1、第3章 函数的概念与性质,3.2.1 单调性与最大(小)值,人教A版2019高中数学必修第一册,新课导入,在初中我们利用函数图像探究过函数值随自变量的增大而增大(减小)的性质，这性质叫做函数的单调性.下面进一步刻画这种性质.,先研究二次函数 的单调性.画出图像，可以看到，当x0时，y随x的增大而减小，也就是说，任意取，得到，有.这时我们就说函数 在区间(-，0上是单调递减的.,同理，函数 在0,+)上是单调递增的.,因为，所以,【问题】如何判断本题中 的大小？,【1】观察图像法，从右侧图像中很容易得到,函数在(-，0上为减函数，在0,+)上为增函数，但在(-,+)上不具有单调性.,【2】做差法
2、：,所以,单调性的定义,一般地，设函数 的定义域为S，区间，如果，当 时，都有，那么就称函数 在区间A上单调递增.特别地，若函数 在它的定义域上单调递增时，我们就称它为增函数.,如果，当 时，都有，那么就称函数在区间A上单调递减.特别地，若函数 在它的定义域上单调递减时，我们就称它为减函数.函数具有单调性的的区间叫做单调区间.,函数单调性定义的等价形式(对于任意的)：,【1】,在D上为增函数；,【2】,在D上为减函数；,【3】,在D上为增函数；,【4】,在D上为减函数.,即自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为增函数；自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为减函数；,单调性定义的应用,【1】
3、判断(证明)单调性：,【2】比较函数值大小：,【3】已知函数值大小比较自变量：,【问题】书写函数的单调区间端点有何要求？,函数在区间端点处有定义时，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在书写单调区间时，可以包括，也可以不包括.如函数y=t的单调增区间可以写(0，+)，也可以写成0，+),反之，函数在区间端点处无定义时，书写单调区间时就不能包括端点.,单调性的应用,【观察】观察函数 的图像可以发现，二次 函数的图像上有一个最低点(0，0)，即：,函数的最值(最大值和最小值),当一个函数有最低点时，我们就说这个函数有最小值.,【定义】一般地，设函数 的定义域为A，如果当自变量 时，有：，那么我们就称 是函数的最小值；,反之，设函数 的定义域为A，如果当自变量 时，有：，那么我们就称 是函数的最大值.,THANKS,“,”,
