1、2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1（5分）设z=，则z的共轭复数为（）A1+3iB13iC1+3iD13i2（5分）设集合M=x|x23x40，N=x|0x5，则MN=（）A（0，4B0，4）C1，0）D（1，03（5分）设a=sin33，b=cos55，c=tan35，则（）AabcBbcaCcbaDcab4（5分）若向量、满足：|=1，（+），（2+），则|=（）A2BC1D5（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A60种B70种C75种D150种6（5分）已知椭圆C：
2、+=1（ab0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为（）A+=1B+y2=1C+=1D+=17（5分）曲线y=xex1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A2eBeC2D18（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）AB16C9D9（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cosAF2F1=（）ABCD10（5分）等比数列an中，a4=2，a5=5，则数列lgan的前8项和等于（）A6B5C4D311（5分）已知二面角l为60，AB
3、，ABl，A为垂足，CD，Cl，ACD=135，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）ABCD12（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（）Ay=g（x）By=g（x）Cy=g（x）Dy=g（x）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13（5分）的展开式中x2y2的系数为 （用数字作答）14（5分）设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为 15（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于 16（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是
4、减函数，则a的取值范围是 三、解答题17（10分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B18（12分）等差数列an的前n项和为Sn，已知a1=13，a2为整数，且SnS4（1）求an的通项公式；（2）设bn=，求数列bn的前n项和Tn19（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，ACB=90，BC=1，AC=CC1=2（）证明：AC1A1B；（）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1ABC的大小20（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5
5、、0.4，各人是否需使用设备相互独立（）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望21（12分）已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|（）求C的方程；（）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程22（12分）函数f（x）=ln（x+1）（a1）（）讨论f（x）的单调性；（）设a1=1，an+1=ln（an+1），证明：an（nN*）2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一
6、、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1（5分）设z=，则z的共轭复数为（）A1+3iB13iC1+3iD13i【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】5N：数系的扩充和复数【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭可求【解答】解：z=，故选：D【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题2（5分）设集合M=x|x23x40，N=x|0x5，则MN=（）A（0，4B0，4）C1，0）D（1，0【考点】1E：交集及其运算菁优网版权所有【专题】5J：集合【分析】求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解【解答】解：由x
7、23x40，得1x4M=x|x23x40=x|1x4，又N=x|0x5，MN=x|1x4x|0x5=0，4）故选：B【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题3（5分）设a=sin33，b=cos55，c=tan35，则（）AabcBbcaCcbaDcab【考点】HF：正切函数的单调性和周期性菁优网版权所有【专题】56：三角函数的求值【分析】可得b=sin35，易得ba，c=tan35=sin35，综合可得【解答】解：由诱导公式可得b=cos55=cos（9035）=sin35，由正弦函数的单调性可知ba，而c=tan35=sin35=b，cba故选：C【点评】本题考
8、查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题4（5分）若向量、满足：|=1，（+），（2+），则|=（）A2BC1D【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【专题】5A：平面向量及应用【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，可得（+）=0，（2+）=0，由此求得|【解答】解：由题意可得，（+）=+=1+=0，=1；（2+）=2+=2+=0，b2=2，则|=，故选：B【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题5（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A60种
9、B70种C75种D150种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题菁优网版权所有【专题】5O：排列组合【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，则不同的选法共有155=75种；故选：C【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同6（5分）已知椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为（
10、）A+=1B+y2=1C+=1D+=1【考点】K4：椭圆的性质菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程【解答】解：AF1B的周长为4，AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，4a=4，a=，离心率为，c=1，b=，椭圆C的方程为+=1故选：A【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题7（5分）曲线y=xex1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A2eBeC2D1【考点】62：导数及其几何意义菁优网版权所有【
11、专题】52：导数的概念及应用【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率【解答】解：函数的导数为f（x）=ex1+xex1=（1+x）ex1，当x=1时，f（1）=2，即曲线y=xex1在点（1，1）处切线的斜率k=f（1）=2，故选：C【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础8（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）AB16C9D【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体菁优网版权所有【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离【分析】正四棱锥PABCD的外接球的球心在它的高P
12、O1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积【解答】解：设球的半径为R，则棱锥的高为4，底面边长为2，R2=（4R）2+（）2，R=，球的表面积为4（）2=故选：A【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题9（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cosAF2F1=（）ABCD【考点】KC：双曲线的性质菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论【解答】解：双曲线C的离心率为2，e=，即c=2a，点A在双曲线上，则|F1A
13、|F2A|=2a，又|F1A|=2|F2A|，解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，|F1F2|=2c，则由余弦定理得cosAF2F1=故选：A【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力10（5分）等比数列an中，a4=2，a5=5，则数列lgan的前8项和等于（）A6B5C4D3【考点】89：等比数列的前n项和菁优网版权所有【专题】54：等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10再利用对数的运算性质即可得出【解答】解：数列an是等比数列，a4=2，a5=5，a1a8=a2a7=a3
14、a6=a4a5=10lga1+lga2+lga8=lg（a1a2a8）=4lg10=4故选：C【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题11（5分）已知二面角l为60，AB，ABl，A为垂足，CD，Cl，ACD=135，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）ABCD【考点】LM：异面直线及其所成的角菁优网版权所有【专题】5G：空间角【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案【解答】解：如图，过A点做AEl，使BE，垂足为E，过点A做AFCD，过点E做EFAE，连接BF，AElEAC=90CDAF又ACD=
15、135FAC=45EAF=45在RtBEA中，设AE=a，则AB=2a，BE=a，在RtAEF中，则EF=a，AF=a，在RtBEF中，则BF=2a，异面直线AB与CD所成的角即是BAF，cosBAF=故选：B【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难题12（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（）Ay=g（x）By=g（x）Cy=g（x）Dy=g（x）【考点】4R：反函数菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用【分析】设P（x，y）为
16、y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x的对称点P（y，x）一点在y=f（x）的图象上，P（y，x）关于直线x+y=0的对称点P（x，y）在y=g（x）图象上，代入解析式变形可得【解答】解：设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x的对称点P（y，x）一点在y=f（x）的图象上，又函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，P（y，x）关于直线x+y=0的对称点P（x，y）在y=g（x）图象上，必有y=g（x），即y=g（x）y=f（x）的反函数为：y=g（x）故选：D【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题二、填空题(本大
17、题共4小题，每小题5分)13（5分）的展开式中x2y2的系数为70（用数字作答）【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有【专题】5P：二项式定理【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2y2的系数【解答】解：的展开式的通项公式为 Tr+1=（1）r=（1）r，令 8=4=2，求得 r=4，故展开式中x2y2的系数为 =70，故答案为：70【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题14（5分）设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为5【考点】7C：简单线性规划菁优网版
18、权所有【专题】31：数形结合【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大此时zmax=1+41=5故答案为：5【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于【考点】IV：两直线的夹角与到角问题菁优网版权所有【专题】5B：
19、直线与圆【分析】设l1与l2的夹角为2，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sin= 的值，可得cos、tan 的值，再根据tan2=，计算求得结果【解答】解：设l1与l2的夹角为2，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA=，圆的半径为r=，sin=，cos=，tan=，tan2=，故答案为：【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题16（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（，2【考点】HM：复合
20、三角函数的单调性菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用；57：三角函数的图像与性质【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=sinx换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围【解答】解：由f（x）=cos2x+asinx=2sin2x+asinx+1，令t=sinx，则原函数化为y=2t2+at+1x（，）时f（x）为减函数，则y=2t2+at+1在t（，1）上为减函数，y=2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=，解得：a2a的取值范围是（，2故答案为：（，2【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换
21、元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题三、解答题17（10分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理菁优网版权所有【专题】58：解三角形【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan（A+C）=tan（A+C）即可得出【解答】解：3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，3tanA=2tanC，tanA=，2tanC=3=
22、1，解得tanC=tanB=tan（A+C）=tan（A+C）=1，B（0，），B=【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题18（12分）等差数列an的前n项和为Sn，已知a1=13，a2为整数，且SnS4（1）求an的通项公式；（2）设bn=，求数列bn的前n项和Tn【考点】8E：数列的求和菁优网版权所有【专题】55：点列、递归数列与数学归纳法【分析】（1）通过SnS4得a40，a50，利用a1=13、a2为整数可得d=4，进而可得结论；（2）通过an=133n，分离分母可得bn=（），并
23、项相加即可【解答】解：（1）在等差数列an中，由SnS4得：a40，a50，又a1=13，解得d，a2为整数，d=4，an的通项为：an=174n；（2）an=174n，bn=（），于是Tn=b1+b2+bn=（）+（）+（）=（）=【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题19（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，ACB=90，BC=1，AC=CC1=2（）证明：AC1A1B；（）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1ABC的大小【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法菁优网版权
24、所有【专题】5F：空间位置关系与距离【分析】（）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（）作辅助线可证A1FD为二面角A1ABC的平面角，解三角形由反三角函数可得【解答】解：（）A1D平面ABC，A1D平面AA1C1C，平面AA1C1C平面ABC，又BCACBC平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C为菱形可得AC1A1C，又AC1BC，A1CBC=C，AC1平面A1BC，AB1平面A1BC，AC1A1B；（）BC平面AA1C1C，BC平面BCC1B1，平面AA1C1C平面BCC1B1，作A1ECC1，E为垂足，可得A1E平面BCC1B1，又直线AA1平面BCC1B1，A1E为直线A
25、A1与平面BCC1B1的距离，即A1E=，A1C为ACC1的平分线，A1D=A1E=，作DFAB，F为垂足，连结A1F，又可得ABA1D，A1FA1D=A1，AB平面A1DF，A1F平面A1DFA1FAB，A1FD为二面角A1ABC的平面角，由AD=1可知D为AC中点，DF=，tanA1FD=，二面角A1ABC的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题20（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立（）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（）X表示同一工作
26、日需使用设备的人数，求X的数学期望【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】记Ai表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备（）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求（）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出PXi，再利用数学期望公式计算即可【解答】解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.60.50.50.4+（10.6）0.50.50.4+0.6（
27、10.5）0.50.4+0.60.5（10.5）0.4+0.60.50.5（10.4）=0.31（）X的可能取值为0，1，2，3，4P（X=0）=（10.6）0.52（10.4）=0.06P（X=1）=0.60.52（10.4）+（10.6）0.520.4+（10.6）20.52（10.4）=0.25P（X=4）=P（A2BC）=0.520.60.4=0.06，P（X=3）=P（D）P（X=4）=0.25，P（X=2）=1P（X=0）P（X=1）P（X=3）P（X=4）=10.060.250.250.06=0.38故数学期望EX=00.06+10.25+20.38+30.25+40.06=2【
28、点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件，计算要有耐心，属于难题21（12分）已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|（）求C的方程；（）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得 p的值，可得C的方程（）设l的方程为 x=my+
29、1 （m0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|把直线l的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程【解答】解：（）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px（p0），可得x0=，点P（0，4），|PQ|=又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，+=，求得 p=2，或 p=2（舍去）故C的方程为 y2=4x（）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为 x=my+1（m0）
30、，代入抛物线方程可得y24my4=0，显然判别式=16m2+160，y1+y2=4m，y1y2=4AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1y2|=4（m2+1）又直线l的斜率为m，直线l的方程为 x=y+2m2+3过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点，把线l的方程代入抛物线方程可得 y2+y4（2m2+3）=0，y3+y4=，y3y4=4（2m2+3）故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），|MN|=|y3y4|=，MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，+DE2=MN2，4（m2+1）2 +=
31、，化简可得 m21=0，m=1，直线l的方程为 xy1=0，或 x+y1=0【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题22（12分）函数f（x）=ln（x+1）（a1）（）讨论f（x）的单调性；（）设a1=1，an+1=ln（an+1），证明：an（nN*）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；RG：数学归纳法菁优网版权所有【专题】53：导数的综合应用【分析】（）求函数的导数，通过讨论a的取值范围，即可得到f（x）的单调性；（）利用数学归纳法即可证明不等式【解答】解：（）函数f（x）的定义域为（1，+），f
32、（x）=，当1a2时，若x（1，a22a），则f（x）0，此时函数f（x）在（1，a22a）上是增函数，若x（a22a，0），则f（x）0，此时函数f（x）在（a22a，0）上是减函数，若x（0，+），则f（x）0，此时函数f（x）在（0，+）上是增函数当a=2时，f（x）0，此时函数f（x）在（1，+）上是增函数，当a2时，若x（1，0），则f（x）0，此时函数f（x）在（1，0）上是增函数，若x（0，a22a），则f（x）0，此时函数f（x）在（0，a22a）上是减函数，若x（a22a，+），则f（x）0，此时函数f（x）在（a22a，+）上是增函数（）由（）知，当a=2时，此时函数f（x）在（1，+）上是增函数，当x（0，+）时，f（x）f（0）=0，即ln（x+1），（x0），又由（）知，当a=3时，f（x）在（0，3）上是减函数，当x（0，3）时，f（x）f（0）=0，ln（x+1），下面用数学归纳法进行证明an成立，当n=1时，由已知，故结论成立假设当n=k时结论成立，即，则当n=k+1时，an+1=ln（an+1）ln（），ak+1=ln（ak+1）ln（），即当n=k+1时，成立，综上由可知，对任何nN结论都成立【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大 第24页（共24页）
