1、第6章 平面向量及其应用6.1.平面向量的概念1.平面向量的概念： 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的模：向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作.零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作.单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量.平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.记作：.规定：零向量与任意向量平行.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.6.2.平面向量的运算6.2.1.向量的加法运算1.向量加法的法则：向量加法的三角形法则和平行四边形法则. 2.（当且仅当与方向方向相同时等号成立）.3.向量加法的运算律：交换律： 结合律： 6
2、.2.2.向量的减法运算1. 相反向量：与长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量.记作.2. 向量减法的定义： 加上的相反向量，叫做与的差.3. 向量减法的法则：三角形法则. 6.2.3.向量的数乘运算1. 数乘的定义：实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：，它的长度和方向规定如下： ；当时, 的方向与的方向相同；当时, 的方向与的方向相反.2.运算律： ； 3.线性运算：向量的加.减.数乘运算统称为向量的线性运算.4.平面向量共线定理：向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.6.2.4.向量的数量积1. 向量的夹角：已知两个非零向量，O是平面上的任意一点，作,则叫做向
3、量与的夹角.2. 与垂直：如果与的夹角是 ，则与垂直，记作.3.数量积：已知两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作，即.4.投影向量：向量在上的投影向量：在平面内任取一点O，作,过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.设与同方向的单位向量为，与的夹角为，则.5.数量积的性质：（1）（2）（3） 或 （4）6.数量积的运算律：（1） （2） （3） 结论： ，.6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数，使.叫做表示这一平面内所有向量的
4、一个基底.6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示1. 正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.2.向量的坐标表示：在平面直角坐标系中,设与轴.轴方向相同的两个单位向量分别为 ,取作为基底.对于平面内的任意一个向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数,使得 ，这样平面内的任一向量都可由唯一确定,我们把有序数对叫做向量的坐标,记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做 在 轴上的坐标，叫做向量的坐标表示.6.3.3平面向量加.减运算的坐标表示1.设，则：，即：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）2.已知 ，则 .6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示1.设，则.2.设,则向量共线的充要条件是 .6.3.5平面向量数量积的坐标表示1. 设，则：（1）（2）（3）（4）（5）设，则：.6.4 平面向量的应用1.余弦定理： 推论： 2.正弦定理：.（其中为外接圆的半径）6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司
