1、5.3函数的单调性（第二课时）函数的最大(小)值,新知探究,科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考查，如图是某天气温随时间的变化曲线.请根据曲线图说说气温的变化情况？,问题(1)该天的最高气温和最低气温分别是多少？(2)设该天某时刻的气温为f(x)，则f(x)在哪个范围内变化？(3)从函数图象上看，气温的最大值(最小值)在什么时刻取得？提示(1)该天的最高气温为25，最低气温为5.(2)该天某时刻的气温变化范围是5，25.(3)气温的最大值在t17处取得，气温的最小值在t6时取得.,函数的最大值与最小值设函数yf(x)的定义域是A，如果存在x0A，使得对于任意的
2、xA.都有_.那么称f(x0)为yf(x)的最大值，记为_；如果存在x0A，使得对于任意的xA，都有_，那么称f(x0)为yf(x)的最小值，记为_.,f(x)f(x0),ymaxf(x0),f(x)f(x0),yminf(x0),基础自测判断,1.若对任意xI，都有f(x)M，则M是函数f(x)的最大值.()提示M是存在的，并且x0I，使得f(x0)M.2.一个函数可能有多个最小值.()提示最大(小)值至多有1个.3.如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.()4.如果函数的值域是确定的，则它一定有最值.()提示值域确定，但不一定有最值.5.因为不等式x21总成立，所以1是f(x)x
3、2的最小值.()提示f(x)x2的最小值为0.,基础训练,1.函数f(x)|x|，x1，3，则f(x)的最大值为_.,解析根据图象可知f(x)max3.答案3,3.函数y3x22在区间1，2上的最大值为_.,解析函数y3x22的对称轴为x0，又01，2，f(x)maxf(0)2.答案2,思考题,任何函数都有最大(小)值吗？,题型一利用函数图象求最值,解作出f(x)的图象如图：,规律方法用图象法求最值的三个步骤,解 yf(x)的图象如图所示，yf(x)的单调增区间是(，0)和0，)，函数的最小值为f(0)1.,题型二利用单调性求最值,(1)求证f(x)在1，)上是增函数；(2)求f(x)在1，4
4、上的最大值及最小值.,(1)证明任取x1，x21，)，且x1x2，,1x11，x1x210，,f(x)在1，)上是增函数.(2)解由(1)可知f(x)在1，4上单调递增，当x1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)2，,规律方法1.利用单调性求最值：首先判断函数的单调性；然后利用单调性写出最值.2.函数的最值与单调性的关系：(1)若函数在闭区间a，b上是减函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；(2)若函数在闭区间a，b上是增函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(b)，最小值为f(a).,(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数f(x)的最大值和最小值.
5、,解(1)f(x)是增函数，证明如下：任取x1，x23，5且x1x2，,因为3x10，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).所以f(x)在3，5上为增函数.,(2)由(1)知，f(x)在3，5上为增函数，,题型三二次函数的最值【例3】已知函数f(x)x2ax1.(1)求f(x)在0，1上的最大值；(2)当a1时，求f(x)在闭区间t，t1(tR)上的最小值.,所以区间0，1的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，,f(x)minf(t1)t2t1；,规律方法1.含参数的二次函数最值问题的解法解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为ya(xh)2k的形式，再依a的
6、符号确定抛物线的开口方向，依对称轴xh得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值.2.对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数.通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.,【训练3】已知二次函数f(x)x22x3.(1)当x2，0时，求f(x)的最值；(2)当x2，3时，求f(x)的最值；(3)当xt，t1时，求f(x)的最小值g(t).,解f(x)x22x3(x1)22，其对称轴为x1，开口向上.(1)当x2，0时
7、，f(x)在2，0上是减函数，故当x2时，f(x)有最大值f(2)11；当x0时，f(x)有最小值f(0)3.(2)当x2，3时，f(x)在2，3上先递减后递增，故当x1时，f(x)有最小值f(1)2.又|21|31|，f(x)的最大值为f(2)11.,(3)当t1时，f(x)在t，t1上是增函数，所以当xt时，f(x)取得最小值，此时g(t)f(t)t22t3.当t1t1，即0t1时，f(x)在t，t1上先递减后递增，故当x1时，f(x)取得最小值，此时g(t)f(1)2.当t11，即t0时，f(x)在t，t1上是减函数，,所以当xt1时，f(x)取得最小值，此时g(t)f(t1)t22，,
8、一、课堂小结,1.通过函数图象经历函数最值的抽象过程、发展数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.2.求函数最大(小)值的常用方法有：(1)观察法，对于简单的函数，可以依据定义域观察求出最值；(2)配方法，对于“二次函数”类的函数，一般通过配方法求最值；(3)图象法，对于图象较容易画出来的函数，可借助图象直观地求出最值；(4)单调性法，对于较复杂的函数，分析单调性(需给出证明)后，依据单调性确定函数最值.,二、课堂检测1.函数f(x)2x1(x2，2)的最小、最大值分别为(),A.3，5 B.3，5 C.1，5 D.5，3,解析因为f(x)2x1在2，2是减函数，所以当x2时，函数的最小值为
9、3.当x2时，函数的最大值为5.答案B,2.函数f(x)在区间2，5上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(),A.2，f(2)B.2，f(2)C.2，f(5)D.2，f(5)答案C,答案10,解析作出函数f(x)的图象(如图).由图象可知，当x1时，f(x)取最大值f(1)1；当x0时，f(x)取最小值f(0)0.故f(x)的最大值为1，最小值为0.,4.若函数yax1在1，2上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是_.,解析由题意a0，当a0时，有(2a1)(a1)2，解得a2；当a0时，有(a1)(2a1)2，解得a2.综上知a2.答案2,解任取2x1x25，,2x10，x110，f(x2)f(x1)0.f(x2)f(x1).,三、审题答题示范(一)利用函数的单调性求最值,看到想到利用函数单调性的定义，证明f(x)在(1，)上的单调性.看到首先利用(1)的结论首先判断f(x)在0，3上的单调性求f(x)在0，3上的最值得到f(x)在0，3上的值域.,函数f(x)在(1，)上是减函数.6分,谢 谢 观 看,
