1、 第七章 常微分方程 小结 一、本章基本要求 1 通过本章学习，要求学生 掌握微分方程的基本概念，能够熟练地、准确地判定一个微分方程的类型，掌握方程的阶和解、通解、特解等概念。2 掌握一阶微分方程的基本解法，能够熟练地对可分离变量微分方程、齐次方程以及一阶线性微分方程和贝努里方程求解。3 掌握几类可降阶的方程及求解途径，学会对y（n）=f（x）、y/=f（y，y/）和 y/=f（x，y/）等型高阶微分方程的求解。4 学会二阶常系数齐次微分方程和常系数非齐次微分方程的求解方法，培养学生分析问题的能力和解题能力。二、内容提要 1 什么叫微分方程？凡含有自变量、未知函数和未知函数导数的方程，称为微分
2、方程。2 微分方程的阶 微分方程的阶是微分方程中出现的末知函数最高阶导数的阶数在一个微分方程中，未知函数的导数可能有阶、二阶、一直到 n 阶，那么该微分方程的阶就是 n。3 关于线性和非线性微分方程 如果微分方程 F（x，y，y/，y/，y（n）=0 的左端为y及y/，y/，y（n）的一次有理整式，则称该方程称线性微分方程，否则称非线性微分方程。因此，n阶线性微分方程的一般形式为：y（n）+a1（x）y（n-1）+an-1（x）y/+an（x）y=f（x）其中a1（x），an-1（x），an（x），f（x）是x的已知函数。4 关于微分方程的解、通解和持解 如果把一个函数代入一个微分方程，使该方
3、程成为一个恒等式，那么、这个函数称为该微分方程的个解。1 您所下载的资料来源于考试点视频学习网站http:/ 与代数方程不同，微分方程的解，一股而言，不是常数而是函数；解的个数有无限个之多例如，根据积分学的基本定理，我们知道，方程 其中 F（x）是 f（x）的任一确定的原函数，c 是任意常数，由于 c 的任意性，所以(2)代表方程(1)的无数个解又因方程(1)的任一确定的解必具(2)队形式(但其中的 c 取特定的值)，故(2)称为方程(1)的通解。而当 c 取确定数值时所得到的解则称为方程（1）的一个特解。5 一 阶微分方程 （1）、变量分离方程 （2）齐次方程 形如 齐次方程的解法，作变量代
4、换，令 2 您所下载的资料来源于考试点视频学习网站http:/ （3）一阶线性方程 形如 的方程叫做一阶线性方程，P（x），Q（x）是 x 的连续函数。若 Q（x）0，时，方程 叫做齐次线性方程。若 Q（x）0，时，方程叫做非齐次线性方程。齐次线性方程的解可用变量分离法求得，其通解为 满足初值条件：当x=x0时，y=y0的特解为 非齐次线性方程的解法是齐次线性方程解的基础上，用常数变易法求解的。即设 c（x）是待定函数，求导数得 3 您所下载的资料来源于考试点视频学习网站http:/ 代入（7）得 积分得可以求 c（x）c（x）代入 （4）贝努里方程 形如 的方程叫做贝努利（Bern0ulli
5、）方程，P（x）、Q（x）都是连续函数。将方程（10）除以yn，得 令 u=y1-n 则 代入（11）得 是一线性方程，求解后代入变换 u=y1-n，得原方程的通解。6、可降阶的高阶微分方程 4 您所下载的资料来源于考试点视频学习网站http:/ （1）y（n）=f（x）型的方程 直接积分 n 次，即可得通解，每次积分都有增加一个任意常数，所以在通解中含有 n 个任意常数。（2）y/=f（x，y）型的方程 特点：不显含未知函数y，可设 y/=p（x），则 这是一个关于 x，p 的一阶微分方程，设通解为 由于 又可得 积分得原方程的通解为 （3）y/=f（y，y）型的方程 特点：不显含自变量x，
6、可设 y/=p（y），则 则原方程化为 这是一个关于 p，y 的一阶微分方程，设通解为 分离变量并积分得原方程的通解 7、二阶常系数线性微分方程 5 您所下载的资料来源于考试点视频学习网站http:/ （1）二阶常系数齐次线性微分方程 y/+py/+qy=0 （12）其中 p，q 为常数，求解步 骤 第一步、写出微分方程(12)的特征方程 r2+pr+q=0；第二步、求出特征方程的特征根；第三步、根据特征根的不同形式，按照下表写出微分方程(12)的通解。（2）二阶常系数非齐次线性微分方程 y/+py/+qy=f（x）（13）其中 p，q 为常数，f（x）是 x 的已知函数，求解步骤根据教材中所
7、讨论的三种情况归纳列表。r2+pr+q=0 的根r 1，r 2 y/+py/+qy=0 的通解 两个不相等的实根r 1 和r 2 两个相等的实根r 1 和 r 2 一对共扼复根 r 1，2i y C 1e r 1 x+C 2e r 2 x y (C l+C 2)e r 1 x y e a x(C 1cosx+C 2sinx)6 您所下载的资料来源于考试点视频学习网站http:/ f（x）取特解的形式 注意 B 0 x s+B 1x s-1+B s 特征根 0 A 0 x s+A 1x s-1+A s x k（B 0 x s+B 1x s-1+B s）=0 是 k 重特征根 e x（B 0 x
8、s+B 1x s-1+B s）不是特征根 e x（A 0 x s+A 1x s-1+A s）x ke x（B 0 x s+B 1x s-1+B s）是 k 重特征根 e a xP s（x）cosx+Q s（x）sinx i 不是特征根 Ps（x），Qs（x）是与 Ps（x），Qs（x）次数相同的多项式如果 Ps（x），Qs（x）次数不相同，取最高次 e axP s（x）cosx 或 e a xQ s（x）sinx 或 e a xP s（x）cosx+e a xQ s（x）sinx P s（x），Q s（x）中有一个是 s 次多项式，而另一个是不超过 s 次的多项式 x ke a xP s（x）
9、cosx+xQ s（x）sinx i 是 k 重特征根，Ps（x），Qs（x）同上 7 您所下载的资料来源于考试点视频学习网站http:/ 三、学习建议 1、关于微分方程的概念？这里应注意，在一个微分方程中，不一定明显地出现自变量和未知函数，但未知函数的导数一定要出现。例如，y/=0 是一个微分方程，但它并未明显出现自变量和未知函数，而x2+y2=1 是一个方程，但它不是微分方程。因此区分一个方程否是微分方程，关键在于方程是否出现未知函数的导数。2、关于线性和非线性微分方程 线性微分方程是教材讨论的重点，因此如何判断一个微分方程是线性方程就十分重要。微分方程 y/+y2=0 ，不是线性方程，虽
10、然关于y/是一次有理整式，但关于未知函数y并不是一次有理整式。再如微分方程（y/）2+y=0，它也不是一阶线性方程，它虽然对未知函数y是一次有理整式，但对未知函数的导数y/并不是一次有理整式。所以它是非线性微分方程。3、关于微分方程的解、通解和持解 如果把一个函数代入一个微分方程，使该方程成为一个恒等式，那么、这个函数称为该微分方程的个解。8 您所下载的资料来源于考试点视频学习网站http:/ 例如 故 是原方程的一个解 因为任意常数 C 的导数是零，所以函数 也都是原方程的解 由此可知，微分方程的解并不只有一个，而是同时有无 穷多个函数，所以，一个微分方程的全部解构成一个函数族，上例从形式上
11、看，方程的解加上个任意常数 C 后还是方程的解如果认为这是个规律，那就不对了，例如微分方程 取 y=x2 微分方程左边，得 故，是原方程的一个解，但对任意一个常数c（0），函数yx2+c就不是原微 分方程的解，而函数族ycx2却是原方程的解，这个微分方程的解也有无穷多，它们也构成一个函数族 为了获得符合实际工作要求的完全确定的解，仅有微分方程是不够的，还必须附加一定的条件，这些条件称为定解条件。而在定解条件中，比较常见，比较重要的一种，是描述巳知物体在运动的某一时刻(如 t0)所处的状态如已知初始位移、初始速度等，这类定解条件称为初值条件，附加了初值条件的微分方程问题，称为初值问题本教材仅讨论
12、初值(柯西问题)一般地说，阶微分方程只需要一个初值条件，n 价微分方程应有 n 个初值条件。一个初值问题的求解过程应当分为两步。首先求出方程的带有和方程阶数 9 您所下载的资料来源于考试点视频学习网站http:/ 相同个数的任意常数 的解的表达式；其次，把初值条件代入，确定出其中任意常 数的值，这样得到的解称为初值问题的特解。第一步是求出方程的通解；第二步求初值问题的特解 方程的通解通常理解为：在一个 n 阶微分方程的解的表达式中，如果包含n 个任意常数，它们是相互独立的(不能相互合并)，使对在一定范围内任意指定的 n个初始条件，我们都能适当选定这些任意常数的值，而获得该初值问题的特解，这个解
13、的表达式称为 n 阶微分方程的通解。微分方程的基本问题求解及研究解的各种属性，当然首要的问题是求解。如前所述，如果能求得方程通解的表达式，根据初值条件，能适当的选定任意常数而得到所求的特解。同时，利用这种解的表达式就可以来研究解的某些属性。对于微分方程解的表达式，起初人们总想用初等函数来表达方程的解，但是即使最简单的一阶方程，也是不一定能办到的 例 方程 的解就不能用初等函数表示出来，因为该初等函数的原函数不能用初等函数表示出来，后来人们提出，用“初等函数或初等函数的积分”形式来表达方程的解，这时上述方程可以用公式 给出。所以，以后我们提到微分方程的解，总是理解为可用“初等函数或初等函数的积分
14、”表达的解。4、变量分离方程 变量分离类型的方程是本章的基本方程，其解法是本章解题的基本方法，因为本章许多类型的方程通过代换可化为变量分离方程去求解。因此，必须把它搞清楚。变量分离的方程形式其特点是导数巳解出，方程的右端为一个仅含 x 的函数 f（x），与另一个仅含 y 的函数 g(y)的乘积形式 如果 g(y)1，那么方程可直接积分求解，其通解为 y=f（x）dx+c 10 您所下载的资料来源于考试点视频学习网站http:/ 一般地，在原方程中，如果 f(x)是连续函数 g（y）连续且恒不为零，则原方程可分离变量。得 5、一阶线性微分方程 （1）线性微分方程的理论和求解方法是本教材主要讨论的
15、内容，也是在应用中常常遇到的一类方程，学习它对求解非线性微分方程很有启发，因此学生一定要掌握它的求解思路和 方法。（2）一阶线性微分方程的求解是在一阶齐次线性微分方程的基础用常数变易法求解的，用常数变易法求解非齐线性方程的方法比较重要，它可以以推广到高阶线件方程和线性方程组，一定要把方法搞熟。（3）学生掌握了线性微分方程的理论和求解方法后，在完成作业时可经直接应用解的公式解题。（4）最后，我们要注意线性这个概念是必须先确定了未知函数和自变量以后才能下定义的，教材泛以 y 为未知函数，y 为内自变量的线性微分方程如果知函数以 y 为未知函数，方程就往往不是线性微分方程。6、关于二阶常系数线性微分
16、方程的解类型 二阶常系数线性微分方程的解类型教材中只讨论三种类型，为什么这三种类型，能有确定形式的特解，主要的想法是，常系数线性方程，作为它的解代入方程后，应使得方程两边恒等。而方程左端与导数有关，所以要选取这样形式的函数作为解：函数的导数的线性组合与方程右端的函数在形式上应该相同由于多项式其导数仍是多项式(次数降低)；指数函数其导数仍是指数函数，正弦和余弦组合的函数其导数仍是正弦和余弦组合的函数。这样将确定的形式代入方程，才能比较等式两端的系数，从而确定待定的数值，得到方程的特解。如果 f（x）不是上述三类函数，而是一般情况，那么就要先求出对应齐次线性方程的通解，然后再用常数变易法求出非齐线
17、性方程的特解。这里应指出一点，有些方程的右端项，起初看起来并不属于上述的三类函 11 您所下载的资料来源于考试点视频学习网站http:/ 数，但可用变换化成上述三类情况之一，从而求出方程的解。典型例题解答 例 2 锰，铀等放射性元素因不断地放出各种射线而逐渐减少其质量(称为衰变)，根据实验知道衰变速度与剩余物的质量成正比，问这种元素的质量 x是时间 t 的什么样的函数？解 由题意可知有 这 表示衰变速度，即 x 关于 t 的变化率，k0 是比例常数，因元素的不同而异。等式右边的负号表示当 x0 时，0，即当 t 增加时镭的质量总是减少的，要从方程找出 x 与 f 的函数关系，只须把它改写为：然
18、后两边积分，即得：ln|x|=-kt+c，x=e-kt+c=ce-kt 当t=t0时，x=x0 代入方程从而得c=x0ekt 即得x与t之关系为 x=x0e-k（t-t0）例 3、求解微分方程 显然方程是变量分离方程，当 1-y20 时，方程可变为 12 您所下载的资料来源于考试点视频学习网站http:/ 积分得 故其通解为 例 4 求解微分方程 sinxdx-ylnydx=0 解 用 ylnysinx 除以方程两端，得变量分离方程 积分得 故通解为 例 5 解方程 （x2-y 2）dy-2xydx=0 解 将方程化为 方程右边分子分母同除x2 得 是齐次方程，设 y=xu 可分离变量，得 1
19、3 您所下载的资料来源于考试点视频学习网站http:/ 积分得 ln|u|-ln|1+u2|=ln|x|-lnc x（1+u2）=cu 以 代入化简后得方程的通解为 x2+y2=cy 例 6 解方程 解（1）求y/-2xy=0 的通解 分离变量后积分，得 （2）令 对 x 求导，代入方程中得 积分得 c（x）=cosxdx=sinx+c（3）所求方程的通解为 例 7 解方程 解 该方程对 y，不是线性方程，将方程化为 对 x，是线性的可按步骤求解（1）求 的通解 14 您所下载的资料来源于考试点视频学习网站http:/ 分离变量积分得 x=cy（2）令 x=c（c）y，代入方程得 c/（y）=
20、y 积分得 （3）所求的通解为 例 8 解方程 解将方程化为 得通解为 u=e-4x-4xe4xdx+c =e-4x-xe4xdx+e4x+c 故 y-4=ce-4x-x+例 9 y/=sinx+cosx 解 两次积分就可以得到通解 y/=-cosx+sinx+c1 y=-sinx-cosx+c1+c2 例 10 解方程(y/)2+y/-x2-x=0 解 方程可经分解因式 （y/-x）（y/+x+1）=0 15 您所下载的资料来源于考试点视频学习网站http:/ 于是有 y/=x y/=-（x+1）两式都积分两次得 故原方程的通解为 例 11 解方程xy/-2y/=x3+x 解 方程不显含y，
21、设P=y/，p/=y/，代入得一阶线性方程 xp/-2p=x3+x 由此可知 又由变换知 积分可得通解为 例 12 求方程yy/-（y/）2=0 的通解，并求满足初值条件y（x）|x=0=1，y/（x）|x=0=2 的特解。解 方程不显含 x，设 可得 后式用分离变量积分得 p=c1y 16 您所下载的资料来源于考试点视频学习网站http:/ 即 y/=c1y 积分得方程的通解为 y=c2ec1x另外还有 p=0 即 y=c，这个解包含在上述通解中。将初值条件y（x）|x=0=1，y/（x）|x=0=2 代入通解中 y=c2ec1x，y/=c2c1ec1x，得c1=2，c2=1 故所求方程的特
22、解为 y=e2x 例 13 求方程yy/-3y/+2y=0 的通解 解 该方程为二阶齐次线性方程，设方程有y=ex 的形式的解，确定，特征方程为 2-+2=0 有两特征实根 1=-1，2=2，故方程的通解为 y=C1ex+C2e2x 例 14 解方程y/+4y/+5y=0 的通解 解 该方程为二阶齐次线性方程，特征方程为 2+4+5=0 有两特征根 1，2=-2i，故方程的通解为 y=e-2x（C1cosx+C2sinx）例 14 解方程y/+y=x2+x的特解 解 该方程为二阶非齐次线性方程，因an=10，故设特解为以下形式 Y=B0 x2+B1x+B2 求导后，代入方程，然后对比同次项的系
23、数得，B0=1，BB1，BB2。故所求的特解为 yxx2。例 15 解方程 y/yx2。解 对应齐线性方程为y/y0。，求得两个特征根为0，1，故齐次线性方程的通解为 yCC2ex，因0 是特征方程的单根，故设非齐线性方程特解的形式为 yx（BBxBB），17 您所下载的资料来源于考试点视频学习网站http:/ 代入方程，对比系数，得 BB，BB3，故特解为 yx（x3）。方程的通解为 yCCex（x3）。例习题例习题 1、指出下列微分方程的阶，并回答方程是线性的，还是非线性的。2、求下列方程的解 （2）xy（1+x2）dy-（1+y2）dx=0，（4）y2dx+（1+x）dy=0 并满足初值
24、条件y（0）=1 的特解。（10）xy/-（x+1）y=x2-x3 ，（11）y/+ay=emx，（a，mO为常数）（12）y/=x3y3-xy ，18 您所下载的资料来源于考试点视频学习网站http:/ （13）y/=x2sinx （14）yy/=y2y/+（y/）2 （15）yy/y/=（y/）3+（y/）2 （16）y/-4y=0 （17）y/+2y/+10y=0 （18）y/-2y/+2y=xexcosx （19）y/-4y/+4y=xe+e2x+1 （20）y/-6y/+10y=100 y（0）=10，y/（0）=5 自测题 一、选择题（15）（1）（）是微分方程 A，dy=（4x-
25、1）dx B，y=2x+1 C，y2-3y+2=0 D，sinxdx=0 （2）微分方程（y/）2+3xy=4sinx的阶数为（）A，2 B，3 C，1 D，0 （3）下列微分方程是变量分离方程的是（）A，（X2+1）dx+（y2-2）dy=0 B，（x2-y）dx+（y2+x）dy=0 C，（x2+y2）y/=2xy D，2x2yy/+y2=2 19 您所下载的资料来源于考试点视频学习网站http:/ （4）（）是二阶微分方程 A，（x+sinx）dx+（y-cosy）dy=0 B，（y/）2+y/+xy=0 C，D，y/+3xy+6sinx=0 （5）（）是常系数非齐次方程的是 A，y/+
26、3xy/+5x=0 B，y/+3xy/+4x=1 C，y/+secx=0 D，y/+y=2ex二、填空题（24）（1）的通解是 。（2）微分方程 y/+2y/-3y=0 的通解是 。（3）微分方程 y/+2y/+y=0 的通解是 。（4）y/+y/+sin2x=2 是 方程。（5）方程y/+y=sinx的特解形式为 。（6）方程y/+2y/=x2ex的特解形式 20 您所下载的资料来源于考试点视频学习网站http:/ 为 。三、判断题（12）（1）y=5x2是微分方程xy=2y的通解。（）（2）y+arccosx+c 是微分方程 的通解。（）（3）方程xy/+exy=ey是一阶线性微分方程。（
27、）（4）函数 是微分方程（x+y）dx+dy=0 解 （）（5）若y1、y2是方程y/+p（x）y=Q（x）的两个解，则y=C1y1+C2y2是该方程的通解。（）（6）y=f（x）是方程y/+f/（x）=f（x）f/（x）的解 （）四、解答题（36）求下列微分方程的通解 （1）xdx+ydy=0 （3）（4）y/=y/+x （5）3y/-2y/-8y=0 （6）y/+a2y=ex 五、应用题（13）21 您所下载的资料来源于考试点视频学习网站http:/ 3x+y，求此曲线方程。（2）某作直线运动的质点的加速度 a 与速度 v 和时间 t 的关系为 参考答案及难点提示参考答案及难点提示 一、学
28、习指导参考答案及难点提示 （一）练习题 1、（1）一阶线性；（2）一阶非线性；（3）一阶非线性；（4）二阶非线性；（5）二阶非线性；2、（1）y=c cosx ；（2）（1+x2）（1+y2）=cx2；（3）y=cex；（6）y2+xy=cx 3 ；（7）x2-xy+y2 +x-y=c；（8）y=cex -x-2；（9）y=sint-5；（10）y=cxex+x2；（11）y=e-ax（x+c）；m+a=0；（13）y=-x2sinx-4xcox+6sinx+c 1 x+c 2；（16）y=C1e2x+c2e-2x；（17）y=e-x（c 1cos3x+c 2sin3x）；22 您所下载的资料
29、来源于考试点视频学习网站http:/ （18）y=ex（c1cosx+c2sinx）+xex（cosx+sinx）；（20）y=5e3xsinx+10；（二）自测题 1、（1）A；（2）C；（3）A；（4）D；（5）D；2、（1）y=e2x+c；（2）y=c1e-x+c2 e-3X；（3）y=c1+c2e2x；（4）二阶常系数非齐次方程；（6）y=c1cosx+c2sinx+2（x-1）ex；3、（1）是；（2）否；（3）是；（4）是，；（5）是；（6）否；4、（1）x2+y2=c；（3）y=e-x（x+c）；5、（1）y=3（ex-x-1）23 您所下载的资料来源于考试点视频学习网站http:/
