1、学海在线资源中心 双曲线【考纲要求】1.了解双曲线图形的实际背景及形成过程；2.掌握双曲线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；3.掌握双曲线的简单应用；4.理解解析几何中数形结合思想的运用.【知识网络】双曲线数形结合思想标准方程及简单性质双曲线的实际背景及定义【考点梳理】【高清课堂：双曲线及其性质404777 知识要点】考点一、双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于定长（）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.要点诠释：（1）双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；（
2、2）若常数满足约束条件：（），则此时的曲线是双曲线的靠的一支；（3）若常数满足约束条件：，则此时的曲线是两条射线；（4）若常数满足约束条件：，则此时的曲线不存在.考点二、双曲线的标准方程（1）当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；（2）当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.要点诠释：（1）只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到双曲线的标准方程；（2）在双曲线的两种标准方程中，都有；（3）双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.考点三、双曲线
3、的简单几何性质双曲线的简单几何性质（1）范围：，；（2）焦点，顶点，实轴长=，虚轴长=，焦距；（3）离心率是；（4）渐近线：.双曲线的简单几何性质（1）范围：，；（2）焦点，顶点，实轴长=，虚轴长=，焦距；（3）离心率是；（4）渐近线：.考点四、有关双曲线的渐近线的问题（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为渐近线方程（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若渐近线方程为双曲线可设为（3）若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在轴上，焦点在y轴上）（4）特别地当离心率两渐近线互相垂直，分别为，此时双曲线为等轴双曲线，可设为.考点五、双曲线图像中线段的几何特征： 双曲线的图像如图所示：（1）实
4、轴长，虚轴长,焦距，（2）离心率：；（3）顶点到焦点的距离：，；（4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、和角结合起来.【典型例题】类型一：求双曲线的标准方程例1. 求与椭圆有共同的焦点，且过点的双曲线的标准方程。【解析】依题意设双曲线方程为由已知得，又双曲线过点，故所求双曲线的方程为.【总结升华】先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.举一反三：【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程.（1）一渐近线方程为，且双曲线过点.（2）虚轴长与实轴长的比为，焦距为10.【解析】（1）依题意知双曲线两渐近线的方程
5、是,故设双曲线方程为，点在双曲线上，解得，所求双曲线方程为.（2）由已知设, ,则()依题意，解得.双曲线方程为或.类型二：双曲线的焦点三角形例2.中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点和，且，又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比.（1）求椭圆与双曲线的方程；（2）若为这两曲线的一个交点，求的余弦值.【解析】（1）设椭圆方程为()，双曲线方程，则，解得 , , .故所求椭圆方程为，双曲线方程为.（2）由对称性不妨设交点在第一象限.设、.由椭圆、双曲线的定义有: 解得 由余弦定理有.举一反三：【变式1】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）ABCD
6、【解析】依据双曲线的定义有，由得、，又，则，即，所以，故选B.例3方程表示双曲线，求实数m的取值范围。【解析】由题意得或或。 实数m的取值范围为。【总结升华】方程Ax2+By2=1表示双曲线时，A、B异号。举一反三：【变式1】k9是方程表示双曲线的（ ） A充分必要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件【答案】B【变式2】设双曲线的渐近线方程为，则的值为A4 B3 C2 D1【答案】C例4已知双曲线的方程是.（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小【解析】（1）由得， ，.焦点、，离心率，渐近线方程为.（
7、2），举一反三【变式1】已知是双曲线的两个焦点，P在双曲线上且满足，则_。【答案】【变式2】已知双曲线，P为双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，并且，求的面积。【答案】类型三：离心率【高清课堂：双曲线及其性质404777 例1】例5.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则的值为_【解析】双曲线中，且所以则解得举一反三：【变式1】已知双曲线-=1与x轴正半轴交于A点，F是它的左焦点，设B点坐标为(0,b)，且ABBF，则双曲线的离心率为（ ）A、 B、 C、 D、【答案】B 【变式2】 若椭圆的离心率为,则双曲线的离心率为_【答案】例6. 已知是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点,若是正三角形,求双曲线的离心率。【解析】，是正三角形，举一反三：【变式1】 双曲线的渐进线方程,则双曲线的离心率为_ 【答案】【变式2】 等轴双曲线的离心率为_【答案】
