1、高二数学,瞬时速度与导数(2),主讲人 吴中才,中国人民大学附属中学,（一）复习旧知，引入新知,在10米跳台跳水运动中，平均速度为（函数的平均变化率）当t 趋于 0 时，得到瞬时速度为,（二）数理对比，类比定义,平均速度,函数的平均变化率,瞬时速度,极限,极限,对应,对应,函数的瞬时变化率,（二）数理对比，类比定义,设函数 y=f(x)在 x0 附近有定义，当自变量在 x=x0 附近改变 x 时，函数值相应地改变，如果 x 趋近于 0 时，平均变化率趋近于一个常数 l，则数 l 称为函数 f(x)在点 x0 的瞬时变化率,（三）符号表示，概念生成,（1）符号表示 当 时，用极限符号表示：,（三
2、）符号表示，概念生成,（2）思考与交流“极限”一词用符号“lim”表示，读为“limit”这里“x 0”的理解与“瞬时速度”中含义相同.注意 与 的区别.,（三）符号表示，概念生成,（2）思考与交流 函数瞬时变化率的几何意义：在地理中，坡度 是指地表面上某一点 的切面和水平面所成 的夹角,函数的瞬时变化率的几何意义是函数图象在这一点的切线的斜率,（三）符号表示，概念生成,（2）思考与交流 对比平均变化率与瞬时变化率：求下列函数在区间 0,1 上的平均变化率：，据此，你有何感想？,（三）符号表示，概念生成,（2）思考与交流,（三）符号表示，概念生成,（3）概念生成函数在 x0 的瞬时变化率，通常
3、就定义为 f(x)在 x=x0 处的导数，并记作 或 于是有：,（三）符号表示，概念生成,（4）回顾与巩固 用导数认识物理量之间的关系：,位移的导数,瞬时速度,速度的导数,加速度,（四）特殊到一般，形成导函数的概念,当 时，是一个确定的数；当 变化时，一般也会随着变化例如，当 t0 变化时，v(t0)也会随之变化.,（四）特殊到一般，形成导函数的概念,如果 f(x)在开区间(a,b)内每一点 x 导数都存在，则称 f(x)在区间(a,b)可导这样，对开区间(a,b)内每个值 x，都对应一个确定的导数 于是在区间(a,b)内 构成一个新的函数我们把这个函数称为函数 y=f(x)的导函数，简称为导
4、数记为：（或、）,（五）导数概念辨析,（1）“导数”一词有两重含义：一是指函数在某一点处的导数值；二是 指函数的导函数今后，如不特别指明求某一点的导数，求导数指 的就是求导函数（2）求导函数的方法：,（五）导数概念辨析,（3）如果我们已经求出一个函数的导函数，再求某一点的导数值，这就 变成求函数值的问题了（4）对符号 的理解：表示函数 y=f(x)在点 x=x0 处的导数，或 者说是导函数 在 x=x0 时的函数值,（五）导数概念辨析,（5）怎么理解函数 y=f(x)在开区间(a,b)内每一点 x 导数都存在？这里，为什么说开区间？导数存在即极限存在.,（五）导数概念辨析,（6）商 的值与 x
5、 有关吗？令，x 是否应保持不变或被看作常数？商 的值与 x 和 x 都有关，但在求平均变化率的极限时，则应当把 x 看作常数，把 x 看作变量,（六）巩固例题选讲,【例】求函数 在 x=2 处的导数【解法1】（按一点处的导数的定义求解）,（六）巩固例题选讲,【例】求函数 在 x=2 处的导数【解法2】（先求导函数，再求一点处的导数）所以，,【总结与思考】,（1）求函数在一点处的导数的主要步骤：求增量：求平均变化率：求极限：或者：先求出导数，再求,【总结与思考】,（1）求函数的导函数的主要步骤：求增量：求平均变化率：求极限：,【总结与思考】,（2）函数 y=ax+b 在 x=x0 的导数是多少
6、？导函数呢？你有什么发现？我们发现，一次函数的导数恒为常数，等于一次项系数（3）如果一个函数的导数恒为 0，这个函数是什么函数？这个函数是常函数，相当于（2）中 a=0.,【例】某堆雪在融化过程中，其体积 V（单位：m3）关于融化时间 t（单位：h）的函数图象如图所示那么，在 t1，t2，t3 中，瞬时融化速度等于雪堆从 0 h 到 70 h 的平均融化速度的时刻是_【解答】t2平均变化率的几何意义是割线的斜率；瞬时变化率的几何意义是这一点的切线的斜率,A,B,【例】一正方形铁板在 0 时，边长为 10cm加热后铁板会膨胀，当温度为 t 时，边长变为 10(13t)cm试求铁板面积对温度的膨胀
7、率【分析】应用问题需先建模.数学化：把铁板面积看成温度的函数；理解“膨胀率”：函数的变化率；甄别平均变化率与瞬时变化率：瞬时变化率.,【解】由题知，铁板面积，则 所以铁板对温度的膨胀率为,【例】我们知道，圆的面积，圆的周长 利用导数的定义求 S 对 r 的导数，它与周长有什么关系？你能理解这个导数的几何意义吗？【解】【思考】求球的体积 的导数，说说其几何意义.,（七）课堂小结与回顾,平均速度,瞬时速度,平均变化率,瞬时变化率,导数,割线斜率,切线斜率,极限,物理意义,导数概念,几何意义,（八）布置作业,（1）求函数 在 x=1，2 处的导数（2）画出函数 的图象，计算在 到 0 之间和 0 到 之间 的平均变化率，并探讨在 处的导数,
