1、高考总复习优化设计,GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI,专题四,2022,必备知识精要梳理,1.证明线线平行和线线垂直的常用方法(1)证明线线平行:利用平行线的传递性;利用平行四边形进行平行转换;利用三角形的中位线定理;利用线面平行、面面平行的性质定理等.(2)证明线线垂直:利用等腰三角形三线合一的性质;利用勾股定理;利用线面垂直的性质等.,2.证明线面平行和线面垂直的常用方法(1)证明线面平行:利用线面平行的判定定理;利用面面平行的性质.(2)证明线面垂直:利用线面垂直的判定定理;利用面面垂直的性质定理.3.证明面面平行和面面垂直的常用方法(1)证明面面平行最
2、常用的方法是利用面面平行的判定定理.(2)证明面面垂直最常用的方法是利用面面垂直的判定定理.,4.利用空间向量证明平行与垂直设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面,的法向量分别为=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3),l,则(1)线面平行:laa=0a1a2+b1b2+c1c2=0.(2)线面垂直:laa=ka1=ka2,b1=kb2,c1=kc2(k0).(3)面面平行:v=va2=a3,b2=b3,c2=c3(0).(4)面面垂直:vv=0a2a3+b2b3+c2c3=0.,5.利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成的角:设异面直线l,m的方向向量分别为a,b,且
3、它们所,关键能力学案突破,考向一空间位置关系的证明,例1(2021江苏宿迁期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADAB,ABDC,AD=DC=PA=2,AB=1,E为PC的中点.求证:(1)BEPD;(2)BE平面PAD;(3)平面PCD平面PAD.,证明(方法一)(1)如图,取PD的中点F,连接AF,EF,因为E为PC的中点,所以FEDC,且FE=DC,又因为DC=2AB,ABDC,所以FEAB,且FE=AB,所以四边形ABEF是平行四边形,所以BEAF.又因为PA=AD,F为PD的中点,所以AFPD,所以BEPD.,(2)由(1)知BEAF,AF平面PAD,BE平面PAD
4、,所以BE平面PAD.(3)因为PA底面ABCD,所以PAAB.又因为ADAB,PAAD=A,所以AB平面PAD.又因为ABDC,所以DC平面PAD.又因为DC平面PCD,所以平面PCD平面PAD.,(方法二)因为PA底面ABCD,ADAB,所以PA,AB,AD两两互相垂直.以点A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示.,(3)由(2)知 为平面PAD的一个法向量,则DC平面PAD.又DC平面PCD,所以平面PCD平面PAD.,方法总结证明空间中位置关系的方法证明空间中的平行、垂直关系,均可利用两种方法:一是几何法,二是向量法.在实际应用中,可灵
5、活处理,如果题目给出的空间图形适合建立空间直角坐标系,那么可建系后利用坐标运算来证明位置关系.,(2021浙江金华期中)如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=AB,B1C1BC,且B1C1=BC,二面角A1-AB-C是直二面角.求证:(1)A1B1平面AA1C;(2)AB1平面A1C1C.,精典对练得高分,证明(方法一)(1)因为AB=AC,BC=AB,所以AB2+AC2=BC2,所以ABAC.因为四边形A1ABB1是正方形,所以A1B1AB,ABAA1.又AA1AC=A,所以AB平面AA1C.所以A1B1平面AA1C.,(2)如图,取BC的中点D
6、,连接AD,B1D,C1D.因为B1C1BC,且B1C1=BC=BD,所以四边形BDC1B1是平行四边形,所以C1DBB1,且C1D=BB1.因为四边形A1ABB1是正方形,所以AA1BB1,且AA1=BB1.所以C1DAA1,且C1D=AA1,所以四边形AA1C1D是平行四边形,所以A1C1AD.又AD平面A1C1C,A1C1平面A1C1C,所以AD平面A1C1C.同理B1D平面A1C1C,又B1DAD=D,所以平面B1AD平面A1C1C.又AB1平面B1AD,所以AB1平面A1C1C.(方法二)因为二面角A1-AB-C是直二面角,四边形A1ABB1为正方形,所以AA1平面BAC.又因为AB
7、=AC,BC=AB,所以CAB=90,即ACAB.所以AB,AC,AA1两两互相垂直.如图,建立空间直角坐标系,设AB=2,则A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).,考向二利用空间向量求线面角命题角度1求线面角,例2-1(2021浙江金华三模)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC=2,PB=BC=2,PC=6,Q为棱PC上的一点,且PQ=2QC.(1)求证:BCAQ;(2)若AQ=,求直线AB与平面PAC所成角的正弦值.,(2)解 由题意易知AO=1,AQ=,QO=1,AO2+QO2=AQ2,AOQO.以O为原点,OC,OA,OQ所在
8、直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示.,名师点析利用向量求直线与平面所成角的方法(1)分别求出直线与它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).(2)求出直线的方向向量m,平面的法向量n,设直线与平面所成的角为,则sin=|cos|=,求出的值.,精典对练得高分,(2021山东济南一模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1和平面,直线AC1平面,直线BD平面.(1)求证:平面平面B1CD1;(2)若P为线段AC1上的动点,求直线BP与平面所成角的最大值.,(1)证明 如图,连接A1C1,则B1D1A1C1,因为AA1平面A1B1C1D1,所以AA1
9、B1D1.又因为AA1A1C1=A1,所以B1D1平面AA1C1.因为AC1平面AA1C1,所以B1D1AC1.同理B1CAC1.因为B1D1B1C=B1,所以AC1平面B1CD1.因为AC1平面,过直线AC1作平面与平面相交于直线l,所以AC1l.所以l平面B1CD1.又l平面,所以平面平面B1CD1.,(2)解 设正方体的棱长为1,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示,则,数学思想扩思路转化与化归思想(2021山东省实验中学一模)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,CC1=2,E,F分别为BC,CC1的中点
10、.(1)求过E,F,D1三点的截面的面积;(2)一只小虫从点A经BB1上一点P到达点C1,求小虫所经过的路程最短时,直线ED1与平面APC1所成角的正弦值.,(2)以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示,则A(2,0,0),C1(0,1,2),D1(0,0,2),E(1,1,0).,名师点析沿几何体表面距离之和最小问题,通常采取化曲为直的思想方法,将几何体的表面展开,在平面内,将折线转化为直线,进而求解出距离之和最小等问题.,命题角度2已知线面角求线段长,又因为ABB1D,ABCD=D,所以B1D平面ABC.又因为B1D平面ABB1A1,所
11、以平面ABB1A1平面ABC.,方法点拨已知线面角求其他量的解法要点(1)正确设置变量:已知线面角确定点的位置或线段长度时,可以直接在空间直角坐标系中设出相关点的坐标(只有一个坐标未知),也可以利用共线向量的设法,例如点P在线段AB上,可设(01),这样可将点P的坐标用一个变量表示.,(2)准确进行转化:已知直线的方向向量为m,平面的法向量为n.,精典对练得高分(2021广东汕头一模)如图,在圆柱OO1中,四边形ABCD是其轴截面,EF为O1的直径,且EFCD,AB=2,BC=a(a1).(1)求证:BE=BF;,(2)若直线AE与平面BEF所成角的正弦值为,求二面角A-BE-F的余弦值.,(
12、1)证明 如图,连接BO1,依题意,在圆柱OO1中,BC平面CEDF,EF平面CEDF,EFBC.又EFCD,BCCD=C,EF平面ABCD.又BO1平面ABCD,EFBO1.又O1为EF的中点,BE=BF.,考向三利用空间向量求二面角命题角度1求二面角,例3-1(2021湖南长沙模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,ABC=90,AB=1,BC=,PDC是边长为2的等边三角形,平面PDC平面ABCD,E为PC的中点.(1)设平面PAD平面PBC=l,求证:DEl;(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.,解(1)因为ABCD,ABC=90,所以BCCD.又平面PDC平面A
13、BCD,平面PDC平面ABCD=DC,BC平面ABCD,所以BC平面PDC.又BC平面PBC,所以平面PDC平面PBC.因为PDC为等边三角形,E为PC的中点,所以DEPC.又平面PDC平面PBC=PC,DE平面PDC,所以DE平面PBC.又l平面PBC,所以DEl.,(2)设DC的中点为O,因为PD=PC,所以PODC.因为平面PDC平面ABCD,平面PDC平面ABCD=DC,PO平面PDC,所以PO平面ABCD.因为AB=1,CD=2,O为CD的中点,所以AB=OC.又ABCD,所以ABOC.又ABC=90,所以四边形ABCO为矩形,所以OAOC.,名师点析利用空间向量求二面角的步骤(1)
14、分别求出两个半平面的一个法向量;(2)求出两个法向量的夹角;(3)根据图形判断二面角的平面角是锐角还是钝角,利用二面角的平面角与两个法向量的夹角的关系,求出二面角.,精典对练得高分,(2021山东德州期中)如图,在多面体ABCDEF中,平面ADE平面ABCD,CF平面ABCD,ADE是正三角形,四边形ABCD是菱形,AB=2,(1)求证:EF平面ABCD;(2)求二面角E-AF-C的正弦值.,(1)证明 如图,取AD的中点O,连接OE,OC,ADE是正三角形,AD=AB=2,OEAD,OE=又平面ADE平面ABCD,平面ADE平面ABCD=AD,OE平面ADE,OE平面ABCD.又CF=3,C
15、F平面ABCD,OECF,OE=CF,四边形OCFE为平行四边形,EFOC.又EF平面ABCD,OC平面ABCD,EF平面ABCD.,(2)解 连接OB,BD,四边形ABCD是菱形,BAD=ABD是正三角形.又O为AD的中点,OBAD.由(1)知OE平面ABCD,OA,OB,OE两两互相垂直.,命题角度2已知二面角求其他量例3-2(2021新高考,20)如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD平面BCD,AB=AD,O为BD的中点.(1)证明:AOCD;(2)若OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小为45,求三棱锥A-BCD的体积.,(1)证明 在
16、ABD中,AB=AD,O为BD的中点,AOBD.平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,AO平面ABD,AO平面BCD.CD平面BCD,AOCD.,(2)解(方法一)如图,过点E作ENAO交BD于N,过点N作NMCD交BC于M.AO平面BCD,ENAO,EN平面BCD.ENBC.在BCD中,OB=OD=OC=1,BCD=90,即DCBC.NMCD,NMBC.又ENNM=N,BC平面EMN,BCME.二面角E-BC-D的平面角是EMN=45,设平面EBC的法向量为n=(x,y,z),则,名师点析已知二面角求其他量的解法要点(1)正确设置变量,已知二面角求其他量时,关键是在空间直角坐标系
17、中设出相关点的坐标或相关向量的坐标,从而用设出的参数表示出两个平面的法向量.(2)准确建立方程,根据已知条件(二面角的度数、二面角的余弦值、二面角的正弦值等)建立关于参数的方程.(3)求解方程,得到参数值,注意根据二面角的大小对参数值进行取舍,进而得到其他量.,精典对练得高分(2021广东梅州二模)如图,在四棱锥B-ACDE中,平面ABC平面ACDE,ABC是等边三角形,在直角梯形ACDE中,AECD,AEAC,AE=1,AC=CD=2,P是棱BD的中点.(1)求证:EP平面BCD;(2)设点M在线段AC上,若平面PEM与平面EAB所成的锐二面角的余弦值为,(1)证明 如图,取BC的中点O,连
18、接PO,AO.因为ABC为等边三角形,所以AOBC.因为平面ABC平面ACDE,AEAC,平面ABC平面ACDE=AC,AE平面ACDE,所以AE平面ABC.又AO平面ABC,所以AEAO.又AECD,所以CDAO.又CDBC=C,所以AO平面BCD.因为P为BD的中点,O为BC的中点,所以PO=CD=1,POCD.又AECD,AE=1,所以AEPO,AE=PO,所以四边形AEPO为平行四边形,所以EPAO,所以EP平面BCD.,(2)解 由(1)知POAE,AE平面ABC,AOBC,所以PO平面ABC,所以OA,OB,OP两两互相垂直.,易错防范不丢分(2021山东滨州二模)如图,在四棱锥P
19、-ABCD中,O是BD的中点,PO平面,(1)证明 如图,设ACBD=N,连接PN,OA,OC.因为DAB=BCD=90,O为BD的中点,所以OA=OD=OC,即O为ACD的外心.又AD=AC=CD,所以ACD为等边三角形,所以O为ACD的中心.所以ACBD.由PO平面ABCD,可得POAC.,又POBD=O,所以AC平面PDB,所以ACDP.,所以DP2+PN2=DN2,所以DPPN.又PNAC=N,所以DP平面APC.又DP平面ADP,所以平面ADP平面APC.,易错警示由于二面角的大小与两个面的法向量的夹角并不完全相等,因此要注意结合图形判断二面角的范围来确定参数的取值,忽视对范围的判断
20、将会导致错误.,关键能力学案突破,考向一立体几何中的翻折问题,图,图,(1)求证:平面BC1E平面ABED;(2)求直线BC1与平面AC1D所成角的正弦值.,(1)证明 连接AE,由已知得AE=2.CEAB,CE=AB=AE=2,四边形ABCE为菱形.连接AC交BE于点F,则CFBE.,C1FAF.又BEAF=F,C1F平面ABED.又C1F平面BC1E,所以平面BC1E平面ABED.,名师点析立体几何中翻折问题的求解策略(1)解决翻折问题最关键的就是对比翻折前后的图形,找到哪些点、线、面的位置关系和数量关系没有发生变化,哪些发生了变化,这些不变的量和变化的量反映了翻折后空间图形的结构特征,在
21、证明和求解的过程中应恰当地加以利用.(2)一般地,位于折痕同侧的点、线、面的位置关系和数量关系不发生变化,而位于折痕两侧的点、线、面的位置关系和数量关系会发生变化.特别地,与折痕垂直的线段,翻折前后垂直关系不变(常用于找翻折后形成的二面角的平面角);与折痕平行的线段,翻折后平行关系保持不变.,精典对练得高分(2021山东济南二模)如图,在等腰梯形ABCD中,E为CD的中点,AB=BC=CE,将ADE,BCE分别沿AE,BE折起,使得平面ADE平面ABE,平面BCE平面ABE,如图.,图,图,(1)求证:ABCD;(2)设平面ADE与平面BCE的交线为l,求二面角D-l-C的大小.,(1)证明
22、由题意可知ADE,ABE,BCE为全等的等边三角形.如图,分别过点C,D作CMBE,DNAE,垂足分别为M,N,连接MN,则M,N分别为BE,AE的中点,CM=DN.平面BCE平面ABE,平面BCE平面ABE=BE,CM平面BCE,CM平面ABE.同理DN平面ABE,CMDN.,四边形CDNM为平行四边形,CDMN.又M,N分别为BE,AE的中点,MNAB,ABCD.,(2)解 连接BN,则BNAE.由(1)知DN平面ABE,则NA,NB,ND两两互相垂直.以N为坐标原点,NA,NB,ND所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示.,易错防范不丢分(2021广东佛山二模)如图,
23、在梯形ABCD中,ABCD,BAD=90,AD=CD=AB,E为AB的中点,沿DE将ADE折起,使点A到达点P的位置,如图所示.,图,图,(1)求证:DEPC;(2)若PC=PD,求平面PBE与平面PCD所成二面角的正弦值.,(1)证明 如图,取DE的中点O,连接OP,OC,CE.在梯形ABCD中,因为BAD=90,AD=CD=AB,ABCD,E为AB的中点,所以四边形AECD为正方形,AE=AD=CE=CD.由翻折可知PE=PD=CE=CD.又O为DE的中点,所以OPDE,OCDE.又OPOC=O,所以DE平面OPC.又PC平面OPC,所以DEPC.,(2)解 不妨设CD=2,则PD=2,O
24、P=OC=又PC=PD=2,所以OP2+OC2=PC2,所以OPOC.结合(1)可知OP,OC,OD两两互相垂直.以O为原点,OC,OD,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示.,易错警示翻折问题中容易出现的错误是对翻折后的空间图形分析不到位,不能根据翻折前平面图形中的位置关系与数量关系推出翻折后空间图形的位置关系与数量关系,从而找不到解题的突破口,所以应注意分析翻折前后图形间的联系,找到有用信息解决问题.,考向二立体几何中的探索性问题例2(2021河北石家庄二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PAB为等边三角形,平面PAB平面ABCD,E为AD的中点.(1)求证:CEPD;(2)在线段BD(不包括端点)上是否存在点F,使直线AP与平面PEF所成角的正弦值为?若存在,确定点F的位置;若不存在,请说明理由.,解 取AB的中点O,连接PO,因为PAB为等边三角形,所以POAB.又平面PAB平面ABCD,平面PAB平面ABCD=AB,PO平面PAB,所以PO平面ABCD.取CD的中点G,连接OG,则OB,OP,OG两两互相垂直.,以O为原点,OB,OG,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示.,
