1、备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题13二次函数综合问题一解答题（共40小题）1（2022孝感）抛物线yx24x与直线yx交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D（1）直接写出点B和点D的坐标；（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tanPDO时，求点P的坐标；（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0m5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E设BEQ和BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值【分析】（1）令yx24xx，求出x的值即可得出点B的坐标，将函数yx24x化作顶点式可得出点D的坐标；（2）过点D作DE
2、y轴于点E，易得tanODE，作ODGODE，则点P为直线DG与x轴的交点；过点O作OGDP于点G，过点G作x轴的垂线，交DE所在直线于点F，交x轴于点H，易证ODEODG，GDFOGH，则DGDE2，OGOE4，DG：OGDF：HGGF：OH，设DFt，则HG2t，FG42t，OH84t，又OHEF，则84t2+t，解得t的值可得出点G的坐标，进而可得直线DG的解析式，令y0即可得出点P的坐标；（3）分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，则S1QK（xBxE），S2MN（xBxE），由点Q的横坐标为m，可表达，再利用二次函数的性质可得出结论【解析】（1）令yx24xx，解得x0
3、或x5，B（5，5）；yx24x（x2）24，顶点D（2，4）（2）如图，过点D作DEy轴于点E，DE2，OE4，tanODE，作ODGODE，则点P为直线DG与x轴的交点；过点O作OGDP于点G，过点G作x轴的垂线，交DE所在直线于点F，交x轴于点H，ODEODG（AAS），DGDE2，OGOE4，OHGF90，OGH+DGF90，OGH+GOH90，DGFGOH，GDFOGH，DG：OGDF：HGGF：OH1：2，设DFt，则HG2t，FG42t，OH84t，DEOFOHG90，四边形OEFH是矩形，OHEF，84t2+t，解得t，GH，OH2+t，G（，）直线DG的解析式为yx，令y0，
4、解得x5，P（5，0）（3）点B（5，5）与点M关于对称轴x2对称，M（1，5）如图，分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，N（1，1），MN6，点Q横坐标为m，Q（m，m24m），K（m，m），KQm（m24m）m2+5mS1QK（xBxE），S2MN（xBxE），（m25m）（m）2+，0，当m时，的最大值为【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数上的坐标特征，三角形的面积和三角形相似的判定及性质，解题的关键正确表达两个三角形面积的比2（2022武汉）抛物线yx22x3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P（
5、1）直接写出A，B两点的坐标；（2）如图（1），当OPOA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；（3）如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m求的值（用含m的式子表示）【分析】（1）令y0，解方程可得结论；（2）分两种情形：若点D在AC的下方时，过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D1若点D在AC的上方时，点D1关于点P的对称点G（0，5），过点G作AC的平行线l交抛物线于点D2，D3，D2，D3符合条件构建方程组分别求解即可；（3）设E点的横坐标为n，过点P的直线的解析式为ykx+b，由，可得x
6、2（2+k）x3b0，设x1，x2是方程x2（2+k）x3b0的两根，则x1x23b，推出xAxCxBxE3b可得n1，设直线CE的解析式为ypx+q，同法可得mn3q推出qmn3，推出q（3+b）（1）3b2+2b，推出OFb2+b，可得结论【解析】（1）令y0，得x22x30，解得x3或1，A（1，0），B（3，0）；（2）OPOA1，P（0，1），直线AC的解析式为yx+1若点D在AC的下方时，过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D1B（3，0），BD1AC，直线BD1的解析式为yx3，由，解得或，D1（0，3），D1的横坐标为0若点D在AC的上方时，点D1关于点P的对称点G（0，5），
7、过点G作AC的平行线l交抛物线于点D2，D3，D2，D3符合条件直线l的解析式为yx+5，由，可得x23x80，解得x或，D2，D3的横坐标为，综上所述，满足条件的点D的横坐标为0，（3）设E点的横坐标为n，过点P的直线的解析式为ykx+b，由，可得x2（2+k）x3b0，设x1，x2是方程x2（2+k）x3b0的两根，则x1x23b，xAxCxBxE3bxA1，xC3+b，m3+b，xB3，xE1，n1，设直线CE的解析式为ypx+q，同法可得mn3qqmn3，q（3+b）（1）3b2+2b，OFb2+b，b+1（m3）+1m【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性
8、质，一元二次方程的根与系数的格线等知识，解题的关键是学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题3（2022娄底）如图，抛物线yx22x6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C（1）请直接写出点A，B，C的坐标；（2）点P（m，n）（0m6）在抛物线上，当m取何值时，PBC的面积最大？并求出PBC面积的最大值（3）点F是抛物线上的动点，作FEAC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将x0及y0代入抛物线yx22x6的解析式，进而求得结果；（2）连
9、接OP，设点P（m，2m6），分别表示出SPOC，SBOP，计算出SBOC，根据SPBCS四边形PBOCSBOC，从而得出PBC的函数关系式，进一步求得结果；（3）可分为ACFE和ACEF的情形当ACFE时，点F和点C关于抛物线对称轴对称，从而得出F点坐标；当ACED时，可推出点F的纵坐标为6，进一步求得结果【解析】（1）当x0时，y6，C（0，6），当y0时，x22x60，x16，x22，A（2，0），B（6，0）；（2）方法一：如图1，连接OP，设点P（m，2m6），SPOCxP3m，SBOP|yP|+2m+6），SBOC18，SPBCS四边形PBOCSBOC（SPOC+SPOB）SBOC
10、3m+3（+2m+6）18（m3）2+，当m3时，SPBC最大；方法二：如图2，作PQAB于Q，交BC于点D，B（6，0），C（0，6），直线BC的解析式为：yx6，D（m，m6），PD（m6）（2m6）+3m，SPBC（m3）2+，当m3时，SPBC最大；（3）如图3，当ACFE时，AECF，抛物线对称轴为直线：x2，F1点的坐标：（4，6），如图4，当ACEF时，作FGAE于G，FGOC6，当y6时，x22x66，x12+2，x222，F2（2+2，6），F3（22，6），综上所述：F（4，6）或（2+2，6）或（22，6）【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，平行四边形的分类等知识，解
11、决问题的关键是正确分类，画出图形，转化条件4（2022广元）在平面直角坐标系中，直线yx2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yax2+bx+c（a0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C（1）求a，b满足的关系式及c的值；（2）当a时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求ABP周长的最小值；（3）当a1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QDAB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值【分析】（1）在直线yx2中，令x0和y0可得点A和B的坐标，代入抛物线yax2+bx+c（a0）中可解答；（2）连接BC交直线x1于点P，利用两点之间线段最短可得出此时P
12、AB的周长最小，从而可以解答；（3）根据a1时，可得抛物线的解析式yx2+x2，如图2，过点Q作QFx轴于F，交AB于E，则EQD是等腰直角三角形，设Q（m，m2+m2），则E（m，m2），表示QE的长，配方后可解答【解析】（1）直线yx2中，当x0时，y2，B（0，2），当y0时，x20，x2，A（2，0），将A（2，0），B（0，2）代入抛物线yax2+bx+c（a0）中，得，2ab1，c2；（2）如图1，当a时，2b1，b，抛物线的解析式为：yx2x2（x1）2，抛物线的对称轴是：x1，由对称性可得C（4，0），要使ABP的周长最小，只需AP+BP最小即可，如图1，连接BC交直线x1于点
13、P，因为点A与点B关于直线x1对称，由对称性可知：AP+BPPC+BPBC，此时ABP的周长最小，所以ABP的周长为AB+BC，RtAOB中，AB2，RtBOC中，BC2，ABP周长的最小值为2+2；（3）当a1时，21b1，b1，yx2+x2，A（2，0），B（0，2），C（1，0），OAOB，AOB是等腰直角三角形，OAB45，如图2，过点Q作QFx轴于F，交AB于E，则EQD是等腰直角三角形，设Q（m，m2+m2），则E（m，m2），QE（m2）（m2+m2）m22m（m+1）2+1，QDQE（m+1）2+，当m1时，QD有最大值是，当m1时，y1112，综上，点Q的坐标为（1，2）时，
14、QD有最大值是【点评】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称最短路线问题等知识，综合性较强，难度适中，利用方程思想，数形结合是解题的关键5（2022宿迁）如图，二次函数yx2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将ABC沿BC折叠后，点A落在点A的位置，线段AC与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合（1）求二次函数的表达式；（2）求证：OCDABD；求的最小值；（3）当SOCD8SABD时，求直线AB与二次函数的交点横坐标【分析】（1）利用交点式可得二次
15、函数的解析式；（2）根据两角相等可证明两三角形相似；根据OCDABD，得，则，即的最小值就是的最小值，OC为定值，所以当CD最小为2时，有最小值是；（3）根据面积的关系可得：OCDABD时，相似比为2：1，可得ABAB1，作辅助线，构建直角三角形，根据等角的正切可得AG和BG的长，最后再证明AGBQOB，可得OQ的长，利用待定系数法可得AB的解析式，最后联立方程可得结论【解析】（1）解：二次函数yx2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，二次函数的解析式为：y（x0）（x4）x22x；（2）证明：如图1，由翻折得：OACA，由对称得：OCAC，AOCOAC，COAA，ADBODC
16、，OCDABD；解：OCDABD，ABAB，的最小值就是的最小值，yx22x（x2）22，C（2，2），OC2，当CDOA时，CD最小，的值最小，当CD2时，的最小值为；（3）解：SOCD8SABD，SOCD：SABD8，OCDABD，（）28，2，OC2，ABAB1，BD211，如图2，连接AA，过点A作AGOA于G，延长CB交AA于H，由翻折得：AACH，AHBBDC90，ABHCBD，BCDBAH，tanBCDtanGAA，设AGa，则AG2a，BG2a1，在RtAGB中，由勾股定理得：BG2+AG2AB2，a2+（2a1）212，a10（舍），a2，BG2a11，AGOQ，AGBQOB
17、，即，OQ4，Q（0，4），设直线AB的解析式为：ykx+m，解得：，直线AB的解析式为：yx+4，x+4x22x，3x24x240，解得：x，直线AB与二次函数的交点横坐标是【点评】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，对称的性质，三角形相似的性质和判定，配方法的应用，勾股定理的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合是解本题的关键6（2022湘潭）已知抛物线yx2+bx+c（1）如图，若抛物线图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，3），连接AB（）求该抛物线所表示的二次函数表达式；（）若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作PHx轴于点H，与线段AB交于点M
18、，是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（2）如图，直线yx+n与y轴交于点C，同时与抛物线yx2+bx+c交于点D（3，0），以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围【分析】（1）（）将A，B两点坐标代入抛物线的解析式求得b，c从而得出结果；（）求出AB的解析式，设出点P坐标，表示出M点坐标，从而表示出PH和HM的长，分别列出PH3HM和PH时的方程，从而求得m的值，进而求得P点坐标；（2）分为b0和b0两种情形当b0时，抛物线对称轴在y轴左侧，此时求得抛物线与y轴交点，只需交点在点
19、C的上方，就满足抛物线与线段CE没有交点，进一步求得结果，当b0时，类似的方法求得这种情形b的范围【解析】（1）解：（）由题意得，yx22x3；（）存在点P，使得点M是线段PH的三等分点，理由如下：B（0，3），A（3，0），直线AB的解析式为：yx3，设点P（m，m22m3），M（m，m3），PHm2+2m+3，HM3m，当PH3HM时，m2+2m+33（3m），化简得，m25m+60，m12，m23，当m2时，y222233，P（2，3），当m3时，y322330，此时P（3，0）（舍去），当PHHM时，m2+2m+3（3m），化简得，2m27m+30，m33（舍去），m2，当m时，y（）
20、223，P（，），综上所述：P（2，3）或（，）；（2）如图1，抛物线yx2+bx+c过点D（3，0），（3）23b+c0，c3b9，yx2+bx+（3b9），把x3，y0代入y+n得，0+n，n4，OC4，COD90，OD3，OC4，CD5，四边形CDFE是菱形，CECD5，E（5，4），当0时，即b0时，当x0时，y3b9，G（0，3b9），该抛物线与线段CE没有交点，3b94，b，当b0时，当x5时，y25+5b+3b98b+16，H（5，8b+16），抛物线与CE没有交点，8b+164，b，综上所述：b或b【点评】本题考查了求二次函数的解析式，一次函数解析式，菱形的性质，勾股定理等知识
21、，解决问题的关键一是正确分类，二是数形结合7（2022邵阳）如图，已知直线y2x+2与抛物线yax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上（1）求该抛物线的表达式（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若AOB与DPC全等，求点P的坐标（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将PQD沿PQ所在的直线翻折得到PQD，连接CD，求线段CD长度的最小值【分析】（1）先分别求得点A，点B的坐标，从而利用待定系数法求函数解析式；（2）分AOBDPC和AOBCPD两种情况，结合全等三角形的性
22、质分析求解；（3）根据点D的运动轨迹，求得当点P，D，C三点共线时求得CD的最小值【解析】在直线y2x+2中，当x2时，y2，当y0时，x1，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，2），把点A（1，0），点B（0，2），点C（3，0）代入yax2+bx+c，解得，抛物线的解析式为yx2+x+2；（2）当AOBDPC时，AODP，又四边形OPDE为正方形，DPOPAO1，此时点P的坐标为（1，0），当AOBCPD时，OBDP，又四边形OPDE为正方形，DPOPOB2，此时点P的坐标为（2，0），综上，点P的坐标为（1，0）或（2，0）；（3）如图，点D在以点P为圆心，DP为半径的圆上运动，当
23、点D，点P，点C三点共线时，CD有最小值，由（2）可得点P的坐标为（1，0）或（2，0），且C点坐标为（3，0），CD的最小值为1【点评】本题考查二次函数的应用，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，掌握待定系数法求函数解析式，注意数形结合思想和分类讨论思想解题是关键8（2022台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE3m，竖直高度为EF的长下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A
24、离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）（1）若h1.5，EF0.5m求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围（2）若EF1m要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值【分析】（1）由顶点A（2，2）得，设ya（x2）2+2，再根据抛物线过点（0，1.5），可得a的值，从而解决问题；由对称轴知点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；根据EF0.5，求
25、出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案；（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，故设点D（m，（m+2）2+h+0.5），F（m+3，（m+32）2+h+0.5），则有（m+32）2+h+0.5（m+2）2+h+0.51，从而得出答案【解析】（1）如图1，由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，设ya（x2）2+2，又抛物线过点（0，1.5），1.54a+2，a，上边缘抛物线的函数解析式为y（x2）2+2，当y0时，0（x2）2+2，解得x16，x22（舍去），喷出水的最大射程OC为6cm；对称轴为直线x2，点（0，1.5）的
26、对称点为（4，1.5），下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，点B的坐标为（2，0）；EF0.5，点F的纵坐标为0.5，0.5（x2）2+2，解得x22，x0，x2+2，当x2时，y随x的增大而减小，当2x6时，要使y0.5，则x2+2，当0x2时，y随x的增大而增大，且x0时，y1.50.5，当0x6时，要使y0.5，则0x2+2，DE3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，d的最大值为2+2321，再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OBd，d的最小值为2，综上所述，d的取值范围是2d21；（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别
27、在两条抛物线上，故设点D（m，（m+2）2+h+0.5），F（m+3，（m+32）2+h+0.5），则有（m+32）2+h+0.5（m+2）2+h+0.51，解得m2.5，点D的纵坐标为h，h0，h的最小值为【点评】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键9（2022眉山）在平面直角坐标系中，抛物线yx24x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（5，0）（1）求点C的坐标；（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；（
28、3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）把点A的坐标代入yx24x+c，求出c的值即可；（2）过P作PEAC于点E，过点P作PFx轴交AC于点H，证明PHE是等腰直角三角形，得，当PH最大时，PE最大，运用待定系数法求直线AC解析式为yx+5，设P（m，m24m+5），（5m0），则H（m，m+5），求得PH，再根据二次函数的性质求解即可；（3）分三种情况讨论：当AC为平行四边形的对角线时，当AM为平行四边形的对角线时，当AN为平行四边形的对角线时分别求
29、解即可【解析】（1）点A（5，0）在抛物线yx24x+c的图象上，05245+cc5，点C的坐标为（0，5）；（2）过P作PEAC于点E，过点P作PFx轴交AC于点H，如图1：A（5，0），C（0，5）OAOC，AOC是等腰直角三角形，CAO45，PFx轴，AHF45PHE，PHE是等腰直角三角形，当PH最大时，PE最大，设直线AC解析式为ykx+5，将A（5，0）代入得05k+5，k1，直线AC解析式为yx+5，设P（m，m24m+5），（5m0），则H（m，m+5），a10，当时，PH最大为，此时PE最大为，即点P到直线AC的距离值最大；（3）存在，理由如下：yx24x+5（x+2）2+9
30、，抛物线的对称轴为直线x2，设点N的坐标为（2，m），点M的坐标为（x，x24x+5），分三种情况：当AC为平行四边形对角线时，解得，点M的坐标为（3，8）；当AM为平行四边形对角线时，解得，点M的坐标为（3，16）；当AN为平行四边形对角线时，解得，点M的坐标为（7，16）；综上，点M的坐标为：（3，8）或（3，16）或（7，16）【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键10（2022天津）已知抛物线yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的顶点为P，与x轴
31、相交于点A（1，0）和点B（）若b2，c3，求点P的坐标；直线xm（m是常数，1m3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；（）若3b2c，直线x2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标【分析】（）利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得顶点P的坐标；求出直线BP的解析式，设点M（m，m22m3），则G（m，2m6），表示出MG的长，可得关于m的二次函数，根据二次函数的最值即可求解；（）由3b2c得b2a，c3a，抛物线的解析式为yax22a3a可得顶点P的坐标为（1，4a
32、），点N的坐标为（2，3a），作点P关于y轴的对称点P，作点N关于x轴的对称点N，得点P的坐标为（1，4a），点N的坐标为（2，3a），当满足条件的点E，F落在直线PN上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+ENPN5延长PP与直线x2相交于点H，则PHNH在RtPHN中，PH3，HN3a（4a）7a由勾股定理可得PN2PH2+HN29+49a225解得a1，a2（舍）可得点P的坐标为（1，），点N的坐标为（2，）利用待定系数法得直线PN的解析式为yx即可得点E，F的坐标【解析】（）若b2，c3，则抛物线yax2+bx+cax22x3，抛物线yax2+bx+c与x轴相交于点A（1，
33、0），a+230，解得a1，抛物线为yx22x3（x1）24，顶点P的坐标为（1，4）；当y0时，x22x30，解得x11，x23，B（3，0），设直线BP的解析式为ykx+n，解得，直线BP的解析式为y2x6，直线xm（m是常数，1m3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，设点M（m，m22m3），则G（m，2m6），MG2m6（m22m3）m2+4m3（m2）2+1，当m2时，MG取得最大值1，此时，点M（2，3），则G（2，2）；（）抛物线yax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0），ab+c0，又3b2c，b2a，c3a（a0），抛物线的解析式为yax22a3ayax22a3aa（x
34、1）24a，顶点P的坐标为（1，4a），直线x2与抛物线相交于点N，点N的坐标为（2，3a），作点P关于y轴的对称点P，作点N关于x轴的对称点N，得点P的坐标为（1，4a），点N的坐标为（2，3a），当满足条件的点E，F落在直线PN上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+ENPN5延长PP与直线x2相交于点H，则PHNH在RtPHN中，PH3，HN3a（4a）7aPN2PH2+HN29+49a225解得a1，a2（舍）点P的坐标为（1，），点N的坐标为（2，）直线PN的解析式为yx点E（，0），点F（0，）【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，轴对称
35、求最小值问题，勾股定理等，利用待定系数法求出直线解析式是解本题的关键11（2022苏州）如图，二次函数yx2+2mx+2m+1（m是常数，且m0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F连接AC，BD（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求OBC的度数；（2）若ACOCBD，求m的值；（3）若在第四象限内二次函数yx2+2mx+2m+1（m是常数，且m0）的图象上，始终存在一点P，使得ACP75，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围【分析】（1）令y0，解方程可得A，B两点坐标，令x0，可得点C的坐
36、标，证明OCOB，可得OBC45；（2）由题意D（m，（m+1）2），F（m，0），根据tanACEm+1，构建方程，求出m即可；（3）证明CAO60，推出2m+1，可得结论【解析】（1）当y0时，x2+2mx+2m+10，解方程，得x11，x22m+1，点A在点B的左侧，且m0，A（1，0），B（2m+1，0），当x0时，y2m+1，C（0，2m+1），OBOC2m+1，BOC90，OBC45；（2）如图1中，连接AEyx2+2mx+2m+1（xm）2+（m+1）2，D（m，（m+1）2），F（m，0），DF（m+1）2，OFm，BFm+1，A，B关于对称轴对称，AEBE，EABOBC45，
37、ACOCBD，OCBOBC，ACO+OCBCBD+OBC，即ACEDBF，EFOC，tanACEm+1，m+1，m1或1，m0，m1；（3）如图，设PC交x轴于点Q当点P在第四象限时，点Q总是在点B的左侧，此时CQACBA，即CQA45，ACQ75，CAO60，2m+1，m，0m【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型12（2022嘉兴）已知抛物线L1：ya（x+1）24（a0）经过点A（1，0）（1）求抛物线L1的函数表达式（2）将抛物线L1向上平移m（m0）个单位得到抛物线L2若抛物线L2的顶点关于
38、坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值（3）把抛物线L1向右平移n（n0）个单位得到抛物线L3，若点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，且y1y2，求n的取值范围【分析】（1）把（1，0）代入抛物线的解析式求出a即可；（2）求出平移后抛物线的顶点关于原点对称点的坐标，利用待定系数法求解即可；（3）抛物线L1向右平移n（n0）个单位得到抛物线L3，的解析式为y（xn+1）24，根据y1y2，构建不等式求解即可【解析】（1）ya（x+1）24（a0）经过点A（1，0），4a40，a1，抛物线L1的函数表达式为yx2+2x3；（2）y（x+1）24，抛物线的顶点（1，4），将抛物线L1
39、向上平移m（m0）个单位得到抛物线L2若抛物线L2的顶点（1，4+m），而（1，4+m）关于原点的对称点为（1，4m），把（1，4m）代入yx2+2x3得到，1+234m，m4；（3）抛物线L1向右平移n（n0）个单位得到抛物线L3，的解析式为y（xn+1）24，点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，y1（2n）24，y2（4n）24，y1y2，（2n）24（4n）24，解得n3，n的取值范围为n3【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，平移变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型13（2022乐山）如图1，已知二次函数yax2+bx+
40、c（a0）的图象与x轴交于点A（1，0）、B（2，0），与y轴交于点C，且tanOAC2（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C作CDx轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结PB、PC，若SPBCSBCD，求点P的坐标；（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连结OP交BC于点Q设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值【分析】（1）在RtAOC中求出OC的长，从而确定点C坐标，将二次函数设为交点式，将点C坐标代入，进一步求得结果；（2）可分为点P在第三象限和第一象限两种情形当点P在第三象限时，设点P（a，a2a2），可表示出BCD的面积，当点P在第三象限时，作PEAB交BC于E，先求出直线BC，从而得出E点坐标，从而表示出PBC的
