1、55.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第1课时两角差的余弦公式第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式新知初探课前预习要点一cos cos sin sin C()，为任意角要点二sin cos cos sin sin cos cos sin 要点三基础自测1(1)(2)(3)(4)2解析：sin 15cos 75cos 15sin 105sin 15cos 75cos 15sin 75sin(1575)sin 901.答案：D3解析：tan().答案：B4解析：因为，均为锐角，所以cos ，cos .所以cos()cos cos sin sin .又因为sin sin ，所以0，所以0，故.
2、答案：题型探究课堂解透题型一解析：(1)tan(1233)tan 451.tan 12tan 331tan 12tan 33tan 12tan 33tan 12tan 331.(2)原式sin xcoscos xsin2sin xcos2cos xsincoscos xsinsin xsin xcos xsin xcos x0.(3)sin 47sin(3017)sin 30cos 17cos 30sin 17，原式sin 30.(4)原式(tan 10tan 60)2.题型二例1解析：因为，所以0，.所以sin()，cos().所以cos 2cos()()cos()cos()sin()sin
3、()，cos 2cos()()cos()cos()sin()sin().跟踪训练1解析：0，0，又cos，cos，sin，sin，coscoscoscossinsin.答案：C题型三例2解析：因为0，cos ，所以sin .又因为0，所以0.因为sin()sin ，所以cos()，所以sin sin()sin()cos cos()sin .又因为00，所以.tan(2)tan()1.因为tan ，(0，)，所以，所以(，0)由tan()0，得，所以2(，0)又tan(2)1，所以2.第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式新知初探课前预习要点一2sin cos cos2sin212sin22cos
4、21cos2sin21基础自测1(1)(2)(3)(4)2解析：原式2sin 15cos 15sin 30.答案：B3解析：12sin222.5cos 45.答案：B4解析：因为为第三象限角，cos ，所以sin ，tan ，tan 2.答案：题型探究课堂解透题型一解析：(1)原式cossin2sincossin.(2)原式cos2sin2cos.(3)原式cos.(4)原式2.(5)原式cos 20cos 40cos 80.题型二跟踪训练1解析：(1)sin，sinsincos.(2)因为x，所以x，又因为sin，所以cos，所以cos 2xsin2sincos2.答案：(1)B(2)题型三
5、例2解析：(1)，0cos sin ，|sin cos |sin cos |(cos sin )cos sin 2sin .(2)证明：左边(cos 2Acos 2Bsin 2Asin 2Bcos 2Acos 2Bsin 2Asin 2B)cos 2Acos 2B右边，所以等式成立答案：(1)C(2)见解析跟踪训练2解析：(1)，cos 0，cos0.故原式cos.(2)原式 .当时，cossin，此时原式sincoscossin2sin.当时，cossin，此时原式sincossincos2cos.55.2简单的三角恒等变换新知初探课前预习要点一12sin22cos21212sin22cos
6、21 要点二sin(x)基础自测1(1)(2)解析：当cos 1时上式成立(3)解析：当a2k(kZ)时，上式成立(4)2解析：因为(0，)，所以.所以cos .答案：A3解析：选项A中，原式sin 30；选项B中，原式cos；选项C中，原式tan 60；选项D中，原式cos 30.故选B.答案：B4解析：3sin xcos x22sin，因(，)，.答案：题型探究课堂解透题型一1解析：是第二象限角，且sincos，为第三象限，cos0，tan ，cos ，cos.答案：A2解析：tan ，tan2，解得cos .答案：3解析：，sin ，cos ，且，sin，cos.答案：题型二例1证明：左
7、边因为，所以0cos.所以左边cos右边所以原等式成立跟踪训练1证明：方法一左边cos sincossin cos sin 2右边所以原式成立方法二左边cos2cos2tan cos sin sin 2右边所以原式成立题型三例2解析：(1)f(x)sin xcos xcos2xa，f(x)sin 2x(1cos 2x)asina.函数f(x)的最小正周期T.令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，故函数f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)x，2x，当2x时，函数f(x)取最小值，即f(x)minaa；当2x时，函数f(x)取最大值，即f(x)max1aa.aa，解得a0.所以实数a的值为
8、0.跟踪训练2解析：(1)f(x)sin 2x2sin 2xcos 2x2sin2，所以最小正周期T，因为2k2x2k，kZ时，f(x)为单调递增函数，所以f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)由(1)知f(x)22sin，由于x，所以2x，所以sin，所以f(x)1,4，所以f(x)在区间上的值域为1,456函数yAsin(x)新知初探课前预习要点一1左右2.3A要点二1R2A，A3.基础自测1(1)(2)(3)(4)2解析：将函数ysin x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的解析式为ysin.答案：B3解析：对于函数f(x)sin，令xk，kZ，求得xk，kZ，可得它的图象的一条对称
9、轴为x，故选B.答案：B4解析：由图象可得x0，解得4.答案：4题型探究课堂解透题型一解析：令t，列表如下：xt02y02020描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象：题型二例1解析：方法一ysin x的图象ysin的图象ysin的图象ysin的图象y2sin的图象y2sin1的图象方法二ysin x的图象y2sin x的图象关于x轴作对称变换,y2sin x的图象y2sin 2x的图象y2sin的图象y2sin1的图象跟踪训练1解析：(1)y3sin3sin 23sin 2(x)，2，故需将函数y3sin 2x的图象向左平移个单位长度(2)把函数ycos x的图象上所有点的横坐
10、标缩短到原来的，所得图象的函数解析式为ycos 2x，再把纵坐标伸长到原来的2倍，所得图象的函数解析式为y2cos 2x，最后把图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为y2cos2sin 2x.故选B.答案：(1)C(2)B题型三例2解析：解法一(单调性法)由图象可知：A2，T3，则.点(，0)在递减的那段图象上，(kZ)，则由sin0，得(2k1)(kZ)，.该函数的解析式为y2sin.解法二(最值点法)由图象可得T3，A2，则，将最高点坐标代入y2sin，得2sin2，2k(kZ)，2k(kZ)又，.该函数的解析式为y2sin.解法三(起始点法)由题图得T3，A2，故，函数yAsin
11、(x)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x0正是由x00解得的，故只要找出起始点的横坐标x0，就可以迅速求得角.由图象求得，x0，x0.该函数的解析式为y2sin.解法四(图象平移法)由图象知，将函数y2sinx的图象沿x轴向左平移个单位长度，就得到本题的图象，故所求函数的解析式为y2sin，即y2sin.答案：y2sin跟踪训练2解析：(1)由图象得A1，所以T2，则1.将点代入函数f(x)解析式得sin1，又0，0)的部分图象，可得A，2.由图象过点，可得2k(kZ)，k(kZ)|0可知，当k1时，取得最小值.57三角函数的应用新知初探课前预习要点一Ax要点二建立数学模型要点三散
12、点图基础自测1(1)(2)(3)2解析：由2k2k，kZ，知函数F(t)的增区间为4k，4k，kZ.当k1时，t3，5，而10,153，5，故选C.答案：C3解析：当t时，s15，s25，所以s1s2.答案：C4解析：简谐振动ysin的周期是T，相位是4x，频率f.答案：，4x题型探究课堂解透题型一例1解析：(1)由题意知，A300.T，100.是该函数图象的第一个零点，.，符合|，I300sin(t0)(2)问题等价于T，即，200.正整数的最小值为629.跟踪训练1解析：该简谐运动的函数关系式为f(x)2sin，最小正周期T8.又函数的图象过点(0,1)，将点(0,1)代入函数解析式，得2
13、sin 1，即sin .又|，.题型二跟踪训练2解析：设ysin(t)，由题意可得，sin ，函数的初相是，排除B、D.又函数周期是60秒且秒针按顺时针方向旋转，T60，1时，才对冲浪爱好者开放，所以ycost11，cost0,2kt2k(kZ)，即12k3t12k3(kZ)又0t24.所以0t3或9t15或21t24，所以在规定时间内只有6个小时可供冲浪爱好者进行活动，即9t0，b0时，x1113；当a0，b0时，x1111；当a0时，x1111；当a0，b0时，x1111.故x的所有值组成的集合为1,3答案：A9解析：当a0时，3x20，即x，A，符合题意；当a0时，ax23x20至多有一
14、个解，所以98a0，解得a.综上a的取值范围为：a或a0.答案：a或a010证明：(1)若aA，则A，2A，1A，1A，A，A，2A，A中另外两个元素为1，.(2)若A为单元素集，则a，即a2a10，方程无解，a，集合A不可能是单元素集课时作业(二)集合间的基本关系1解析：0是一元素，00，0答案：A2解析：M1,2,3，M的非空子集为1，2，3，1,2，1,3，2,3，1,2,3共7个答案：C3解析：A1,0,1，Ba，a2且BA，a1.答案：A4解析：因为Ax|2x3，Bx|xm，AB，将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m3.答案：B5解析：若A中含有一个奇数，则A可能为1，3，1,
15、2，3,2；若A中含有两个奇数，则A1,3答案：56解析：(1)Ax23x201,2，集合A的所有子集为，1，2，1,2(2)B，BA.当集合B只有一个元素时，由0得a280，即a2，此时B或B，不满足BA.当集合B只有两个元素时，由AB得：a3.综上可知，a的值为3.7解析：Mx|x5k2，kZ，Px|x5n3，nZ，Sx|x10m3，mZ，M，7，2,3,8,13,18，P，7，2,3,8,13,18，S，7,3,13,23，故SPM.答案：C8解析：选项A中集合P，Q都表示所有偶数组成的集合，所以PQ；选项B中P是由1,3,5，所有正奇数组成的集合，Q是由3,5,7，所有大于1的正奇数组
16、成的集合，1Q，所以PQ；选项C中P0,1，当n为奇数时，x0，当n为偶数时，x1，所以Q0,1，所以PQ；选项D中，集合P表示直线yx1上点的横坐标构成的集合，而集合Q表示直线yx1上点的坐标构成的集合，所以PQ.综上可知，选AC.答案：AC9解析：当a0时，A，B7,8，由AB得7或8，即a或a；当a0时，集合A，符合AB，因此C.答案：10解析：(1)AB，解得3m1，实数m的取值范围是m|3m1(2)当B时，2m1m7，故m8.当B时，m8，且无解综上，实数m的取值范围是m|m8课时作业(三)并集与交集1解析：Ax|1x2，Bx|0x4，ABx|0x2答案：A2解析：结合数轴(如图)得
17、ABx|x5答案：A3解析：由题意得AB1,2,3,4，1,0，(AB)C1,2,3,4，1，0xR|1x3，U(AB)x|x3答案：D4解析：集合P中1Q，故A错误；PQ2,3，故B错误，C正确；RQx|x3，(RQ)P1，故D正确答案：CD5解析：全集U1,2,3,4,5,6,7,8,9，由U(AB)1,3，得AB2,4,5,6,7,8,9，由A(UB)2,4知，2,4A，2,4UB，B5,6,7,8,9答案：5,6,7,8,96解析：因为A(UA)R，A(UA)，所以a3，b4，所以ab12.答案：127解析：Ax|a1xa1，xR，Bx|1x5又AB，所以a11或a15即a0或a6.答
18、案：CD8解析：Ax|x2x10，集合A表示方程x2x10的解集，假设AR，则方程x2x10无实数解，m40，m4，又m0，0m5a，得a3；当B2时，解得a3.综上所述，实数a的取值范围为a|a310解析：若U(AB)，则ABR.因此a2a1，即a，符合题意若U(AB)，则a2a1，a，又ABx|xa1或xa2所以U(AB)x|a1xa2又U(AB)C所以a20或a14解得a2或a5，即a，故此时a不存在综上，存在这样的实数a，且a的取值范围是.课时作业(五)充分条件与必要条件1解析：由(2x1)x0得x0或.所以“(2x1)x0”是“x0”的必要不充分条件答案：B2解析：当时，可以得到；反
19、之，取x1，y5，满足，但是不满足，所以是成立的充分不必要条件答案：A3解析：|x1|33x132x4，2x4x4，反之x4D/2x4，所以“|x1|3”是“x1或xa，q是p的充分不必要条件，BA，a1.答案：A5解析：(1)设Ax|x2101,1，Bx|x|101,1，所以AB，即“x210”是“|x|10”的充要条件(2)设Ax|x5，Bx|x3，因为AB，所以“x5”是“x2且y3时，xy5成立，反之不一定成立，如x0，y6，所以“x2且y3”是“xy5”的充分不必要条件，故错误；方程有解的充要条件是b24ac0，故错误；当x1或x2时，方程x2x20一定成立，反过来，方程x2x20成
20、立时，x1或x2，故正确答案：7解析：由xt2yt2可知t20，所以xy，故xt2yt2xy；当t0时，xy；当t0时，xytD/xy；由x2y2，得|x|y|，故x2y2D/xy；由0y.故选AD.答案：AD8解析：|xa|1a1xa1，设此命题为p，命题x为q；则p的充分不必要条件是q，即q表示的集合是p表示集合的真子集，则有(等号不同时成立)解得a.答案：a9解析：(1)Ax|x6，所以RAx|3x6，BxR|2x2(a10)x5a0xR|(2xa)(x5)0若BRA，且5RAx|3x6，只需36，所以6a12.(2)由(1)可知BRA的充要条件是a|6a12选择，a|7a12a|6a1
21、2且a|6a12a|7a12，则结论是不充分不必要条件；选择，a|6a12a|7a12且a|7a12a|6a12，则结论是必要不充分条件；选择，a|6a12a|6a12且a|6a12a|62，则b24ac168a0，方程ax24x20有两个不相等的实数根，故充分性成立必要性：方程ax24x20有两个不相等的实数根a0，且b24ac168a0，解得a2，故必要性成立所以“a2且a0”是“方程ax24x20有两个不相等的实数根”的充要条件课时作业(六)全称量词与存在量词1解析：A、C、D都是含有存在量词的存在量词命题，B是含有全称量词的全称量词命题答案：B2解析：綈p：存在一个矩形不是平行四边形答
22、案：C3解析：对于A，锐角三角形中的内角都是锐角，所以A为假命题；对于B，为存在量词命题，当x0时，x20成立，所以B正确；对于C，因为()0，所以C为假命题；对于D，对于任何一个负数x，都有0，所以D错误答案：B4解析：綈p：xR，|x|x0.答案：B5答案：xR，x2x106解析：存在x00，即存在x0，所以10.答案：a107解析：命题的否定是全称量词命题，即原命题为存在量词命题，故排除B.再根据命题的否定为真命题，即原命题为假命题又D为真命题，故选AC.答案：AC8解析：由题意知，命题p：x0R，xmx020为假，即x2mx20恒成立，所以m2420，解得2m2，故m的取值范围为：m|
23、2m2答案：m|2m1.故m的取值范围是m|m1章末质量检测(一)集合与常用逻辑用语1解析：MNx|2x2”，反之“x2y22”成立可推出“x，y中至少有一个数大于1”，所以“x，y中至少有一个数大于1”是“x2y22”成立的必要非充分条件答案：B6解析：Ax|0x2，Bx|x1，图中阴影部分所表示的集合为x|xA且xBx|1x2，B是真命题；对R，|x1|0，故C是假命题；当x1时，|x1|0不成立，故D是假命题，故选ACD.答案：ACD10解析：对于命题“x0R，x13x0”的否定是“xR，x213x”，故错误；对于命题“x，yR，x2y20”的否定是“x0，y0R，xy2”是“a5”的必
24、要不充分条件，正确；对于，当x0时，x20，故错误故选BC.答案：BC11解析：设f(x)x24xn，则函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴x2，要使得一元二次方程x24xn0有正数根，则满足f(0)0，即n0，所以一元二次方程x24xn0有正数根的充分不必要条件可以为B、C、D.故选BCD.答案：BCD12解析：A中，当a2，b1时，不等式成立，所以A正确；B中，当a0时，0x02，不等式不成立，所以B不正确；C中，当a0，b0时，a2b20成立，此时ab0，推不出ab0，所以C不正确；D中使成立的充分不必要条件是0x0,2x1014解析：若a11，则a0，此时A1，1，3符合题意；若a1
25、1，则a2，此时a231，不满足集合中元素的互异性，舍去；若a231，则a2或a2(舍去)，当a2时，A1，3,1，符合题意综上a0或2.答案：0或215解析：由|x|2得2x2，“|x|2”是“xa”的充分不必要条件，x|2x2x|xa，a2.即a的最小值是2.答案：216解析：ABA，BA，又Ax|x2，Bx|xm，m2.答案：m217解析：AB3,4,5,6,7,8，UA1,2,3,9又UB1,2,4,6,9，所以A(UB)4,618解析：全集Ux|x4，Ax|2x3，Bx|3x3，UAx|x2或3x4，ABx|2x3，U(AB)x|x2或3x4，(UA)Bx|3x2或x319解析：(1)全集为R，Ax|2x4，Bx|3x782xx|x3，RBx|x3，A(RB)x|x4(2)Cx|a1xa3，且ACA，AC.由题意知C，解得1a3.故实数a的取值范围是a|1a320解析：(1)xP是xS的必要条件，且集合S为非空集合解得0m3，所以m的取值范围是m|0m3
