1、均值不等式在物理中的巧用实例吴广莲 程志强(山东省济钢高级中学 2 5 0 1 0 0)【摘要】物理学习过程中,经常遇到求物理量的最大值问题,求最大值的方法很多,由于高中生数学知识有限,有些方法并不能用,而均值不等式求极值是一种很好用的方法,如果学生在解题中留心使用,将会极大地减少计算量,省时省力,收到事半功倍的效果.【关键词】高中物理;均值不等式;最值1 均值不等式a1a2ana1+a2+ann n,当a1=a2=a3=an时不等式取等号.特殊情况:当n=2时,a1a2a1+a22 2.2 均值不等式的应用举例2.1 在静电场中的应用例1 如图1所示,等量同种电荷相距2l固定放置,求其连线中
2、垂线上电场最大的点的位置.图1解 如图2在连线中垂线上任找一点P,连接P A,设P A O=,则电荷A,B在P点产生的电场强度大小都是E=k Qlc o s 2=k Qc o s2l2,Ep=2E c o s2-=2k Qc o s2l2c o s2-=2k Ql2c o s2s i n,P点的合场强是:令k=c o s2s i n=c o s2c o s2s i n2=c o s2c o s21-c o s2 =412c o s212c o s21-c o s2 ,图2因为12c o s2+12c o s2+1-c o s2=1是定值,所以当12c o s2=1-c o s2时,即:c o
3、s=23时EP最大,最大值是4 3k Q9l2.2.2 在电路中的应用例2 如图3所示,已知电源电动势E=6 V,内阻r=1,保护电阻R0=0.5,电压表可视为理想电表,当电阻箱R读数为多少时,电阻箱R消耗的功率PR最大,并求这个最大值.图3122 0 2 3年9月下例题精讲 数理天地 高中版解 电路中的电流为:I=Er+R+R0,电阻箱R上消耗的功率是:P=I2R=Er+R+R0 2R=61+R+0.5 2R=3 61.52+R2+3RR=3 62.2 5R+R+3,因为2.2 5RR=2.2 5是定值,所以当2.2 5R=R时,即R=1.5 时电阻箱R消耗的功率最大,最大值是Pm a x=
4、6W.2.3 在力学碰撞问题中的应用物体相互作用的过程中,常常伴随着能量传递现象,研究相互作用过程中的能量传递规律很有意义,它在生产生活中有着广泛的应用.为了探究这一规律,设想如下模型.例3 如图4所示,在光滑固定水平面上,有若干个质量分别为m1、m2、m3、mk-1、mk 的小球沿直线静止依次排列,现给第1个球初动能Ek1,从而引起各球的依次碰撞.各球间碰撞速度在一条直线上,且假设发生的是弹性碰撞.定义其中第n个球依次经过碰撞后获得的动能Ek n与Ek1之比为第1个球对第n个球的动能传递系数k1n.图4(1)求k1n;(2)若m1=4m0,m3=m0,m0为确定的已知量.求m2为何值时,k1
5、 3值最大.解(1)设第一个小球速度为v1,动能为Ek1,12m1v21+12m2v22=12m1v 21+12m2v 22,根据 弹 性 碰 撞 规 律:m1v1+m2v2=m1v 1+m2v 2,第一个与第二碰完后,第二个小球速度:v 2=2m1m1+m2v1;第二与第三个碰完后第三个小球速度:v 3=2m2m2+m3v 2=22m1m2(m1+m2)(m2+m3)v1;第三个与第四个碰完后第四个小球:v 4=2m3(m3+m4)v 3=23m1m2m3(m1+m2)(m2+m3)(m3+m4)v1;第n个小球碰完后的速度是:v n=2n-1m1m2m3mn-1(m1+m2)(m2+m3)
6、(mn-1+mn)v1.第n个 小球碰完与第 一个小球原 始动能 比值为:k1n=12mnv n212m1v21=4n-1m1m22m23m2n-1mn(m1+m2)2(m2+m3)2(mn-1+mn)2.(2)根据题意:k1 3=42m1m22m3m1+m2 2m2+m3 2=6 4m20m224m0+m2 2m2+m0 2=6 4m20m22m22+4m20+5m0m2 2=6 4m20m22+4m20+5m0m2m2 2=6 4m20m2+4m20m2+5m0 2因为m2与4m20m2的乘积是常数,所以当m2=4m20m2时,即m2=2m0时,k1 3最大.参考文献:1方润根.名校之路一高中物理强基计划备考教程.M杭州:浙江大学出版社,2 0 2 2.2汪四喜.物理竞赛解题方法漫谈.M北京:中国科学技术出版社,2 0 1 4.22 数理天地 高中版例题精讲2 0 2 3年9月下
