1、高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HAU SHE JI,第四章,2021,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,课标阐释,思维脉络,1.掌握等差数列前n项和公式的推导方法.(逻辑推理)2.掌握等差数列的前n项和公式,能够运用公式解决相关问题.(数学运算)3.理解Sn与an的关系,并能运用这个关系解决相关问题.(数学运算),课前篇 自主预习,【激趣诱思】泰姬陵坐落于印度古都阿格拉,是17世纪莫卧儿帝国皇帝沙贾汗为纪念其爱妃所建,被评为世界新七大奇迹之一.它的主体建筑由纯白大理石砌建而成,陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝.传说陵寝中有一个三角
2、形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层(如图),你知道这个图案一共用了多少颗宝石吗?,【知识梳理】,等差数列的前n项和公式及其推导,微拓展从函数角度认识等差数列的前n项和公式:(1)公式的变形(2)从函数角度认识公式当d0时,Sn是项数n的二次函数,且不含常数项;当d=0时,Sn=na1,Sn不是项数n的二次函数.(3)结论及其应用已知数列an的前n项和Sn=An2+Bn+C,若C=0,则数列an为等差数列;若C0,则数列an不是等差数列.,名师点析(1)两个公式均为等差数列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量.通常已知其中三个,可求其余两个,而且方法就是解方程(组),
3、这也是等差数列的基本问题形式之一.,微练习(1)记等差数列an的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7=.(2)已知等差数列an的前n项和为Sn,公差为d.若S17=102,a11=12,则d=,S20=.,答案(1)14(2)3210,课堂篇 探究学习,例1(1)设Sn是等差数列an的前n项和,且a1=1,a4=7,则S9=.(2)设Sn为等差数列an的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=.(3)在等差数列an中,若a1=1,an=-512,Sn=-1 022,则公差d=.分析利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程进行计算求解.,答案(1)81(2)15(3)-171
4、解析(1)设等差数列an的公差为d,则a4=a1+3d=1+3d=7,所以d=2.(2)设等差数列an的公差为d,解得n=4.又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,解得d=-171.方法技巧a1,d,n称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,d,n,an,Sn中,可知三求二,即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运算的基本方法.在运算中要注意等差数列性质的应用.,变式训练 1(1)设等差数列an的前n项之和为Sn,已知a2=3,a5=9,则S5=(
5、)A.15B.20C.25D.30(2)若等差数列an的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=()A.12B.13C.14D.15(3)已知Sn为等差数列an的前n项的和,若a3=16,S20=20,Sn=110,则n=.,答案(1)C(2)B(3)10或11又a2=3,a4=7,公差d=2.a7=a4+3d=7+32=13.,例2(1)已知数列an的前n项和Sn=5n-1,求数列an的通项公式.(2)已知数列an的前n项和,求数列an的通项公式.分析利用an与Sn的关系求通项公式,注意对首项的检验.,解(1)当n=1时,a1=S1=51-1=4.当n2时,an=Sn-Sn-1=(5n-1)
6、-(5n-1-1)=5n-5n-1=45n-1.由于a1=4也适合an=45n-1,因此数列an的通项公式是an=45n-1(nN*).,反思感悟 已知数列an的前n项和Sn,求通项公式an的步骤(1)当n=1时,a1=S1.(2)当n2时,根据Sn写出Sn-1,化简an=Sn-Sn-1.(3)如果a1也满足当n2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列an的通项公式为an=Sn-Sn-1;如果a1不满足当n2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列an的通项公式要分段表示为,变式训练 2已知数列an的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5ak8,则k=()A.9B.8C.7D.6答案
7、 B解析 当n2时,an=Sn-Sn-1=n2-9n-(n-1)2+9(n-1)=2n-10.当n=1时,a1=S1=-8也适合,所以an=2n-10.因为5ak8,所以52k-108,解得7.5k9,故k=8.,例3(2021河南豫南九校高二期末)疫苗是解决“新冠病毒”的关键,为了早日生产“新冠病毒”疫苗,某研究所计划建设n个实验室,从第1到第n实验室的建设费用依次构成等差数列,已知第7实验室比第2实验室的建设费用高15万元,第3实验室和第6实验室的建设费用共为61万元,现在总共有建设费用438万元.则该研究所最多可以建设的实验室个数是()A.10B.11C.12D.13,答案 C,反思感悟
8、 应用等差数列解决实际问题的一般思路,变式训练 3甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1分钟移动2 m,以后每分钟比前1分钟多移动1 m,乙每分钟移动5 m.(1)甲、乙两物体开始运动后几分钟相遇?(2)如果甲、乙两物体到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前1分钟多移动1 m,乙继续每分钟移动5 m,那么开始运动后几分钟第二次相遇?,解(1)设n分钟后甲、乙两物体第1次相遇,由题意,得2n+5n=70,整理得n2+13n-140=0,解得n=7,n=-20(舍去).所以第1次相遇是在开始运动后7分钟.(2)设n分钟后甲、乙两物体第2次相遇,由题意,得2n+5n=370,整理
9、得n2+13n-420=0,解得n=15,n=-28(舍去).所以第2次相遇是在开始运动后15分钟.,利用Sn与an的关系式求通项公式典例 已知数列an的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn=+n-4.(1)求证:an为等差数列;(2)求出an的通项公式.分析在等式2Sn=+n-4中,令n取n-1,可得2Sn-1=+n-5.两式相减,利用an与Sn的关系可消去Sn,得到an与an-1的关系,从而可判断数列an是不是等差数列,再根据a1=S1可求出a1的值,即得an的通项公式.,若an-1=-an-1,则an+an-1=1,而a1=3,所以a2=-2,这与数列an的各项均为正数相矛盾;若a
10、n-1=an-1,即an-an-1=1,因此an为等差数列.(2)由(1)知,an为等差数列,且a1=3,公差d=1,所以an=3+(n-1)=n+2,故an的通项公式为an=n+2.,方法点睛已知an与Sn的关系式求an时,可根据已给出的关系式,令n取n+1或n取n-1,再写出一个关系式,将两式相减,消去Sn,得到an与an+1或an与an-1的关系,从而确定数列an是等差数列或其他数列,求出其通项公式.,延伸探究 在本例中,若将条件变为“数列an的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足8Sn=(an+2)2”,求数列an的通项公式.即(an+an-1)(an-an-1-4)=0.因为数列an
11、的各项均为正数,所以an+an-10,所以an-an-1-4=0,即an-an-1=4,所以数列an为首项为2,公差为4的等差数列,故an=2+4(n-1)=4n-2.,1.设Sn为等差数列an的前n项和,公差d=-2,若S10=S11,则a1=()A.18B.20C.22D.24答案 B,2.(2021安徽江淮名校高二联考)若等差数列an的前n项和为Sn,且S3=6,a3=4,则其公差d=(),答案 C,3.小于20的正奇数的所有和为()A.64B.81C.100 D.121答案 C解析 设小于20的正奇数构成的数列为an,则an是首项a1=1,公差d=2的等差数列,an=2n-1.由an1
12、9,得n10,即共有10个数.,4.已知数列an的前n项和Sn=-n2+3n,若ak+1=-16,则k的值等于()A.9B.8C.7D.6答案 A解析 当n2时,an=Sn-Sn-1=-n2+3n+(n-1)2-3(n-1)=-2n+4.又a1=S1=2也适合上式,所以an=-2n+4(nN*),由ak+1=-16,得-2(k+1)+4=-16,解得k=9.,5.某电影院中,从第2排开始,每一排的座位数比前一排多2,第1排有18个座位,最后一排有36个座位,则该电影院共有个座位.答案 270解析 从第1排开始每排座位数形成等差数列an,其中a1=18,an=36.公差为d=2,则36=18+2(n-1),解得n=10.,6.(2021广西桂林高二期末)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-1,S3=3.(1)求an的通项公式;(2)求Sn.,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,
