1、考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数高数下下册册一条龙一条龙 1 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 专题 16 二重积分的解题方法（紧密）本讲义内容丰富，涵盖了考研数学中，二重积分几乎所有的考法吃透，高分！吃透，高分！一、利用对称性简化积分计算一、利用对称性简化积分计算.2（一）奇偶对称性.2（二）广义奇偶性.2（二）轮换对称性.3 二、交换积分次序和更换坐标系二、交换积分次序和更换坐标系.3（一）直角坐标与极坐标之间的转化.3（二）直角坐标系下，交换积分次序.3（三）极坐标系下，交换积分次序.3 三、交换积分次序，计算二重积分三、交换积分次序，计算二重积分.4（一）交换二次积分的次
2、序.4（二）以退为进，将定积分还原成二重积分，再换序.4 四、利用极坐标计算二重积分四、利用极坐标计算二重积分.4 情形一 积分区域和圆有关、被积函数出现或.4 情形二 积分区域由极坐标给出.5 情形三 积分区域的表达式里出现.5 情形四 需要平移极坐标的极点.5 五、需要分割积分区域的二重积分五、需要分割积分区域的二重积分.6 六、区域边界为参数方程的二重积分计算（数三原则上可以不学）六、区域边界为参数方程的二重积分计算（数三原则上可以不学）.6 七、利用七、利用“二重积分的结果是一个数字二重积分的结果是一个数字”来求解某些待定函数的问题来求解某些待定函数的问题.6 八、利用二重积分计算平面
3、图形的面积八、利用二重积分计算平面图形的面积.7 九、利用二重积分定义求极限九、利用二重积分定义求极限.7 十、利用二重积分，证明积分不等式十、利用二重积分，证明积分不等式.7 配套作业配套作业.8 考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数高数下下册册一条龙一条龙 2 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 一、利用对称性简化积分计算一、利用对称性简化积分计算 当区域无明显对称性时，可以尝试对区域进行适当“分块”，看每一个小块儿上是否有对称性.（一）奇偶对称性（一）奇偶对称性 例题例题 1(凯哥，每日一题)设，则=.例题例题 2(2012 年)设区域由曲线围成，求.类题 是区域上连续的奇函数，
4、是由围成的区域中靠左的部分.求.（二）广义奇偶性（二）广义奇偶性 例题例题 3 求，其中由以及 轴围成.注注：奇偶对称除了有狭义的，还有广义的.众所周知，显然成立，这是因为被积函数的 和都是奇函数，积分区间也都关于原点对称，而奇函数在对称区间的定积分为 0.但对于，很多人反应不过来，只知道死算，但其实只需在中令，便化为；在中令，便化为，所以只要是奇函数，那么不仅，而且（令即可）.并且，还有着深刻的几何意义奇函数图像的平移，即“若积分区间中点为，而被积函数又是以为中心的广义奇函数，那么积分的结果恒为 0”.1.二重积分的奇偶性：若积分区域关于 轴上下对称，是关于的奇函数，则积分为 0.2.二重积
5、分的广义奇偶性：若积分区域关于直线上下对称，将视为整体后，可看成一个奇函数，则积分为 0.利用这个结论，我们可以口算例题 3.类题 考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数高数下下册册一条龙一条龙 3 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书（二）轮换对称性（二）轮换对称性 例题例题 4(1994 年)设区域为，则 .例题例题 5 设，证明：.例题例题 6(1995 年)设在连续，并设，求 二、交换积分次序和更换坐标系二、交换积分次序和更换坐标系（一）直角坐标与极坐标之间的转化（一）直角坐标与极坐标之间的转化 例题例题 7(1)将二次积分化为极坐标下的二次积分.(2)(2006 年，改编)将二次
6、积分化为直角坐标下的二次积分.(3)(2015 年，改编)将二次积分化为直角坐标下的二次积分.（二）直角坐标系下，交换积分次序（二）直角坐标系下，交换积分次序 例题例题 8(2001 年)交换二次积分的积分次序：.注注：由二重积分直接转化成的二次积分，积分下限一定小于积分上限由二重积分直接转化成的二次积分，积分下限一定小于积分上限所以如果出题人给你的二次积分不满足“下限上限”，则需要自己颠倒上下限的位置，然后再进行换序等后续操作.类题(2007 年，改编)交换二次积分的积分次序：.（三）极坐标系下，交换积分次序（三）极坐标系下，交换积分次序 例题例题 9(凯哥，每日一题)求，其中.类题(姜晓千
7、，压轴 150).考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数高数下下册册一条龙一条龙 4 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 三、交换积分次序，计算二重积分三、交换积分次序，计算二重积分（一）交换二次积分的次序（一）交换二次积分的次序 例题例题 10(1990 年)用两种解法计算 .类题(张宇，1000 题).例题例题 11(汤家凤，辅导讲义)求.注注：一个本来好算的二重积分，出题人故意选择错误的积分次序，导致不得不分割积分区域.类题 求.例题例题 12(凯哥，每日一题)在连续可导，证明：.例题例题 13 求.例题例题 14(姜晓千，压轴 150).例题例题 15(2010 年)，其中.（二
8、）以退为进，将定积分还原成二重积分，再换序（二）以退为进，将定积分还原成二重积分，再换序 例题例题 16.四、利用极坐标计算二重积分四、利用极坐标计算二重积分 情形一情形一 积分区域和圆有关、被积函数出现积分区域和圆有关、被积函数出现或或 需要强调的是，积分区域和圆有关，可以使用极坐标，但并不代表其他区域就不适合极坐标！我一直强调“手段是为目的服务的”，我们选择任何一种坐标系的目的都是为了“能算”甚至“好算”，所以不要把“极坐标”和“积分区域是圆”两件事绑定在一起！例题例题 17(余丙森，1000 题)区域，求.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数高数下下册册一条龙一条龙 5 为中华之崛
9、起而读书为中华之崛起而读书 例题例题 18 求.例题例题 19 求.例题例题 20 求，其中.例题例题 21(竞赛)求，其中是由直线与两坐标轴围成的三角形区域.例题例题 22(汤家凤，1800 题)求，其中.情形二情形二 积分区域由极坐标给出积分区域由极坐标给出 例题例题 23(2012 年，改编)求，其中是由曲线围成的区域.情形三情形三 积分区域的表达式里出现积分区域的表达式里出现 例题例题 24(2023 年)设平面区域位于第一象限，由曲线、与 直线围成.求.类题(李艳芳，3 套卷)设区域位于第一象限，由曲线与 以及坐标轴围成.求.例题例题 25(李林，880 题)求，其中由双纽线围成.情
10、形四情形四 需要平移极坐标的极点需要平移极坐标的极点 例题例题 26(2009 年)求，其中.注注：当积分区域为圆，但其圆心位置既不在原点，也不在坐标轴，那么我们在建立极坐标时，通常把极坐标的极点建立在积分区域的圆心上，即令，这样做的好处是，可以确保 的范围一定是 0 到，且 的范围一定是 0 到，大大简化计算.类题(2009 年，改编)求，其中 考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数高数下下册册一条龙一条龙 6 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 五五、分段函数分段函数的二重积分的二重积分（包括绝对值、取整函数、（包括绝对值、取整函数、max、min 等）等）例题例题 27(2005
11、年)求，其中.类题(李永乐，6 套卷)求 例题例题 28(汤家凤，1800 题)求，其中为.例题例题 29(2002 年)求，其中.例题例题 30(李林，880 题)求，其中.例题例题 31(凯哥，每日一题)计算，其中.六六、区域边界为参数方程的二重积分计算、区域边界为参数方程的二重积分计算（数三（数三原则上原则上可以不学）可以不学）例题例题 32 求，其中是由 轴和摆线围成的区域.注注：曲线由参数方程给出，最后一定会把积分转化为关于参数 的积分，所以从下往上穿线时，的范围就暂时写成 到，至于长什么样不重要，然后根据“换元必换限”，把积分区间变成 的范围即可，而最开始的“的范围是从 0 到”只
12、是一个中间过程而已，我们不必过多纠结！也就是说，采用先后 的积分顺序，变成时，不需要知道的表达式.将代入，得到，例题例题 33(李艳芳，3 套卷)设区域与两坐标轴围成，求.七七、利用、利用“二重积分的结果是一个数字二重积分的结果是一个数字”来求解某些待定函数的问题来求解某些待定函数的问题 例题例题 34 设，其中由围成，求.例题例题 35(凯哥，每日一题)设，求.其中，是以为顶点的三角形.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数高数下下册册一条龙一条龙 7 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 八八、利用二重积分计算平面图形的面积、利用二重积分计算平面图形的面积 例题例题 36(李林 6 套
13、卷)闭曲线所围平面区域的面积为 .例题例题 37 求曲线围成的平面图形面积.注注：“角型”区域的二重积分，也很适合使用极坐标进行计算.例题例题 38(2024 年，改编)设有界区域位于第一象限，由曲线围成.求区域的面积.九九、利用二重积分定义求极限、利用二重积分定义求极限 例题例题 39(2010 年).例题例题 40(李艳芳，3 套卷).十、利用二重积分，证明积分不等式十、利用二重积分，证明积分不等式 例题例题 41(李正元，复习全书)设是上单调不减的连续函数.证明：.例题例题 42(李林，880 题)设在连续、递减，证明：.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数高数下下册册一条龙一条龙
14、 8 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 配套作业配套作业 作业作业 1 设区域由直线，直线，围成，求.作业作业 2(2005 年改编)设平面区域为，求.作业作业 3(2006 年)求，其中由直线围成.作业作业 4(2004 年)求，其中是由和围成.作业作业 5 计算，其中是由直线与两坐标轴围成的三角形区域.作业作业 6 求 作业作业 7(1995 年)设在连续，并设，求.注注：本题在例题 6 里讲过，但这里请你换一种解法.作业作业 8 求，其中区域.作业作业 9 是否存在函数，使得，其中.作业作业 10(2007 年)设，求，其中是.作业作业 11(2005 年)，为取整函数，.作业作业 12(2009 年，改编)计算，其中由不等式确定.作业作业 13(2012 年)求，其中是以曲线，以及轴为边界的无界区域.作业作业 14(2018 年)求，其中是由 轴和摆线围成的区域.作业作业 15(凯哥，每日一题)请用两种方法计算积分.
