1、14.2充要条件,(一)教材梳理填空1如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件,pq,qp,pq,充要,2如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件概括地说，如果pq，那么p 与q互为 条件微思考若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法正确吗？提示：正确若p是q的充要条件，则pq.即p等价于q.故此说法正确,充要,(二)基本知能小试1判断正误：(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立()(2)若p q和q p有一个成立，则p有可能是q
2、的充要条件()答案：(1)(2),2已知p：x1或x1，q：x210.则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：x210时，x1或x1.“x1或x1”“x210”，即p是q的充要条件，故选C.答案：C3设A，B是两个集合，p：“ABA”，q：“AB”，则p是q的_条件，q是p的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)解析：ABAAB，p是q的充要条件，q是p的充要条件答案：充要充要,题型一充要条件的判断【学透用活】条件p与结论q的关系与充分、必要条件,解析在A、D中，pq，p是q的充要条件，在B、C中，q p，p不是q的充要条件，故选A、D
3、.答案AD,方法技巧 判断充分、必要条件的步骤,【对点练清】1设集合A1，p,2，B2,3，则“p3”是“ABB”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：p3A1,3,2BAABB，所以是充分条件；反之，ABBBA2,32，1，pp3，所以是必要条件故选C.答案：C,2下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：1x5，q：x1且x5；(2)p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形；(3)p：ABA，q：UBUA.解：(1)1x5x1且x5，p是q的充要条件(2)等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形，p不是q的充要条件，p是q
4、的充分不必要条件(3)ABAABUBUA，p是q的充要条件,题型二利用充分、必要条件求参数【学透用活】从集合角度看充分、必要条件如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表,续表,典例2已知p：1xa(a1)，q：1x2.(1)当a为何值时，p是q的充分不必要条件？(2)当a为何值时，p是q的必要不充分条件？(3)当a为何值时，p是q的充要条件？,方法技巧由条件关系求参数的值(范围)的步骤(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解,【对点练清】1变设问若本例条件不变，当a为何值时，q是p的充分不必要条件？解：若q是p
5、的充分不必要条件，即qp，但p q，亦即p是q的必要不充分条件，同典例2(2)所以当a2时，q是p的充分不必要条件2变设问若本例条件不变，当a为何值时，q是p的必要不充分条件？解：若q是p的必要不充分条件，即pq，但q p，亦即p是q的充分不必要条件，同典例2(1)所以当1a2时，q是p的必要不充分条件,题型三充要条件的证明与探究【学透用活】典例3求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.,方法技巧充要条件的证明思路根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明一般地，证明“p成立的充要条件为q”：(1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条
6、件，推出p；(2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.,【对点练清】1关于x的方程m2x2(m1)x20的所有根的和为2的充要条件是_,2求证：关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.证明：假设p：方程ax2bxc0有一个根是1，q：abc0.(1)证明pq，即证明必要性x1是方程ax2bxc0的根，a12b1c0，即abc0.,(2)证明qp，即证明充分性由abc0，得cab.ax2bxc0，ax2bxab0.即a(x21)b(x1)0.故(x1)(axab)0.x1是方程的一个根综上，方程ax2bxc0有一个根是1的充要条件是abc0.,【课堂思维激活】一、综合性强调融会贯通1已知mZ，关于x的一元二次方程x24x4m0，x24mx4m24m50，求上述两个方程的根都是整数的充要条件,二、创新性强调创新意识和创新思维2请在充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由已知集合Ax|2x6，Bx|1mx1m，m0探究：若xA是xB成立的_条件，判断实数m是否存在,“课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（六）”(单击进入电子文档),
