1、对某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变对某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述量来描述.1例如，研究某地区学前儿童的发育状况，观察他们的身高例如，研究某地区学前儿童的发育状况，观察他们的身高 H 和体重和体重 W，这时，这时，样本空间样本空间 S=e=某地区的全部学前某地区的全部学前儿童儿童，而而 H(e)和和 W(e)是定义在是定义在 S上的两上的两 个随机变量。个随机变量。第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布1 二维随机变量的联合分布二维随机变量的联合分布一、二维随机变量的定义一、二维随机变量的定义定义：定义：设设 E 是一随机试验，样本
2、空间为是一随机试验，样本空间为 S=e.设设 X=X(e)和和Y=Y(e)是定义在是定义在 S 上的随机变量，由上的随机变量，由 它们构成的向量它们构成的向量(X,Y),叫叫做二维随机向量做二维随机向量 或或 二维随机变量二维随机变量。对对 S 中每个样本点中每个样本点 e，有一有序实数对，有一有序实数对(X(e),Y(e)与它对应。与它对应。Sey()()(),X eY ex二维随机变量二维随机变量(X,Y)的性质不仅与的性质不仅与 X 及及 Y 有关，而且还依赖于有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系，因此逐个地研究这两个随机变量的相互关系，因此逐个地研究 X 或或 Y 的性质还不的性
3、质还不够，还要将够，还要将(X,Y)作为一个整体来研究。作为一个整体来研究。2二、联合分布函数的定义二、联合分布函数的定义.),(,),(,),(的联合分布函数和分布函数，也称为的为数，称函任意实数是二维随机变量，对于设定义的联合分布函数和分布函数，也称为的为数，称函任意实数是二维随机变量，对于设定义YXYXyYxXPyYxXPyxFyxYX=分布函数分布函数 F(x,y)在在(x,y)处的函数值就是处的函数值就是:随机随机点点(X,Y)落在以点落在以点(x,y)为顶点且位于该点左下为顶点且位于该点左下方的无穷矩形域内的概率。如图所示方的无穷矩形域内的概率。如图所示.1x2x2y1y,2121
4、yYyxXxP算下面利用分布函数来计算下面利用分布函数来计),(),(),(),(,111221222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP+=+=三、分布函数的性质三、分布函数的性质与一维分布函数类似与一维分布函数类似,F(x,y)具有以下性质具有以下性质:；时，当对任意固定的；时，当对任意固定的),(),(,2121yxFyxFxxy；时，当对任意固定的；时，当对任意固定的),(),(,2121yxFyxFyyx,1),(0).2yxF,0),(),(=yFxFyx，有，且对任意固定的，有，且对任意固定的的不减函数，是的不减函数，是yxyxF,),().1.1),(,0),(=+=+
5、=FF4也右连续，即右连续，关于关于也右连续，即右连续，关于关于yxyxF),().3)0,(),(),0(),(+=+=+=+=yxFyxFyxFyxF11221212111221224).(,),(,),(,)(,)(,)(,)0.x yxyxxyyF x yF x yF xyF xy=.0,0,0,1)(yyeyFYy的分布函数为解：的分布函数为解：2,10,021=YYPXXP,1)1(11=eFYP2,11,021=YYPXXP,0=P2,10,121=YYPXXP21=YYPXXP2=YP.212=eYP1010010108的分布律为所以的分布律为所以),(21XX五、二维连续型随
6、机变量五、二维连续型随机变量设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布函数为的分布函数为 F(x,y)，如果存在非负的，如果存在非负的函数函数 f(x,y)使对于任意使对于任意 x,y 有：有：则称则称(X,Y)是是连续型的二维随机变量连续型的二维随机变量。dudvvufyxFyx),(),(=9称称 f(x,y)为随机变量为随机变量(X,Y)的的概率密度概率密度，或称为随机变量，或称为随机变量 X 和和Y 的的联合概率密度联合概率密度。(X,Y)的概率密度函数的概率密度函数 f(x,y)具有以下性质：具有以下性质：;0),().1 yxf=GdxdyyxfGYXPxoyG.),(),().
7、3则平面上的区域，是设则平面上的区域，是设;1),(),().2=Fdxdyyxf10连续，在点若连续，在点若),(),().4yxyxf.),(),(2yxfyxyxF=则有=则有11 =xydxdyyxfXYP),().2(dxdyex)yx(+=0022=02.3/1)1(2dxeexx的概率密度为设随机变量例题的概率密度为设随机变量例题),(:YX=+.,0,0,0,2),()2(其它其它yxeyxfyx.).2(),().1(XYPyxF求概率；求分布函数求概率；求分布函数 =yxdxdyyxfyxF),(),(1）（解：）（解：=+.,0,0,0,200)2(其它其它yxyxyxd
8、xdye=.,0,0,0),1)(1(2其它其它yxeeyxG课堂练习：备课本课堂练习：备课本432.边缘分布边缘分布12)(),(:),(),(yFxFYXyxFYXYX的分布函数分别为和，的分布函数为设的分布函数分别为和，的分布函数为设一、边缘分布函数一、边缘分布函数.),()(),(的边缘分布函数和关于为则分别称的边缘分布函数和关于为则分别称YXYXyFxFYX,)(=YxXPxXPxFX),(=xF),()(yFyFY=同理有：=同理有：的边缘分布律二、离散型的边缘分布律二、离散型),(YX),()(=xFxFX=xxjijip1,=xxiXixXPxF)(又又,2,1,1=ipxXP
9、jiji,2,1,1=jpyYPYiijj的分布律为：类似可得的分布律为：类似可得=xxyyijijpyxF),(13,2,1,1=ixXPppijiji记记,2,1,1=jyYPppjiijj.),(),2,1(),2,1(的边缘分布律和关于为和分别称的边缘分布律和关于为和分别称YXYXjpipji=的边缘概率密度三、连续型的边缘概率密度三、连续型),(YX),(),(yxfYX的概率密度为设的概率密度为设dxdyyxfxFxFxX=),(),()(=dyyxfxfXX),()(的概率密度为的概率密度为=dxyxfyfYY),()(的概率密度为类似，的概率密度为类似，.),()()(的边缘概
10、率密度、关于为和分别称的边缘概率密度、关于为和分别称YXYXyfxfYXdx)x(fxX=01YX01114则则(X,Y)的联合分布的联合分布律律及边缘分及边缘分布律布律由表给出由表给出例例:袋中装有袋中装有2只白球及只白球及3只黑球，现进行有放回的摸球，只黑球，现进行有放回的摸球，定义下列随机变量定义下列随机变量.第第1次摸出白球次摸出白球第第1次摸出黑球次摸出黑球第第2次摸出白球次摸出白球第第2次摸出黑球次摸出黑球xXPppijiji=1yYPppjiijj=1XP013/52/5YP013/52/515012y=2(1-x)=其它的概率密度为设例题=其它的概率密度为设例题,0),1(20
11、,10,6),(),(:xyxxyyxfYX).(),(yfxfYX求边缘概率密度求边缘概率密度=dyyxfxfX),()(解：解：=.,0,10,)1(126)1(202其它其它xxxxxydy=dxyxfyfY),()(=.,0,20,)2/1(362/102其它其它yyyyxydx16四、二维均匀分布四、二维均匀分布密度为的概率若其面积为是平面上的有界区域，设密度为的概率若其面积为是平面上的有界区域，设),(.YXAG=.,0,),(,1),(其它其它GyxAyxf上服从均匀分布。在则称上服从均匀分布。在则称GYX),().(1),(22xfyxYXX上服从均匀分布，求在例：设+上服从均
12、匀分布，求在例：设+的密度函数为解：的密度函数为解：),(YX+=.,yx,)y,x(f其它01122=dyyxfxfX),()(=.,0,11,12122112其它其它xxxxdy1-1五、二维正态分布五、二维正态分布的概率密度为若的概率密度为若),(YX),(,)()(2)()1(21exp121),(2222212121212221+=+=yxyyxxyxf.11,0,0,212121为常数，且其中为常数，且其中记为的二维正态分布，为服从参数为则称记为的二维正态分布，为服从参数为则称,),(2121YX).,(),(222121NYX:)y(f),x(fYX得求其求边缘概率密度得求其求边缘概率密度xexexp=19.21)(22222)(2=yYeyf则有，结论：若则有，结论：若),(),(222121NYX),(),(222211NYNX注：注：由联合分布一定能确定边缘分布，但由边缘分布由联合分布一定能确定边缘分布，但由边缘分布不能确定联合分布。不能确定联合分布。课堂练习：课堂练习：备课本备课本46,e)x(f)x(X21212121=
