1、第1课时用导数证明不等式,题型突破提高“四能”,题型突破提高“四能”,题型一移项构造函数证明不等式例12022山东肥城模拟已知函数f(x)x2ln x.(1)求f(x)的单调区间；,解析：(1)f(x)x2ln x的定义域是(0，)，f(x)2x 1 x 2x+1 2x 1 x，当x 2 2 时，f(x)0，函数f(x)在(2 2，)上单调递增；当0 x 2 2 时，f(x)0，函数f(x)在(0，2 2)上单调递减，综上，函数f(x)的单调递增区间为(2 2，)，单调递减区间为(0，2 2),(2)证明：f x x+1 4 x2x 1 4.,证明：由于x0，要证明 f x x+1 4 x2x
2、 1 4，即证明f(x)1 4 x3x2 1 4 x 1 4 x3 1 4 xln x0，令g(x)1 4 x3 1 4 xln x(x0)，则g(x)3 4 x2 1 4 1 x 3 x 3+x4 4x，令t(x)3x3x4(x0)，t(x)x210恒成立，t(x)在(0，)单调递增，又t(1)0，即g(1)0，x(0，1)，g(x)0，g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，g(x)最小值g(x)极小值g(1)1 4+1 4 1 2 0成立，所以原结论成立,类题通法利用导数证明不等式f(x)g(x)的基本方法(1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)mi
3、ng(x)max.(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)f(x)g(x)若h(x)0，则h(x)在(a，b)上单调递增同时h(a)0，即f(x)g(x)或若h(x)0，即f(x)g(x),巩固训练12022北京市海淀外国语实验学校月考已知函数f(x)a ln x 1 x，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线xy0垂直(1)求函数f(x)的单调区间和极值；,解析：(1)定义域：(0，)，f(x)a x 1 x 2 ax1 x 2，kf(1)a11a2，当a2时，f(x)2x1 x 2；当0 1 2 时，f(x)0，所以f(x)在 0，1 2 上单调递减，在 1 2
4、，+上单调递增；f(x)极小值f 1 2 2ln 1 2 22(1ln 2)，无极大值,(2)求证：当x1时，f(x)x 2 2+1 2.,证明：由(1)知f(x)2ln x 1 x，令g(x)2ln x 1 x x 2 2 1 2，则g(x)2 x 1 x 2 x 2x1 x 3 x 2 x1 1x x+1 x 2，x1，x(x1)1，1x(x1)0，g(x)0，即g(x)在1，)上单调递减，g(x)g(1)0，当x1时，f(x)x 2 2+1 2.,题型二放缩构造函数证明不等式 例22022湖北武昌一中月考已知函数f(x)2ln(x1)ax1.(1)判断函数f(x)的单调性；,解析：(1)
5、f(x)的定义域为x|x1由题意得f(x)2 x+1 a a x+1+2 x+1.当a0时，f(x)0，所以f(x)在区间(1，)上单调递增；当a1，所以当x0，可知f(x)在区间 1，a+2 a 上单调递增；当x a+2 a 时，f(x)0，可知f(x)在区间 a+2 a，+上单调递减综上所述，当a0时，f(x)在区间(1，)上单调递增；当a0时，f(x)在区间 1，a+2 a 上单调递增，在区间 a+2 a，+上单调递减,(2)设g(x)xsin x1(x22x2)esin x1，求证：当a1时，f(x)g(x),解析：(2)由题意得，当a1时，f(x)g(x)2ln(x1)sin x(x
6、22x2)esin x1，所以f(x)g(x)ln(x1)2ln esin x(x22x2)esin x1，所以f(x)g(x)ln(x1)2esin x(x1)21esin x1，ln(x1)2esin x(x1)2esin x1.令h(x)ln x 1 e x，则h(x)1 x 1 e ex ex，所以h(x)在区间(0，e)上单调递增，在区间(e，)上单调递减，所以h(x)h(e)0，所以ln x 1 e x.所以ln(x1)2esin x 1 e(x1)2esin x(x1)2esin x1，所以ln(x1)2esin x(x1)2esin x1(x1)2esin x1(x1)2esi
7、n x10，所以f(x)g(x),类题通法适当放缩构造函数证明不等式的方法一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论：ln x0)；x x+1 ln(x1)x(x1)；若x(0，)，则exx1x1ln x,巩固训练22022山东泰安模拟已知函数f(x)ln x 1 2 mx2x2，其中m2.(1)若m2，求f(x)的极值；,解析：由题知，f(x)的定义域为(0，)，f(x)1 x mx1 mx 2 x+1 x.(1)若m2，则f(x)ln xx2x2，f(x)2 x 2 x+1 x x+1 2x1 x，当00；当x 1 2 时，f(x)0，函数f(x)在 0，1 2 上单调递增，在 1
8、2，+上单调递减当x 1 2 时，f(x)取得极大值，极大值为f 1 2 ln 1 2 1 4 1 2 2 5 4 ln 2，无极小值,(2)证明：f(x)e x x.,证明：(2)由(1)知，原不等式等价于 mx 2 x+1 e x 0)恒成立m2，mx 2 x+1 e x 2 x 2 x+1 e x.要证 mx 2 x+1 e x 0)恒成立，只需证 2 x 2 x+1 e x 0)恒成立即可令g(x)2 x 2 x+1 e x(x0)，则g(x)2 x 2+5x2 e x.令g(x)0，解得 1 2 2，g(x)在 1 2，2 上单调递增，在 0，1 2，(2，)上单调递减g(x)的最大
9、值在x0或x2处取得，又g(0)1，g(2)7 e 2，g(x)maxg(0)1，2 x 2 x+1 e x 0)恒成立，mx 2 x+1 e x 2 x 2 x+1 e x 1在x(0，)上恒成立，f(x)e x x.,题型三分拆函数证明不等式例32022湖南师大附中模拟已知函数f(x)满足xf(x)x ln x2a0(aR)恒成立(1)分析函数f(x)的单调性；,解析：(1)由题意得x0，f(x)2a x ln x，f(x)x2a x 2，当a0时，f(x)0恒成立，f(x)在R上单调递增，当a0时，若02a，f(x)0，函数单调递增，综上，a0时，f(x)在R上单调递增，当a0时，函数在
10、(0，2a)上单调递减，在(2a，)上单调递增，,(2)若g(x)1 e x+1 2，证明：当a 1 2 时，f(x)g(x).,证明：(2)若f(x)g(x)，则x ln x x 2 2a x e x，设F(x)x ln x x 2 2a，G(x)x e x，F(x)ln x 1 2，令F(x)0，解得x 1 e；令F(x)0，解得0 x 1 e；所以F(x)在 0，1 e 上单调递减；在 1 e，+上单调递增；所以F(x)minF(1 e)2a 1 e，,G(x)1x e x，令G(x)0，解得01，所以G(x)在(0，1上单调递增；在(1，)上单调递减；G(x)maxG(1)1 e，由于
11、a 1 2 1 2 1 e+1 e，所以2a 1 e 1 e，即F(x)minG(x)max，故当a 1 2 时，F(x)G(x)，即f(x)g(x),类题通法当直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证不等式进行变形，构造两个都便于求导的函数，即转变为两个函数之间最值的比较，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的,巩固训练3已知f(x)x ln x.(1)求函数f(x)的最小值；,解析：(1)解：由f(x)x ln x，x0，得f(x)ln x1.令f(x)0，得x 1 e.当x 0，1 e 时，f(x)0，f(x)单调递增所以f(x)的极小值即最小值，为f 1 e 1 e.,(2)证明：对一
12、切x(0，)，都有ln x 1 e x 2 ex 成立,证明：问题等价于证明x ln x x e x 2 e(x(0，)由(1)可知f(x)x ln x(x(0，)的最小值是 1 e，当且仅当x 1 e 时取到设m(x)x e x 2 e(x(0，)，则m(x)1x e x.由m(x)1时，m(x)单调递减；由m(x)0，得0 1 e x 2 ex 成立,题型四双变量不等式的证明 例42022福建泉州模拟已知函数f(x)ln x t x s(s，tR)(1)讨论f(x)的单调性；,解析：(1)f(x)1 x t x 2 xt x 2(x0)当t0时，f(x)0在(0，)上恒成立，所以f(x)在
13、(0，)上单调递增；当t0时，令f(x)0得xt；令f(x)0得0 xt；所以f(x)在(0，t)上单调递减，在(t，)上单调递增,(2)当t1时，若函数f(x)恰有两个零点x1，x2(02.,证明：当t1时，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以f(1)1s1.由条件有ln x1 1 x 1 sln x2 1 x 2 s，整理得ln x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 1 x 1，令m x 1 x 2(00，所以g(m)单调递增，g(m)0，即x1x22.,类题通法双变量不等式证明的三个策略,巩固训练42022辽宁沈阳月考已知函数f(x)exa
14、x有两个零点x1，x2，且x1e；,解析：(1)易知f(x)exa，当a0时，f(x)0在R上恒成立，函数f(x)单调递增，不符合题意当a0时，令f(x)0，得xln a，令f(x)e.,(2)求证：x1x22.,证明：令f(x)0，e x 1 ax 1，e x 2 ax2，ae，可知x2x10，则x1ln aln x1，x2ln aln x2，x2x1ln x 2 x 1，设t x 2 x 1(t1)，x 2=tx 1 x 2 x 1=ln t x1 ln t t1，x2 t ln t t1，x1x2 t+1 ln t t1(t1)，要证x1x22，只需证 t+1 ln t t1 2，设(t)ln t 2 t1 t+1，只证(t)0即可，(t)1 t 4 t+1 2 t1 2 t t+1 2 0，(t)在(1，)上递增，t1，(t)(1)0，满足题意，不等式成立,
