1、第 卷 第 期 年 月空间控制技术与应用 :引引用用格格式式：邱志成，朱许先 带开孔的柔性结构振动模态特性分析 空间控制技术与应用，（）：，（）：（）：带开孔的柔性结构振动模态特性分析邱志成，朱许先华南理工大学机械与汽车工程学院，广州 摘 要：为了减轻机构的质量、改善机构的振动特性，具有优良特性的开孔结构已被广泛应用于船舶工程与航空航天等诸多领域 为研究带开孔的柔性结构的振动模态特性，基于有限元法给出了开孔柔性结构的建模思路，对不同开孔特性和结构参数下的开孔柔性结构进行了模态分析，获得了模型结构的低阶模态频率与振型，并利用有限元分析软件 的模态分析结果验证了本文建模方法的正确性与有效性 分别分
2、析了不同开孔大小、开孔数量、孔间距和开孔形状，以及不同厚度、长宽比和不同约束条件下的开孔柔性结构模态特性，并总结了各种因素对振动模态特性的影响规律，为开孔柔性结构的设计及其振动控制提供基础关键词：柔性结构；开孔结构；有限元法；振动模态分析中图分类号：文献标志码：文章编号：（）收稿日期：；录用日期：基金项目：国家自然科学基金资助项目（）；广州市科技计划项目资助（）；广东省自然科学基金（）通信作者：引 言随着科学技术的发展，工程应用中在不断追求高速度与高精度的同时，也要求系统的低能耗性，因此，具有优良特性的轻质柔性结构在各个领域得到了广泛的应用 在航空航天应用中，太阳能帆板作为一种典型的可折叠式柔
3、性结构，针对其理论建模与振动控制已得到了广泛研究；在工业应用领域，机器人技术也在不断向轻质、低耗方向发展，由柔性梁结构组成的机械手替代传统的刚性梁结构可以有效地降低能耗、提高效率；在一类典型的三自由度平面并联机器人中，也常用柔性杆替代传统的刚性杆件构成轻质的柔性并联机器人，可以实现快速、高效的精密定位与轨迹跟踪应用然而，这类柔性结构由于柔性大、刚度低等特性，易发生弹性变形并产生振动，而这种残余振动由于系统的非线性因素与耦合特性需持续较长时间才能自由衰减下来，极大地影响了机构的精度，甚至会对机构本体造成疲劳损害 因此，针对柔性结构的振动检测与控制是重要的研究内容通常可以采用接触式与非接触式两种测
4、量方式实现振动的检测 例如，通过粘贴压电陶瓷传感器可以检测柔性结构的振动信号；通过在柔性梁末端安装加速度传感器可以获得柔性梁的振动信息并用于振动控制 但这种接触式测量方式会给被测结构带来一定的负载效应，会改变原有机构的质量和刚度等结构特性，因此一般可以采用视觉传感器、激光位移传感等非接触式测量传感器来消除这些影响，并搭配自适应控制、预测控制或其他智能控制算法实现柔性结构的主动振动控制为了有效地实现柔性结构的主动振动控制，需要事先对被控对象进行理论建模，这不仅有助于深入了解柔性结构的振动特性，还为传感器与致动器的布置、主动振动控制算法的设计提供思路针对柔性结构的理论建模方法通常可以采用假设模态法
5、、有限元法等 假设模态法将柔性结构的振动表示为多阶模态振型的叠加，并截取其中起空间控制技术与应用第 卷主导作用的多个低阶模态进行建模 等即采用假设模态法和拉格朗日方程建立了功能梯度材料梁系统的动力学模型，并对其自由振动特性进行了研究 由于假设模态法忽略了高阶模态，因而会产生一定的模型误差，因此其主要适用于结构相对简单的柔性结构，而对于结构复杂的柔性体通常采用有限元方法进行建模分析，该方法将研究对象利用网格划分为有限个单元，通过建立各单元模型并组装从而获得整体的系统模型 等提出了一种基于三节点 板单元的有限元方法用于板的静态和动态分析，并研究了夹层复合材料板在运动质量作用下的动态响应 除了上述理
6、论建模方法外，实际应用中通常也可以采用实验方法对柔性结构系统进行实验辨识建模为了进一步减轻机构的质量、改善机构的振动特性，通过开孔的方式可以获得性能更加优良的开孔柔性结构 开孔结构已广泛应用于船舶工程与航空航天等诸多领域，在工程应用中也常对高速平面并联机构的连杆进行镂空，以达到减小机构质量与运动惯量的目的 前述柔性结构的建模方法同样适用于开孔柔性结构 等人利用有限元方法和模态分析方法研究了微穿孔夹层梁的振动模态特性，并分别分析了各种影响参数下的固有频率和振型 等人结合悬臂梁理论与有限差分板模型对具有矩形开孔的矩形板进行了振动分析，并对不同开孔情形进行了分析，与其他分析方法获得的结果对比验证了该
7、方法的精确性本文以带开孔的柔性结构为研究对象，首先结合有限元法与拉格朗日方程给出了开孔结构的理论建模思路，与 软件的模态分析结果进行对比，验证了该建模方法的正确性与有效性 并先后分析了不同开孔特征、不同几何参数与约束条件下的带开孔柔性结构的低阶模态频率与模态振型，探究了各种参数对开孔柔性结构振动特性的影响，为开孔柔性结构在实际应用中的结构优化设计与振动主动控制提供思路 开孔柔性结构建模以具有单个矩形孔的柔性结构为例，图 所示为带矩形开孔的柔性结构几何模型示意图，其几何尺寸如下：长度为，宽度为，厚度为；矩形开孔长为，开孔宽为，开孔为完全贯穿通孔，因此开孔深度也为；图中开孔部分与长度方向边缘距离为
8、，与宽度方向边缘距离为 建立的坐标系 如图 所示，其中 轴与长度 方向重合，轴与宽度 方向重合，轴与厚度 方向重合图 带矩形开孔的柔性结构几何模型 采用有限元建模方法建立开孔柔性结构的理论分析模型，图 所示为典型的四节点矩形板单元示意图 该单元的长度和宽度分别为 和，每个节点均有三个自由度，分别为挠度、绕 轴的转角 ，以及绕 轴的转角 图 四节点矩形单元示意图 因此，四节点矩形单元共有 个自由度，单元的节点位移变量 可以表示为 （）采用多项式插值函数来拟合挠度，可以获得矩形单元中任意一点的位移函数（，）（，）（）（）式中，（，）为矩形单元的形函数矩阵，矩阵中各个元素的表达式详见文献矩形单元的质
9、量矩阵可以表示为（）式中，为柔性结构的材料密度矩形单元的刚度矩阵可以表示为（）式中，为矩形单元的几何矩阵，为柔性结构的材料弹性矩阵将式（）、（）代入拉格朗日第二方程，即可获第 期邱志成等：带开孔的柔性结构振动模态特性分析得矩形单元的动力学方程 为了获得开孔柔性结构的总体动力学方程，需要对单元的质量矩阵、刚度矩阵进行组装对于相邻单元中的公共节点，其相应矩阵中某个或多个元素需进行叠加；而对于本文研究的开孔柔性结构的开孔部分，由于其没有刚度和质量，在本文方法中开孔部分没有设置节点，通过合理分配单元大小并将开孔位置处单元空出；对于本文中设置的单边或者多边固定的约束条件，可以将对应的根部节点的自由度约束
10、设置为零通过上述单元建模与组装方法，可以获得开孔柔性结构总体的有限元动力学方程 （）由此可以转化为求解如方程（）所示的线性方程组的特征值问题 （）式中，即为开孔柔性结构的固有频率带开孔的柔性结构的振动模态特性的研究主要是基于上述固有频率的基础上进行的，对于本文中分析的其他开孔特征以及其他几何参数的情形，均可以通过改变积分上限、单元数目或者改变开孔单元位置的方式建立相应的分析模型求解模态频率的公式中，起关键作用的质量矩阵和刚度矩阵只与开孔结构本身的材料属性、几何参数以及边界条件有关，两者决定了开孔柔性结构的模态频率与振型分布 带开孔的柔性结构其开孔特征与结构参数的变化均是通过改变系统的总体质量与
11、刚度矩阵中的部分元素，进而影响机构的总体模态特性的，各种参数的作用主要体现在对结构总体质量和刚度的影响本文利用 软件对上述建立的开孔结构模型进行编程建模仿真，探究了各种影响因素对带开孔的柔性结构的振动模态频率和振型的影响特性，并利用 模态分析软件验证了该模型的正确性与有效性 开孔特征对模态特性的影响本文主要以各向同性的带开孔柔性板为研究对象，探究在不同开孔特征以及不同几何参数和约束条件下的带开孔柔性结构的振动模态特性，获得了结构的模态频率和振型柔性板由环氧树脂制成，其材料参数分别为：密度 ，杨氏模量 ，泊松比 ；柔性板的几何参数除 节和 节外，均为长 ，宽 ，厚 ；柔性板的约束条件除 节外，均
12、采用短边单侧固定约束的悬臂式开孔结构进行模态分析 不同开孔大小的影响本节首先通过两组不同影响因素下的模态分析数值算例，验证前文中带开孔结构的理论建模方法的有效性 根据开孔柔性结构的尺寸参数与材料特性参数，通过 编程对建立的理论模型进行模态分析，并与 软件的有限元仿真分析结果进行对比针对不同开孔大小对柔性板模态频率的影响，分别选取边长为 、共 种不同孔径下的正方形孔单开孔柔性板进行模态分析，得到了前 阶模态频率与振型 表 分别列出了不同孔径下的 模态分析结果与本文建模方法求解的开孔柔性板一阶模态频率，并计算了本文建模分析方法的相对误差表 不同开孔大小一阶模态频率 孔径大小 本文方法 相对误差 无
13、孔 根据表 中的数据结果可知，通过本文的建模分析方法获得的模态频率与 模态分析结果仅有极小的相对误差，验证了该建模方法的有效性 图（）、（）分别绘制了正方形孔单开孔柔性板在不同开孔大小下的一阶模态频率和一阶振型最大形变量曲线由图表可知，随着孔径大小的不断增大，开孔柔性板的一阶模态频率呈现不断下降的趋势，且下降幅度显著 主要原因是随着开孔大小的不断增大，相对于质量的减少而言，其结构刚度的降低对柔性板的一阶模态频率起主导作用，结果导致孔径越大，开孔柔性板的一阶模态频率越低图（）中一阶模态频率下降曲线的斜率绝对值呈现不断增大的趋势，说明随着开孔大小的不断空间控制技术与应用第 卷图 不同开孔大小一阶模
14、态频率与一阶振型最大形变量 增大，相同增量的孔径变化对降低柔性板刚度的作用也变得更为显著 图（）中的一阶振型最大形变量则随着孔径的增大而逐渐增大，这也是开孔柔性板刚度不断下降导致的，且形变量上升曲线的斜率绝对值也不断增大，其变化产生原因也与模态频率变化的原因相同图 和图 所示分别表示通过 模态分析软件和 建模分析获得的正方形孔单开孔柔性板前六阶的模态振型，图 的振型结果中，蓝色部分表示形变量最小的变形区域，红色部分则表示最大变形区域，图示颜色越接近红色说明相应区域形变量越大，图 振型图中的黑色细实线以及图 振型图中的黑色粗虚线均表示开孔柔性板的初始状态位置由图 与图 中的振型图可知，通过本文建
15、模方法获得的开孔柔性板的前 阶模态振型分布与 仿真分析获得的模态振型分布完全相同，其前 阶模态振型依次为 阶弯曲模态、阶扭转模态、阶弯曲模态、阶扭转模态、阶扭转模态以及图 正方形孔单开孔柔性板前 阶 仿真模态振型 图 正方形孔单开孔柔性板前 阶 仿真模态曲面 第 期邱志成等：带开孔的柔性结构振动模态特性分析 阶弯曲模态，相同的模态振型分布结果也进一步证明了本文建模方法的有效性对比其他不同影响因素下的振型分布可知，除 节中不同长宽比情形以及 节中不同约束条件的影响外，其他章节中分析的开孔柔性结构的前 阶模态振型分布也均与此相似，说明不同开孔参数以及部分几何参数对开孔柔性结构的振型分布无明显影响，
16、因此后续对模态振型分布不再赘述，但各自的模态频率与形变量有所不同通过分析开孔柔性板的各阶模态频率变化与模态振型分布，可以观察各阶振型的振动形式，并获得柔性板在各阶振型下变形较大的区域，这可以为抑制不同模态的振动时传感器与致动器的布置提供参考，也为开孔柔性结构的主动振动控制提供思路 不同开孔数量与孔距的影响针对不同开孔数量对开孔柔性板的模态频率影响，选取正方形开孔为例，分别设置单孔、双孔、三孔、四孔、五孔以及六孔共六种不同开孔数量的情形进行模态分析；不同数量的开孔均等距、对称分布在柔性板的中心区域，孔径均为边长 的正方形孔，孔距均设置为 表 所示为上述不同开孔数量情形下的一阶模态频率，并绘制一阶模态频率变化曲线如图 所示表 不同开孔数量一阶模态频率 孔数量 本文方法 相对误差 无孔 单孔 双孔 三孔 四孔 五孔 六孔 由图表可知，开孔柔性板的一阶模态频率由单孔的 逐渐降低至六孔的 ，与前述结论相似，随着开孔数量的不断增多，开孔总面积的增大对柔性板的结构刚度的降低作用比对质量的减小作用更显著，结果导致一阶模态频率的降低，且频率下降幅度较大 表 中本文建模方法的模态分析结果与 分析结果对比仅
