i,答案：(3)B,解析：(3)z 3+2i 1i 2 3+2i 2i 3i2 2 1 3 2 i.,类题通法复数代数形式运算的策略,巩固训练2(1)已知i为虚数单位，则 1+i 2 021 i()A1 B 2 C2 D2 2,答案：(1)B,解析：(1)因为 1+i 2 021 i 1+i i 1i，所以 1+i 2 021 i|1i|2.故选B.,(2)已知复数z2i，则z z()A 3 B 5 C3 D5,答案：D,解析：(2)z2i
10、，z 2i.z z(2i)(2i)5.故选D.,题型三复数的几何意义例3(1)2021新高考卷复数 2i 13i 在复平面内对应的点所在的象限为()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限,答案：(1)A,解析：(1)2i 13i 2i 1+3i 10 5+5i 10 1+i 2，所以该复数对应的点为 1 2，1 2，该点在第一象限，故选A.,(2)设复数z满足|zi|1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A(x1)2y21 B(x1)2y21Cx2(y1)21 Dx2(y1)21,答案：C,解析：(2)设zxyi(x，yR)因为zix(y1)i，所以|zi|x 2+y1 2 1，则x
11、2(y1)21.故选C.,类题通法由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观,巩固训练3(1)在复平面内，复数 1+i 1i 2 对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限,答案：(1)B,解析：(1)1+i 1i 2 1+i 2i 1+i i 2ii 1+i 2 1 2+1 2 i，对应的点的坐标为 1 2，1 2 在第二象限故选B.,(2)已知复数z112i，z21i，z334i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C，若 OC OA OB(，R)，则的值是_,1,解析：(2)由条件得 OC(3，4)，OA(1，2)，OB(1，1)，根据 OC OA OB，得(3，4)(1，2)(1，1)(，2)，+=3，2=4，解得=1，=2.1.,
