1、高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI,第4章,2022,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,课标阐释,1.理解并掌握直线与平面垂直的定义,明确定义中“所有”两字的重要性.(数学抽象)2.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理,并能解决有关线面垂直的问题.(逻辑推理、数学抽象)3.了解直线和平面所成的角的含义,并知道其求法.(数学抽象、数学运算)4.了解点、直线到平面距离的含义,并能求解距离.(数学抽象、数学运算),思维脉络,课前篇 自主预习,【激趣诱思】日晷是我国古代利用日影测得时刻的一种计时仪器,一般由晷针和晷盘组成.
2、晷盘南高北低,与赤道平行;晷针垂直晷盘,上端指向北极星.在晷盘面上刻画出12个大格,每个大格代表两个小时,当太阳光照在日晷上时,晷针的影子就会投向晷盘面,以此来显示时刻,那么如何确定晷盘与晷针垂直呢?,【知识点拨】,知识点一:直线与平面垂直的定义,要点笔记 直线和平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况.,微练习直线l与平面内的无数条直线垂直,则()A.l和相互平行B.l和相互垂直C.l在平面内D.l和的位置关系不能确定答案 D解析 直线l和相互平行或直线l和相互垂直或直线l在平面内都有可能,如图所示.,知识点二:直线与平面垂直的判定定理,微判断(1)若直线垂直于平面内的两条直线,则这条直线与平
3、面垂直.()(2)若直线垂直于梯形的两腰所在的直线,则这条直线垂直于两底边所在的直线.()(3)若直线垂直于梯形的两底边所在的直线,则这条直线垂直于两腰所在的直线.()答案(1)(2)(3),知识点三:直线与平面垂直的性质定理,微思考在长方体ABCD-ABCD中,棱AA,BB所在直线与平面ABCD位置关系如何?这两条直线又有什么样的位置关系?提示 棱AA,BB所在直线都与平面ABCD垂直;这两条直线互相平行.,知识点四:空间距离1.点到平面的距离:过一点S向平面ABC作垂线,垂足为A,则称垂线段SA的长度为点S到平面ABC的距离.2.直线与平面的距离:一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点
4、到这个平面的距离,叫作这条直线与这个平面的距离.,微练习已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,则点C到平面BDD1B1的距离为(),答案 B解析 如图,AC与DB交于点O,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,DBAC,BB1AC,BB1DB=B,BB1,DB平面BDD1B1,AC平面BDD1B1.点C到平面BDD1B1的距离为CO.,知识点五:直线与平面所成的角,一条直线l与一个平面相交,但不与平面垂直,则直线l称为平面的一条斜线,斜线l与平面的交点A 称为斜足.过斜线l上斜足以外的一点P向平面作垂线,过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线l在平面上的投影.平面的一条斜线与它在该平
5、面上的投影所成的锐角,叫作这条直线与这个平面所成的角.当直线l与平面平行或在平面内时,直线l与平面所成的角为0.当直线l与平面垂直时,直线l与平面所成的角为90.故直线l与平面所成角的取值范围是0,90.,微练习(1)如图所示,若斜线段AB是它在平面上的投影BO的2倍,则直线AB与平面所成的角是()A.60B.45C.30D.120(2)如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等于.,答案(1)A(2)45解析(1)ABO即是斜线AB与平面所成的角,在RtAOB中,AB=2BO,所以cosABO=,即ABO=60.(2)因为PA平面ABC,所以
6、斜线PB在平面ABC上的投影为AB,所以PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在PAB中,BAP=90,PA=AB,所以PBA=45,即直线PB与平面ABC所成的角等于45.,课堂篇 探究学习,例1如图所示,ABBC,ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,AC的中点为D.(1)求证:SD平面ABC.(2)若AB=BC,求证:BD平面SAC.分析(1)先由等腰三角形SAC及D为边AC的中点,得SDAC.再由SDASDB,得SDDB.(2)可利用等腰三角形的性质得到BDAC,再结合(1)的结论证明BDSD.,证明(1)SA=SC,D为AC的中点,SDAC.在RtABC中,AD=DC=BD
7、,又SA=SB,SDASDB.SDA=SDB,即SDDB.又ACBD=D,AC平面ABC,BD平面ABC,SD平面ABC.(2)BA=BC,D为AC的中点,BDAC.SD平面ABC,BD平面ABC,BDSD,AC平面SAC,SD平面SAC,ACSD=D,BD平面SAC.,反思感悟 直线与平面垂直的证明方法证明线面垂直时主要是利用直线与平面垂直的判定定理,在已知平面内寻找两条相交直线与平面外的直线垂直.证明线线垂直时,要注意分析几何图形,寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系,进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形、菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法.,变式训练1如
8、图,在四棱锥S-ABCD中,ABCD,BCCD,侧面SAB为等边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1.求证:SD平面SAB.,例2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证:EFBD1.,证明 连接AB1,B1C,BD,B1D1,如图.DD1平面ABCD,AC平面ABCD,DD1AC.又ACBD,BDDD1=D,BD平面BDD1B1,DD1平面BDD1B1,AC平面BDD1B1.又BD1平面BDD1B1,ACBD1.同理BD1B1C,ACB1C=C,BD1平面AB1C.EFA1D,且A1DB1C,EFB1C.又EFAC,ACB1C=C,AC平面AB
9、1C,B1C平面AB1C,EF平面AB1C.EFBD1.要点笔记 直线与平面垂直的性质定理主要是用来证明直线与直线平行:垂直于同一平面的两条直线平行.,变式训练2如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN平面A1DC.求证:(1)MNAD1;(2)M是AB的中点.,证明(1)因为四边形ADD1A1为正方形,所以AD1A1D.又因为CD平面ADD1A1,所以CDAD1.因为A1DCD=D,A1D,CD平面A1DC,所以AD1平面A1DC.又因为MN平面A1DC,所以MNAD1.(2)如图,设AD1与A1D的交点为O,连接ON,在A1DC中,A1O=OD
10、,A1N=NC,所以ON CD AB.所以ONAM.又因为MNOA,四边形AMNO为平行四边形.所以ON=AM.因为ON=AB,所以AM=AB.所以M是AB的中点.,例3在正方体ABCD-A1B1C1D1中:(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值;(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.,解(1)直线A1A平面ABCD,A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角.设A1A=1,则AC=,tanA1CA=.(2)连接A1C1交B1D1于点O,连接OB,在正方形A1B1C1D1中,A1C1B1D1,BB1平面A1B1C1D1,A1C1平面A1B1C1D1,BB1A1C1.又BB1B
11、1D1=B1,BB1,B1D1平面BDD1B1,A1C1平面BDD1B1,垂足为点O.A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角,在RtA1BO中,A1O=A1C1=A1B,A1BO=30.即直线A1B与平面BDD1B1所成的角为30.,反思感悟 求直线与平面所成角的方法(1)寻找过斜线上斜足以外一点与平面垂直的直线;连接垂足和斜足得到斜线在平面上的投影,斜线与其投影所成的锐角即为所求的角.规定当直线与平面平行或在平面内时,所成角为0;当直线与平面垂直时,所成角为90.(2)把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.,变式训练3如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC
12、=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为(),答案 D解析 AA1平面A1B1C1D1,AC1A1为直线AC1与平面A1B1C1D1所成角,AA1=1,AB=BC=2,AC1=3,例4如图所示,已知P为ABC外一点,PA,PB,PC两两垂直,PA=PB=PC=a,求点P到平面ABC的距离.分析(方法1)作出点到平面的垂线,进一步求出垂线段的长.(方法2)利用等体积法转化求解.,解(方法1)过点P作PO平面ABC于点O,连接AO,BO,CO,所以POOA,POOB,POOC.因为PA=PB=PC=a,所以PAOPBOPCO.所以OA=OB=OC,所以O为ABC的外心.因为
13、PA,PB,PC两两垂直,反思感悟 1.求点到平面距离的基本步骤是:(1)找到或作出要求的距离;(2)使所求距离在某一个三角形中;(3)在三角形中根据三角形的边角关系求出距离.2.求点到平面距离的常用方法:(1)直接过点作面的垂线,求垂线段的长,通常是化归到某一个直角三角形中去求解;(2)转移法:借助于线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离求解;(3)等体积法:利用三棱锥的特征选择恰当的底面来求点到面的距离(即棱锥的高).,变式训练4在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,PA平面ABCD,且PA=1,取对角线BD上一点E,连接PE,PEDE,则PE的长为.,解析 如图所示,连接AE.因
14、为PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD.又因为BDPE,PAPE=P,PA,PE平面PAE,所以BD平面PAE,所以BDAE.,转化与化归思想的应用典例设四边形ABCD是空间四边形,AB=AD,CB=CD,求证:ACBD.分析要证空间直线ACBD,从题目条件上看似无从入手,可将空间问题转化为平面问题考虑,若取BD的中点E,则证BDAC转化为证BDEC,BDEA.,证明 取BD的中点E,连接AE,CE.由已知,在等腰三角形ABD和等腰三角形CBD中,有AEBD,CEBD.AECE=E,AE,CE平面AEC,BD平面AEC.又AC平面AEC,BDAC.方法点睛要证明直线与直线垂直,往往
15、转化为证明线面垂直,再利用线面垂直得出线线垂直.,1.在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与AA1垂直的面的个数是()A.1B.2C.3D.6答案 B解析 仅有平面ABCD和平面A1B1C1D1与直线AA1垂直.,2.如果一条直线垂直于一个平面内的:三角形的两边;梯形的两边;圆的两条直径;正六边形的两条边.则能保证该直线与平面垂直的是()A.B.C.D.答案 A解析 三角形的两边、圆的两条直径一定是相交直线,而梯形的两边、正六边形的两条边不一定相交,所以保证直线与平面垂直的是.,3.在ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA平面ABC,PA=8,则点P到BC的距离是(),答案 D,4.如图所示,AB是O的直径,PAO所在的平面,C是圆上一点,且ABC=30,PA=AB,则直线PC与平面ABC所成角的正切值为.,答案 2,5.在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,且四边形ABCD是矩形,AEPD于点E,l平面PCD,求证:lAE.证明 PA平面ABCD,CD平面ABCD,PACD.又CDAD,PAAD=A,PA,AD平面PAD,CD平面PAD.AE平面PAD,AEDC.又AEPD,PDCD=D,PD,CD平面PCD,AE平面PCD.l平面PCD,lAE.,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,
