1、第 46 卷第 4 期浙江师范大学学报(自然科学版)Vol.46,No.42023 年 11 月 Journal of Zhejiang Normal University(Nat.Sci.)Nov.2023 DOI:10.16218/j.issn.1001-5051.2023.041具有一般非线性项的拟线性 Choquard 方程的基态解杨 宁,沈自飞(浙江师范大学 数学科学学院,浙江 金华 321004)摘 要:研究了一类广义拟线性 Choquard 方程基态解的存在性问题,利用变量替换与变分方法,证明了该方程基态解的存在性定理.所得结果推广并补充了原有结论.关键词:拟线性 Choquar
2、d 方程;变分方法;基态解;Pohoaev 恒等式中图分类号:O175.25 文献标识码:A 文章编号:1001-5051(2023)04-0361-07Ground state solutions for a class of quasilinear Choquard equationswith a generalized nonlinearityYANG Ning,SHEN Zifei(School of Mathematical Sciences,Zhejiang Normal University,Jinhua 321004,China)Abstract:It was discusse
3、d the existence of ground state solutions for a class of generalized quasilinear Cho-quard type equations.By applying the change of variables method and variational arguments,an existence the-orem of the ground state solutions of the equations was established.The obtained results extended and im-pro
4、ved the relavant original conclusions.Key words:quasilinear Choquard equation;variational method;ground state solutions;Pohoaev identity0 引 言近年来,拟线性 Schrdinger 方程成为数学物理工作者关注和研究的重点之一.该方程具有丰富的物理背景,并在解释许多物理问题时发挥着重要的作用,如电磁波在介质中传播时出现的超流体薄膜方程、高功率超短激光的通道模型,以及量子力学理论中出现的物理现象等.本文讨论的问题源于拟线性 Schrdinger 方程it+-V(
5、x)+k(h(2)h(2)+g(x,)=0.(1)式(1)中:函数:RRNC;V(x)为位势函数;k 是实数;h,g 为实函数.特别地,当 k=1,h(s)=s 时,将形如(t,x)=e-iFtu(x)的驻波解(F 为实数)代入方程(1)可得收文日期:2022-11-21;修订日期:2023-03-02基金项目:国家自然科学基金资助项目(1207143)作者简介:杨 宁(1998),男,浙江温州人,硕士研究生.研究方向:非线性泛函分析.通信作者:沈自飞.E-mail:szf -u+W(x)u-(u2)u=g(x,u),x RN.(2)式(2)中:W(x)=V(x)-F 是一个新位势;u 为实函
6、数.目前,已经有许多研究者利用变分原理对方程(2)进行了探究.文献1证明了方程(2)存在正基态解.随后,文献2利用约束极小化方法证明了方程(2)解的存在性.此外,文献3通过变量替换将方程(2)转化为半线性问题,并使用集中紧性原理克服紧性的缺失,最后在 Orlicz 空间框架下,利用临界点理论证明了方程(2)存在正解.当方程(2)带有 Choquard 型非线性项时,即 g(x,u)=(I up)up-2u,可得-u+W(x)u-(u2)u=(I up)up-2u,x RN.(3)式(3)中:I是 Riesz 位势;p 为参数.对于方程(3),文献4利用变分方法分别考虑了当 W(x)具有周期性以
7、及有界性时,方程正解的存在性.与此同时,文献5证明了当 W(x)为有界径向位势时,方程(3)具有极小能量解.随后,文献6将文献5的结果进行推广,证明了在具有广义非线性项的情形下,对应方程基态解的存在性.笔者将对方程(3)中非线性项进行一般化处理,考虑以下带有一般形式的Choquard 项 g(x,v)=(IF(v)f(v)与位势函数 W(x)=a-b1+x2的拟线性方程,即-v+a-b1+x2()v-(v2)v=(IF(v)f(v),x RN,(4)并探究其基态解的存在性.式(4)中:N 3;a (1,+);b 0,12();(0,N);F(t)=t0f(s)ds.为了得到本文的主要结果,非线
8、性项 f C(R,R)还需要满足下列条件:(f1)limt0f(t)t=0;(f2)对任意 tR,存在 p2(N+)N,2(N+)N-2()及常数 C0,使得 f(t)C(1+tp-1);(f3)对任意 tR,存在 2,使得 0 0,使得 uppu.其中,2=2NN-2,p=RNpdx()1p是Lebesgue空间中的范数.记径向空间为H1r(RN)=u H1(RN):u(x)=u(x),RNW(x)u2dx 1,s1,00,有263浙江师范大学学报(自然科学版)第 46 卷RNRNk(x)h(y)x-yN-dxdy C(r,s,N,)krhs.方程(4)所对应的能量泛函 J(v):H1(RN
9、)RN为J(v)=12RN(1+2v2)v2dx+12RNa-b1+x2()v2dx-12RN(IF(v)F(v)dx.值得注意的是,因为拟线性项RNv2v2dx 可能趋于+,导致 J(v)在 H1(RN)上没有良好的定义,所以需利用文献8 中给出的变量替换方法对拟线性项进行适当的处理.如果选取变量替换函数 v=g(u)满足 g(t)=11+2g2(t),t 0,+),g(-t)=-g(t),t (-,0,那么有下面的引理:引理 28 变量替换函数 g 具有以下性质:(g1)lims0g(s)s=1;(g2)对任意 sR,有 g(s)s;(g3)对任意 sR,有 g(s)214s12;(g4)
10、对任意 sR,有g2(s)2sg(s)g(s)g2(s);(g5)存在一个正常数 C,使得g(s)C s,s 1,C s12,s 1;(g6)对任意 sR,有 g(s)g(s)2-12.将 v=g(u)代入能量泛函 J(v),得到等价泛函为(u)=12RNu2dx+12RNa-b1+x2()g2(u)dx-12RN(IF(g(u)F(g(u)dx,而 在 H1(RN)中具有良好定义.由此可知,若 uH1(RN)是 的一个临界点,则 v=g(u)是方程(4)的一个弱解.下面回顾文献9中建立的一种间接性临界点理论.引理 3 设(Z,)为 Banach 空间,考虑 Z 中的一簇 C1类泛函Y(u)=
11、R(u)-T(u),.其中,为 R+中的区间.若 T 是非负的,则当u+时,有 R(u)+或 T(u)+.假设 Z 中存在两点 u1,u2,满足c=infmaxt0,1Y(t)maxY(u1),Y(u2),.其中,=C(0,1,Z):(0)=u1,(1)=u2.对于 a.e.都存在序列unZ,使得:1)un有界;2)Y(un)c;3)在 Z 的对偶空间 Z中,有 Y(un)0.同时,映射|c是非减及左连续的.对于=12,1,根据引理 3 考虑 的 形式,并将其改写为(u)=R(u)-T(u).其中:R(u)=12RNu2+a-b1+x2()u2()dx;363 第 4 期 杨 宁,等:具有一般
12、非线性项的拟线性 Choquard 方程的基态解T(u)=RN12 a-b1+x2()(u2-g2(u)()dx+12RN(IF(g(u)F(g(u)dx.当u+时,有 R(u)+,且 T(u)0.可见(u)满足引理 3 的条件.引理 410 若 uH1r(RN)0是 的临界点,则 u 满足下列 Pohoaev 型恒等式:P(u):=N-22RNu2dx+RNb x2(1+x2)2g2(u)dx+N2RNa-b1+x2()g2(u)dx-(N+)2RN(IF(g(u)F(g(u)dx=0.记 P 为方程(4)所对应的 Pohoaev 型恒等式,不难验证 P=P1.引理 5 若(f1)(f3)成
13、立,则对任意 12,1,有1)存在 eH1r(RN)0,使得(e)max(0),(e),其中,=C(0,1,H1r(RN):(0)=0,(1)=e.证明 1)对于 u H1r(RN)0及任意 12,1,由引理 3 得 (u)12(u)=12RNu2dx+14RNa-b1+x2()u2+g2(u)dx-14RN(IF(g(u)F(g(u)dx.定义截断函数 C0(RN),满足(x)0,1,x 1;(x)=0,x 2.引理 2 中(g4)意味着g(t)t关于 t 0 递减,从而有g(t(x)t(x)1,有 l(s)l()s成立.其中,l(u)=RN(IF(g(u)F(g(u)dx.综合上述条件,利
14、用(g1)可得 (t)t22RN2+a-b1+x2()2()dx-14RN(I F(g(t)F(g(t)dx t22RN2+a-b1+x2()2()dx-12t2l()t.因为 2,所以当 t+时,(t)-.由此可知,存在常数 t00,使得(t0)0.若取 e=t0,则存在 e 满足引理 5 条件,即对任意 12,1,有(e)0,10,对任意u1,有RNu2+a-b1+x2()g2(u)()dx Cu2.同时,结合(f1)和(f3)可知,对任意的 0,存在 C0,使得f(x,u)u+Cup-1 uN+Cup-1.(5)由式(5)及 Sobolev 嵌入定理知,对上述u,有463浙江师范大学学报
15、(自然科学版)第 46 卷 (u)12RN u2+a-b1+x2()g2(u)()dx-12RN(IF(g(u)F(g(u)dx 12RN(u2+(a-b)g2(u)dx-CRN(g(u)2+Cg(u)p)2NN+dx()N+N 12RN(u2+(a-b)g2(u)dx-C2RNu2NN+dx()N+N-CC2RNuNpN+dx()N+N Cu2-Cup.因为p 2(N+)N,2(N+)N-2(),所以当u足够小时,存在C0 0,满足(u)C0(0)=0,即(u)在 0 点处存在严格局部极小值,进一步有 c 0.引理 5 证毕.由引理 3 与引理 5 可知,对 a.e.12,1,存在有界序列u
16、nH1r(RN),使得(un)c,(un)0.通常,满足该性质的序列被称为“PS 序列”.引理 6 若unH1r(RN)是关于 的有界 PS 序列,则对 a.e.12,1,存在 uH1r(RN)0,满足(u)=c和(u)=0.证明 取子列仍记为un.根据un在 H1r(RN)中的有界性可知,存在 uH1r(RN),使得un在Ls(RN)中弱收敛于 u,且un在 RN中几乎处处收敛于 u,其中 2s0,满足RN(un-u)2+a-b1+x2()(g(un)g(un)-g(u)g(u)(un-u)dxCun-u2.(6)进而,结合式(6)、引理 3、Hlder 不等式及(g3)与(g6)可得RN(
17、IF(g(un)f(g(un)g(un)(un-u)dx RN(I(g(un)2+Cg(un)p)(g(un)+Cg(un)p-1)g(un)un-udx CRN un+Cunp22NN+dx()N+2NRN un-u+Cunp-22un-u2NN+dx()N+2N C RNun2NN+dx()N+2N+CRNunpNN+dx()N+2N()RNun-u2NN+dx()N+2N+CRNun(p-2)NN+un-u2NN+dx()N+2N()CCRNunpNN+dx()(N+)(p-2)2NpRNun-upNN+dx()N+pN+on(1)0,其中,p 的范围与引理 5 一致.同理可推断出RN(
18、I F(g(u)f(g(u)g(u)(un-u)dx 0.(7)综合式(5)式(7),有0 (un)-(u),un-u RN(un-u)2+a-b1+x2()(f(un)g(un)-g(u)g(u)(un-u)dx-RN(I F(g(un)f(g(un)g(un)-(I F(g(u)f(g(u)g(u)(un-u)dx 563 第 4 期 杨 宁,等:具有一般非线性项的拟线性 Choquard 方程的基态解 Cun-u2+on(1).这就意味着un 在 H1r(RN)中强收敛于 u.因此,u是(u)的一个非平凡临界点且(u)=c.引理6 证毕.2 主要结果证明定理 1 证明 首先,由引理 3
19、可知,对于 a.e.12,1,存在关于 n的有界 PS 序列un,使得un在 H1r(RN)中弱收敛于非平凡临界点 u,且(un)c,(un)0.由引理 6 得,(u)=c,(u)=0.进一步,对于n12,1且 n1,存在 n的一串非平凡临界点列un.其次,验证序列un在 H1r(RN)中的有界性.事实上,由引理 5 可知,n(un)c12,从而有c12 n(un)=n(un)-1N+P n(un)=12(N+)(+2)RNun2dx+RN a-b1+x2()-2b x2(1+x2)2g2(un)dx().(8)利用文献13 中引理 3.7,对式(8)进行部分缩放,得(2+)RNun2dx+R
20、N a-b1+x2()-2b x2(1+x2)2g2(un)dx RNun2dx+(a-b)RNg2(un)dx.(9)结合式(8)和式(9)可知c122(N+)RNun2dx+a-b2(N+)RNg2(un)dx.(10)由(g5)以及 Sobolev 不等式可得 RNu2ndx=un1u2ndx+un 1u2ndx un1u2ndx+un 1u2ndx aa-bRN g2(un)dx+CRNun2dx()22.(11)对比式(10)与式(11)知,存在常数 C1 0,使得RN u2ndx C1.从而存在与 n 无关的常数 C 0,有un2=RNun2+a-b1+x2()un()dx C 成
21、立,即un 在 H1r(RN)中有界.根据引理 3 中|c的左连续性,有limn(un)=limnn(un)+n-12RN(IF(g(un)F(g(un)dx.(12)由un在 H1r(RN)中的有界性可知,g(un)在 Ls(RN)中有界,其中 2s2.因此,limnn-12RN(IF(g(un)F(g(un)dx limn C(n-1)un2=0.(13)式(13)中,C 为正常数.结合式(11)和式(12)可得limn(un)=limn cn=c1.(14)与式(12)证明类似,对任意的 C0(RN),有663浙江师范大学学报(自然科学版)第 46 卷limn(un),=limnn(un
22、),+(n-1)RN(I F(g(un)f(g(un)g(un)dx=0.(15)根据式(14)和式(15)可推断,un 是关于:=1的有界PS 序列.由引理6 可知,存在的一个非平凡临界点 u0,满足(u0)=0,(u0)=c1.最后验证方程(1)基态解的存在性.若定义 m:=inf(u):u 0,(u)=0,则由引理5 可知,的临界值皆为非负,故 m 0.同时由引理 4 得,对 的临界点 u 满足 P(u)=P1(u)=0.假设un 为(u)中的非平凡临界点序列,使得(un)m.由类似引理 6 的讨论可知,存在非平凡的临界点 u H1r(RN),使得(u)=0,(u)=m,这就意味着 v=
23、g(u)是方程(4)的基态解.定理 1 证毕.3 结 语本文利用变量替换法将拟线性问题转化为半线性问题,并使用变分方法证明方程基态解的存在性.由于文中所研究的方程(3)带有性质较好的位势函数,具有一定的特殊性,故在后续的工作中还可以考虑,当位势函数满足其他条件或非线性项具有更弱的假设限制时方程(3)解的存在性.参考文献:1POPPENBERG M,SCHMITT K,WANG Z Q.On the existence of soliton solutions to quasilinear Schrdinger equationsJ.Calc Var Partial Differ Equ,200
24、2,14(3):329-344.2LIU J Q,WANG Z Q.Soliton solutions for quasilinear Schrdinger equations J.Proc Amer Math Soc,2003,131(2):441-448.3LIU J Q,WANG Y Q,WANG Z Q.Solutions for quasilinear Schrdinger equations J.J Differ Equ,2003,187(2):473-493.4CHEN S X,WU X.Existence of positive solutions for a class of
25、 quasilinear Schrdinger equations of Choquard typeJ.J Math Anal Appl,2019,475(2):1754-1777.5CHEN J H,CHENG B T,HUANG X J.Ground state solutions for a class of quasilinear Schrdinger equations with Choquard type nonlinearityJ.Appl Math Lett,2020,102:106141.6ZHANG J,JI C.Ground state solutions for a g
26、eneralized quasilinear Choquard equationJ.Math Methods Appl Sci,2021,44(7):6048-6055.7MOROZ V,SCHAFTINGEN J V.Groundstates of nonlinear Choquard equations:existence,qualitative properties and decay asymptoticsJ.J Funct Anal,2013,265(2):153-184.8COLIN M,JEANJEAN L.Solutions for a quasilinear Schrding
27、er equation:a dual approachJ.Nonlinear Anal,2004,56(2):213-226.9JEANJEAN L.On the existence of bounded Palais-Smale sequences and application to a Landesman-Lazer type problem set on RNJ.Proc R Soc Edinburgh Sect A,1999,129(4):787-809.10WILLEM M.Minimax theoremsM.Boston:Birkhuser,1996:180.11YANG X,T
28、ANG X,GU G.Concentration behavior of ground states for a generalized quasilinear Choquard equationJ.Math Meth Appl Sci,2020,43(6):3569-3585.12FANG X D,SZULKIN A.Multiple solutions for a quasilinear Schrdinger equationJ.J Differ Equ,2013,254(5):2015-2032.13TANG X H,CHEN S T.Singularly perturbed Choquard equations with nonlinearity satisfying Berestycki-Lions assumptionsJ.Adv Nonlinear Anal,2020,9(1):413-437.(责任编辑 陶立方)763 第 4 期 杨 宁,等:具有一般非线性项的拟线性 Choquard 方程的基态解
