1、119961996 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 5 个小题个小题,每小题每小题 3 3 分分,满分满分 1515 分分,把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.).)(1)【答案】ln2【解析】这是1型未定式求极限.方法一：方法一：3323lim()lim(1)x aaxxax axxxaaxaxa,令3atxa,则当x 时,0t,则1303lim(1)lim(1)x aatxtatexa,即33limlim312lim()xxaxaxax axxaeeexa.由题设有38ae,得1ln8ln23
2、a.方法二方法二：2223()2221lim 112limlimlim11lim 1xxaxaxaxaxxaxxxaaxaaaxaexxxeaxaeaaxxx ,由题设有38ae,得1ln8ln23a.(2)【答案】2230 xyz【解析】方法一：方法一：所求平面过原点O与0(6,3,2)M,其法向量06,3,2nOM；平面垂直于已知平面428xyz,它们的法向量也互相垂直：04,1,2nn；由此,00/632446412ijknOMnijk .取223nijk,则所求的平面方程为2230 xyz.方法二方法二：所求平面即为过原点,与两个不共线的向量(一个是从原点到点0(6,3,2)M的向量0
3、6,3,2OM ,另一是平面428xyz的法向量04,1,2n )平行的平面,关注公众号【考研题库】保存更多高清资料2即6320412xyz,即2230 xyz.(3)【答案】12(cossin1)xe cxcx【解析】微分方程22xyyye所对应的齐次微分方程的特征方程为2220rr,解之得1,21ri.故对应齐次微分方程的解为12(cossin)xye CxCx.由于非齐次项,1xe不是特征根,设所给非齐次方程的特解为*()xyxae,代入22xyyye得1a(也不难直接看出*()xyxe),故所求通解为1212(cossin)(cossin1)xxxye CxCxee CxCx.【相关知
4、识点】二阶线性非齐次方程解的结构：设*()yx是二阶线性非齐次方程()()()yP x yQ x yf x的一个特解.()Y x是与之对应的齐次方程()()0yP x yQ x y的通解,则*()()yY xyx是非齐次方程的通解.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x,可用特征方程法求解：即()()0yP x yQ x y中的()P x、()Q x均是常数,方程变为0ypyqy.其特征方程写为20rprq,在复数域内解出两个特征根12,r r；分三种情况：(1)两个不相等的实数根12,r r,则通解为1212;rxr xyC eC e(2)两个相
5、等的实数根12rr,则通解为112;rxyCC x e(3)一对共轭复根1,2ri,则通解为12cossin.xyeCxCx其中12,C C为常数.对于求解二阶线性非齐次方程()()()yP x yQ x yf x的一个特解*()yx,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),xmf xP x e则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()kxmyxx Qx e的特解,其中()mQx是与()mP x相同次数的多项式,而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取 0、1 或 2.如果()()cos()sinxlnf xeP xxP xx,则二阶常系数非齐次线性微分方程关注公众
6、号【考研题库】保存更多高清资料3()()()yp x yq x yf x的特解可设为*(1)(2)()cos()sinkxmmyx eRxxRxx,其中(1)()mRx与(2)()mRx是m次多项式,max,ml n,而k按i(或i)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.(4)【答案】12【分析】先求方向l的方向余弦和,uuuxyz,然后按方向导数的计算公式coscoscosuuuulxyz求出方向导数.【解析】因为l与AB 同向,为求l的方向余弦,将3 1,20,2 12,2,1AB 单位化，即得12,2,1cos,cos,cos3|ABlAB .将函数22ln()uxyz分别
7、对,x y z求偏导数得22(1,0,1)112Auxxyz,2222(1,0,1)0()Auyyxyzyz,2222(1,0,1)12()Auzzxyzyz,所以coscoscosAAAAuuuulxyz1221110()233232 .(5)【答案】2【解析】因为102020100103B,所以矩阵B可逆,故()()2r ABr A.【相关知识点】()min(),()r ABr A r B.若A可逆,则关注公众号【考研题库】保存更多高清资料41()()()()()r ABr Br EBr AABr AB.从而()()r ABr B,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩.二、选择题二、选择题(
8、本题共本题共 5 5 个小题个小题,每小题每小题 3 3 分分,满分满分 1515 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一只有一项符合题目要求项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内.).)(1)【答案】(D)【解析】由于存在函数(,)u x y,使得22()()()xay dxydyduxyxy,由可微与可偏导的关系,知2()uxayxxy,2()uyyxy,分别对,y x求偏导数,得2243()()2()(2)()()ua xyxayxyaxayx yxyxy,232()uyy xxy.由于2uy x 与2ux y 连续,所以
9、22uuy xx y ,即33(2)2()()axayyxyxy2a,故应选(D).(2)【答案】(B)【解析】因为()f x有二阶连续导数,且0()lim10,|xfxx 所以由函数极限的局部保号性可知,在0 x 的空心领域内有()0|fxx,即()0fx,所以()fx为单调递增.又由(0)0f,()fx在0 x 由负变正,由极值的第一充分条件,0 x 是()f x的极小值点,即(0)f是()f x的极小值.应选(B).【相关知识点】极限的局部保号性：设0lim().xxf xA若0A(或0A)0,当关注公众号【考研题库】保存更多高清资料500 xx时,()0f x(或()0f x).(3)
10、【答案】(A)【解析】若正项级数1nna收敛,则21nna也收敛,且当n 时,有tanlim(tan)limnnnnnn.用比较判别法的极限形式,有22tanlim0nnnnana.因为21nna收敛,所以2limtannxnan也收敛,所以原级数绝对收敛,应选(A).【相关知识点】正项级数比较判别法的极限形式：设1nnu和1nnv都是正项级数,且lim,nnnvAu则(1)当0A 时,1nnu和1nnv同时收敛或同时发散；(2)当0A 时,若1nnu收敛,则1nnv收敛；若1nnv发散,则1nnu发散；(3)当A 时,若1nnv收敛,则1nnu收敛；若1nnu发散,则1nnv发散.(4)【答
11、案】(C)【解析】用洛必达法则.由题可知2200()()()xxF xxf t dtt f t dt,对该积分上限函数求导数,得2200()2()()()2()xxF xxf t dtx f xx f xxf t dt,所以0010002()2()()limlimlimxxkkkxxxxf t dtf t dtF xxxx23002()2()limlim(1)(1)(2)kkxxf xfxkxkkx洛洛.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料6因为()F x与kx是同阶无穷小,且(0)0f,所以302()lim(1)(2)kxfxkkx为常数,即3k 时有300()2()limlim(0)0(
12、1)(2)kkxxF xfxfxkkx,故应选(C).【相关知识点】设在同一个极限过程中,(),()xx为无穷小且存在极限()lim()xlx,(1)若0,l 称(),()xx在该极限过程中为同阶无穷小；(2)若1,l 称(),()xx在该极限过程中为等价无穷小,记为()()xx；(3)若0,l 称在该极限过程中()x是()x的高阶无穷小,记为()()xox.若()lim()xx不存在(不为),称(),()xx不可比较.(5)【答案】(D)【解析】可直接展开计算,22221331334400000000ababDa babbaab2222141 4232 3141 43333()()ababa
13、 abba ab ba abbbaba,所以选(D).三、三、(本题共本题共 2 2 小题小题,每小题每小题 5 5 分分,满分满分 1010 分分.).)(1)【解析】由极坐标系下的弧微分公式得2222()()(1 cos)sindsrrdad 2(1 cos)2cos2adad.由于()(1 cos)rra以2为周期,因而的范围是0,2.又由于()()rr,心形线关于极轴对称.由对称性,00024cos8sin822sdsadaa.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料7xyz1xOyOxyOxyDyOz12zyyzD(2)【解析】用单调有界准则.由题设显然有0nx,数列 nx有下界.证明
14、nx单调减：用归纳法.21166 104xxx；设1nnxx,则1166nnnnxxxx.由此,nx单调减.由单调有界准则,limnnx存在.设lim,(0)nnxa a,在恒等式16nnxx两边取极限,即1limlim66nnnnxxaa,解之得3a(2a 舍去).【相关知识点】1.单调有界准则：单调有界数列必有极限.2.收敛数列的保号性推论：如果数列 nx从某项起有0nx(或0nx),且limnnxa,那么0a(或0a).四、四、(本题共本题共 2 2 小题小题,每小题每小题 6 6 分分,满分满分 1212 分分.).)(1)【分析一】见下图所示,S在xOy平面与yOz平面上的投影均易求
15、出,分别为22:1xyDxy；2:11,1yzDyyz,或01,zzyz.图图 1 1求Szdxdy,自然投影到xOy平面上.求(2)Sxz dydz时,若投影到xOy平面上,被积函数较简单且可利用对称性.【分析二】令(,)2,(,)0,(,)P x y zxz Q x y zR x y zz,则SIPdydzRdxdy.这里,2 13PQRxyz,若用高斯公式求曲面积分I,则较简单.因S不是封闭曲关注公众号【考研题库】保存更多高清资料8面,故要添加辅助曲面.【解析】方法一：方法一：均投影到平面xOy上,则22(2)(2)()()xySDzIxz dydzzdxdyxzxydxdyx,其中22
16、zxy,22:1xyDxy.把2zxx代入,得2222242()()xyxyxyDDDIx dxdyx xydxdyxydxdy,由对称性得222()0 xyDx xydxdy,22242()xyxyDDx dxdyxydxdy,所以22()xyDIxydxdy.利用极坐标变换有121340001242Idr drr .方法二：方法二：分别投影到yOz平面与xOy平面.投影到yOz平面时S要分为前半部分21:Sxzy与后半部分22:Sxzy(见图 1),则12(2)(2)SSSIxz dydzxz dydzzdxdy.由题设,对1S法向量与x轴成钝角,而对2S法向量与x轴成锐角.将I化成二重积
17、分得2222222(2)(2)()4().yzyzxyyzxyDDDDDIzyz dydzzyz dydzxydxdyzy dydzxydxdy 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料9221311122221131242200sin2()344(1)cos3343,3 4 2 24yzzyDz yytzy dydzdyzy dzzydyydytdt或21122001.24yzzzDzy dydzdzzy dyzdz(这里2zzzy dy是半径为z的圆面积的一半.)22()2xyDxydxdy(同方法一).因此,4.422I 方法三：方法三：添加辅助面221:1(1)Szxy,法方向朝下,则1
18、1(2)1SSDxz dydzzdxdydxdydxdy ,其中D是1S在平面xy的投影区域：221xy.S与1S即22zxy与1z 围成区域,S与1S的法向量指向内部,所以在上满足高斯公式的条件,所以1(2)3SSxz dydzzdxdydV 1100()3332D zdzdxdyzdz ,其中,()D z是圆域：22xyz,面积为z.因此,133(2)()222SIxz dydzzdxdy .(2)【解析】由多元复合函数求导法则,得zzuzvzzxuxv xuv ,2zzuzvzzayuyv yuv ,关注公众号【考研题库】保存更多高清资料10所以22222222()()zzzzuzvzv
19、zuxxuxvuxu vxvxv ux 222222zzzuu vv,2222222()()zzzzuzvzvzux yyuyvuyu vyvyv uy 222222(2)zzzaauu vv ,222222222222222()()2()()44.zzzayyuyvzuzvzvzuauyu vyvyv uyzzzaauu vv 代入2222260zzzxx yy,并整理得2222222226(105)(6)0zzzzzaaaxx yyu vv .于是,令260aa得3a 或2a .2a 时,1050a,故舍去,3a 时,1050a,因此仅当3a 时化简为20zu v.【相关知识点】多元复合函
20、数求导法则：若(,)uu x y和(,)vv x y在点(,)x y处偏导数存在,函数(,)zf u v在对应点(,)u v具有连续偏导数,则复合函数(,),(,)zf u x y v x y在点(,)x y处的偏导数存在,且,zfufvzfufvxuxv xyuyv y .五、五、(本题满分本题满分 7 7 分分)【解析】先将级数分解,关注公众号【考研题库】保存更多高清资料11212211222131111()(1)2211111111.212122nnnnnnnnnnnnAnnnnnnn令1221311,22nnnnAAnn,则12AAA.由熟知ln(1)x幂级数展开式,即11(1)ln(
21、1)(11)nnnxxxn,得1121111(1)1111()ln(1)ln2242424nnnnnAnn ,12331211(1)1()22(1)11111115()()ln(1)ln2,22222288nnnnnnnnAnnn 因此,1253ln284AAA.六、六、(本题满分本题满分 7 7 分分)【解析】曲线()yf x上点(,()x f x处的切线方程为()()()Yf xfx Xx.令0X 得y轴上的截距()()Yf xfx x.由题意,01()()()xf t dtf xfx xx.为消去积分,两边乘以x,得20()()()xf t dtxf xfx x,(*)将恒等式两边对x求
22、导,得2()()()2()()f xf xxfxxfxx fx,即()()0 xfxfx.在(*)式中令0 x 得00自然成立.故不必再加附加条件.就是说()f x是微分方程0 xyy的通解.下面求解微分方程0 xyy.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料12方法一：100 xyyxyxyC,因为0 x,所以1Cyx,两边积分得12()lnyf xCxC.方法二：令()yP x,则yP,解0 xPP得1CyPx.再积分得12()lnyf xCxC.七、七、(本题满分本题满分 8 8 分分)【解析】由于问题涉及到,f f 与f 的关系,自然应当利用泰勒公式,而且应在点c展开：2()()()()
23、()()2!ff xf cfx xcxc,在c与x之间.分别取0,1x 得20()(0)()()(0)(0)2!fff cfccc,0在c与0之间,21()(1)()()(1)(1)2!fff cfccc,1在c与1之间,两式相减得22101(1)(0)()()(1)()2!fffcfcfc,于是22101()(1)(0)()(1)()2!fcfffcfc.由此221011()(1)(0)()(1)()2!2!fcfffcfc2212(1)222babcca.八、八、(本题满分本题满分 6 6 分分)【解析】(1)因为TAE,T 为数,T为n阶矩阵,所以2()()2()(2)TTTTTTTAE
24、EEE ,因此,2(2)(1)0TTTTTAAEE 因为是非零列向量,所以0T,故210,TAA 即1T.(2)反证法.当1T时,由(1)知2AA,若A可逆,则121AA AA AE.与已知TAEE矛盾,故A是不可逆矩阵.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料13九、九、(本题满分本题满分 8 8 分分)【解析】(1)此二次型对应的矩阵为51315333Ac.因为二次型秩()()2r fr A,由513440400153153163333336Accc 可得3c.再由A的特征多项式513|153(4)(9)333EA 求得二次型矩阵的特征值为0,4,9.(2)因为二次型经正交变换可化为2223
25、49yy,故123(,)1f x x x,即2223491yy.表示椭圆柱面.【相关知识点】主轴定理：对于任一个n元二次型12(,)Tnf x xxx Ax,存在正交变换xQy(Q为n阶正交矩阵),使得2221122()TTTnnx AxyQ AQ yyyy,其中12,n 是实对称矩阵A的n个特征值,Q的n个列向量12,n 是A对应于特征值12,n 的标准正交特征向量.十、填空题十、填空题(本题共本题共 2 2 小题小题,每小题每小题 3 3 分分,满分满分 6 6 分分.).)(1)【答案】37【解析】设事件C“抽取的产品是次品”,事件D“抽取的产品是工厂A生产的”,则事件D表示“抽取的产品
26、是工厂B生产的”,依题意有()0.60,()0.40,(|)0.01,(|)0.02P DP DP C DP C D.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料14应用贝叶斯公式可以求得条件概率(|)P D C：()(|)0.6 0.013(|)0.6 0.01 0.4 0.027()(|)()(|)P D P C DP D CP D P C DP D P C D.【相关知识点】贝叶斯公式：设试验E的样本空间为S.A为E的事件,12,nB BB为S的一个划分,且()0,()0(1,2,)iP AP Bin,则1()(|)(|),1,2,.()(|)iiinjjjP B P A BP BAinP B
27、 P A B(*)(*)式称为贝叶斯公式.(2)【答案】2【解析】由于与相互独立且均服从正态分布21(0,()2N,因此它们的线性函数U服从正态分布,且()0,EUEEE11122DUDDD,所以有(0,1)UN.代入正态分布的概率密度公式,有221()2uf uedu.应用随机变量函数的期望公式有221(|)(|)|2uEE Uuedu220122uuedu由凑微分法,有22201(|)2()22uuEed 22022ue 2.【相关知识点】对于随机变量X与Y均服从正态分布,则X与Y的线性组合亦服从正态分布.若X与Y相互独立,由数学期望和方差的性质,有关注公众号【考研题库】保存更多高清资料1
28、5()()()E aXbYcaE XbE Yc,22()()()D aXbYca D Xb D Y,其中,a b c为常数.十一、十一、(本题满分本题满分 6 6 分分.).)【解析】易见(,)X Y的可能取值为(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3).依题意XY,故0P XY,即1,21,32,30P XYP XYP XY,1,1max(,)1,min(,)1P XYP 11,1119PPP.类似地可以计算出所有ijp的值列于下表中,得到随机变量(,)X Y的联合分布律：XY123119002291903292919(2)将表中各行元素相加求出X的边缘分布123135999X,由离散型随机变量数学期望计算公式可得135221239999EX .【相关知识点】1.离散型随机变量的边缘分布计算公式：二维离散型随机变量(,)X Y关于X与Y的边缘概率分布或边缘分布律分别定义为：关注公众号【考研题库】保存更多高清资料16,1,2,iiijijjjpP XxP Xx Yyp i,1,2,jjijijiipP YyP Xx Yypj它们分别为联合分布律表格中第i行与第j列诸元素之和.2.离散型随机变量数学期望计算公式：1()nkkkE XxP Xx.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料
