1、11999 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题一、填空题(1)【答案】41【详解】由题设可知2sincossin()()xxxxf xxx.由分部积分法，得2222()()()()xfx dxxdf xxf xf x dx22cossinsin22411xxxxxx (2)【答案】4【详解】考虑幂级数11nnnx，由1lim1nnn可知，该幂级数的收敛半径为1，收敛区间为(1,1)，则1(1,1)2x .记11()nnS xnx，两边从0到x积分，得11000111()(),(1,1)1xxxnnnnnnxS x dxnxdxnxdx
2、xxx 所以21()(),(1,1)1(1)xS xxxx 所以121111()()4122(1)2nnSn(3)【答案】O【详解】101020101A，根据矩阵的乘法，以及数与矩阵相乘，矩阵的每一个元素都要乘以该数，有21011012021010200200402 0202101101202101AA故有1222(2)nnnAAAAAO关注公众号【考研题库】保存更多高清资料2或由22AA，式子左右两端同右乘2nA，得2222nnAAA A，即12nnAA，得12nnAAO或由22AA，式子左右两端同右乘A，得2322(2)22(2)2AAAA AAAA，式子左右两端再同乘A，得342323(
3、2)22 22AAAAAAAA，依次类推，得1212,2,nnnnAA AA所以11211222 222nnnnnnAAAAAAO(4)【答案】16【概念和性质】(1)独立正态随机变量的性质：服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍服从正态分布；(2)期望的性质：()E aXbYaEXbEY，Ecc(其中,a b c为常数)；(3)方差的性质:2()()D cXc D X；若XY和独立，则()D XYDXDY(4)正态分布标准化：若2(,)ZN u，则(0,1)ZuN【详解】由题知：212,(,0.2)nXXXN a，11nniiXXn，且12,nXXX相互独立，故211(,)nniiXXNn，
4、其中nEX，2nDX所以1111nnniiiinaEXEXEXannn2222221111110.20.2nnnniiiiiinDXDXDXDXnnnnn所以2110.2(,)nniiXXN ann，标准化得(0,1)0.2/nXaUNn则只需将0.10.95nP Xa中大括号里的不等式两端同除以标准差，即有：0.10.950.9520.2/0.2/nXanPP Unn因(0,1)0.2/nXaUNn，查标准正态分布表知1.960.95P U 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料3所以1.962n，解得15.3664n.因n为整数，所以n最小为16.(5)【答案】0EY【概念和性质】(1)E
5、 XYEXEY；(2)若X和Y独立，则有EXYEXEY【详解】由行列式的定义知，行列式是由2n个元素ijX的乘积组成的!n项和式，每一项都是n个元素的乘积1212njjnjXXX，这n个元素取自行列式中不同行和不同列，在这全部!n项中每项都带有正号或负号.由于随机变量,1,2,;2ijXi jn n独立，所以有12121212()nnjjnjjjnjE XXXEXEXEX所以前面无论取正号或者负号，对和式的期望等于各项期望之和.即有111212122212nnnnnnEXEXEXEXEXEXEYEXEXEX而,1,2,;2ijXi jn n同分布，且2ijEX 所以11121212221222
6、22220222nnnnnnEXEXEXEXEXEXEYEXEXEX(行列式的性质：若行列式两行(列)成比例，则行列式为0).二、选择题二、选择题(1)【答案】(A)【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.()f x的原函数()F x可以表示为0()(),xF xf t dtC于是00()()().utxxFxf t dtCfu duC当()f x为奇函数时，()()fuf u，从而有00()()()()xxFxf u duCf t dtCF x即F(x)为偶函数.故(A)为正确选项.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料4(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：2()f xx是
7、偶函数，但其原函数31()13F xx不是奇函数，可排除(B)；2()cosf xx是周期函数，但其原函数11()sin224F xxx不是周期函数，可排除(C)；()f xx在区间(,)内是单调增函数，但其原函数21()2F xx在区间(,)内非单调增函数，可排除(D).(2)【答案】(C)【详解】因为(,)Df u v dudv为一确定的数，不妨设(,)Df u v dudva，则(,)f x yxya，所以2100(,)()()xDDaf x y dxdyxya dxdydxxya dy51201()2123xaaxdx，解之得18a，所以1(,)8f x yxy，故应选(C).(3)【
8、答案】(B)【详解】方法方法 1：可由向量组12,m 线性表示，即存在常数12,mk kk使得1122mmkkk(*)不能由121,m 线性表出，从而知0mk（若0mk，则1 12211mmkkk，这和不能由121,m 线性表出矛盾.）(*)可变为112211mmmmkkkk，上式两端同除mk1122111()mmmmkkkkm能由(II)线性表示，排除(A)(D).m不能由121,m 线性表示，若能，即存在常数121,m 使得关注公众号【考研题库】保存更多高清资料5112211mmm，代入(*)得1122112211()mmmkkk 111222111()()()mmmmmmkkkkkk这和
9、不能由121,m 线性表出矛盾，排除(C).故应选(B).方法方法 2：若取12310010,1,0,10011 ，则123，即可由123,线性表出.假设存在常数12,k k，满足1122kk因为1212(,)2(,)3rr ，即方程组1122kk的系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，故方程组无解，即不存在常数12,k k，满足1122kk，不能由12,线性表出，是满足题设条件的一个特例，此时，3不能由(I)12,线性表示，若存在常数12,l l，满足31122ll因为12123(,)2(,)3rr ，即方程组31122ll的系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，故方程组无解，不存在常数12,l l，满
10、足31122ll，故3不能由(I)12,线性表示，但因为312，即3可由(II)12,线性表示，故应选(B).(4)【答案】(D)【详解】方法方法 1：A相似于B，根据矩阵相似的定义，则存在可逆阵P，使得1P APB，则111()PtEA PP tEPP APtEB根据矩阵相似的定义，则tEA相似于tEB，应选(D).方法方法 2：排除法(A)不成立.若EAEB，则AB，而已知只是相似.(B)不成立.A与B相似，根据矩阵相似的定义，即存在可逆阵，使得1P APB，从而有关注公众号【考研题库】保存更多高清资料6EB1EP AP(把1P APB代入)11P PP AP(1P PE)11()PE P
11、P AP1()PEA P1PEA P(矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积)EA(矩阵逆的行列式等于行列式的逆，故11PP)从而，,A B有相同特征多项式，故有相同的特征值.若A，在1P APB的 两 边 同 时 左 乘P，右 乘1P，得111PP APPPBPA，故1PBPA，在上式两边左乘1P，得11()()B PP，根据特征值和特征向量的定义，B的属于特征值的特征向量是1P，而A的属于特征值的特征向量，它们并不相同.(C)不成立.,A B相似时，也可能它们本身都不相似于对角阵.例如0 10 0A ，0 01 0B ，因存在可逆阵0 11 0P ，使得100 10 10 00 01 01 0P
12、 AP ，则根据矩阵相似的定义，知AB，但,A B都不相似于对角阵.若A能相似于对角阵，即A可相似对角化.先求特征值，特征多项式为210EA，令0EA得A的两个特征值 0.若A相似于对角阵，则存在可逆矩阵P，使得100P AP，上式两端同时左乘P，右乘1P，得111000000PP APPAPP，与关注公众号【考研题库】保存更多高清资料70 10 0A 矛盾，故A不可相似对角化.若B能相似于对角阵，即B可相似对角化.先求特征值，特征多项式为201EB，令0EB得B的两个特征值 0.若B相似于对角阵，则存在可逆矩阵P，使得100P BP，上式两端同时左乘P，右乘1P，得111000000PP B
13、PPBPP，与01 0B 矛盾，故B不可相似对角化.(5)【答案】(A)【详解】给定1X和2X的概率分布，求1X和2X的联合分布，所给条件为1201P X X，这就需要从这个条件入手.由于事件120X X 包括事件：12121212120,1,0,0,0,1,1,0,1,0XXXXXXXXXX所以从正面研究其概率是研究不清的，在这种情况下，往往需要通过其对立事件来研究.根据 1P AP A，有12120101 10P X XP X X 所以有121212121201,11,11,11,10P X XP XXP XXP XXP XX 而根据概率的非负性有：121212121,11,11,11,1
14、0P XXP XXP XXP XX而121212121,10,01,1P XXP XXP XXP XX 121200,000,0P XXP XX又根据边缘概率的定义：,1,2,iiijijjjpP XxP Xx Yyp i关注公众号【考研题库】保存更多高清资料8,1,2,jjijijiipP YyP Xx Yypj(通俗点说就是在求关于X的边缘分布时，就把对应x的所有y都加起来，同理求关于Y的边缘分布时，就把对应y的所有x都加起来)由112121211,11,01,1P XP XXP XXP XX 故12112121,011,11,1P XXP XP XXP XX 110044同理可得1212
15、121210,10,11,01,04P XXP XXP XXP XX又112121200,10,00,1P XP XXP XXP XX 12121110,00,0442P XXP XX而由已知1102P X，所以得120,00P XX故121212121,10,01,1P XXP XXP XXP XX 121200,000,00P XXP XX三三【详解】曲线1yx在曲线上点1(,)aa处的切线的斜率为3311|22x ax ayxa，由直线的点斜式方程得切线方程311()2yxaaa，分别令0,0 xy得到与y轴，x轴的交点分别为3(0,)2Ra与(3,0)Qa.于是切线与x轴和y轴围成一个
16、直角三角形，由三角形的面积公式得1393242Saaa.当切点按x轴正项趋于无穷大时，这时，a ，所以limaS 当切点按y轴正项趋于无穷大时，这时，0a，所以lim0aS四四【详解】关注公众号【考研题库】保存更多高清资料9解法解法1：区域D和1D如图所示，有1112DD DDydxdyydxdyydxdyII显然1021204D DIydxdydxydy在极坐标系下，有1(,)|02sin,2Drr 因此12sin220sinDIydxdydrrdr422881 cos4sin1 2cos233 422dd 于是1242DydxdyII解法解法2：如图所示，2(,)|22,02Dx yxyy
17、y 222222020022y yDydxdyydydxydyyyy dy22041(1)yydy令1sinyt，有cosdytdt，则2201(1)yydy222(1 sin)costtdt222222coscossintdtttdt201 cos22022tdt五五【详解】设两种要素的总投入费用为P，则由题意得1 122Pp xp x，题目问产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小，即是求函数1 122Pp xp x在约束条件12212Qx x下的条件最值.按格朗日数乘法，作函数121 12212(,)(212)F x xp xp xx x，为求驻点求偏导并令其为零，即OxD
18、D1y2关注公众号【考研题库】保存更多高清资料1011121121221220202120FpxxxFpx xxFx x由前两式可得1221pxpx，解出2x代入第三个式子，得2116()pxp1226()pxp，因为驻点唯一，且实际问题在10 x，20 x 的范围内存在最小值，故2116()pxp，1226()pxp时P为最小.六【公式】形如()()yp x yq x，方程的通解为()()()p x dxp x dxyeq x edxC【详解】由于所求函数 yy x在,1和1,都满足所给微分方程，故在两个区间上分别求微分方程，即22,120,1yyxyyx，解得221222(2),1(0),
19、1dxdxdxdxyeedxCxyeedxCx，其中12,C C为常数.化简得21221,1,1xxyC exyC ex 由题设 00y，其中01x，可知21100110 xxxyC eC ，解得11C 所以有2221,1,1xxyexyC ex 又因为 yy x在,内连续，所以11limlim(1)xxyyy 即22211lim(1)lim(1)xxxxeC ey 解之得2221,(1)1Ceye 故所求连续函数为 2221,1(1),1xxexyy xeex 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料11七七【详解】2fxt中的变量是2xt，故设法把x“转移”到f外，令2uxt，则2txu，所
20、以dtdu 代入2012arctan2xtfxt dtx得 2022(2)(2)xxxxxtfxt dtxu f u duxu f u du 22212arctan2xxxxxf u duuf u dux方法方法 1：将等式 22212arctan2xxxxxf u duuf u dux两边对x求导得 2422 2(2)()22)2()1xxxf u duxfxf xxfxxf xx（化简得242()()1xxxf u duxf xx令1x 得，2112()(1)1 1f u duf，化简得 22111 11 13()(1)(1)2 22 24f u duf x dxf方法方法 2：引入()f
21、 x的一个原函数()F x，则()()F xf x于是 22222 (2)()()xxxxxxxf u duuf u dux FxF xudF u222 (2)()()()xxxxx FxF xuF uF u du2()()xxxF xF u du 所以221()()arctan2xxxF xF u dux，两边对x求导，得4()()2(2)()1xF xxf xFxF xx即41(2)()()2 1xFxF xxf xx即241()(2)()()2 1xxxf u duFxF xxf xx令1x 得，22111 11 13()(1)(1)2 22 24f u duf x dxf八八【详解】(
22、1)构造函数()()F xf xx，则 F x在区间0,1上连续，在(0,1)内可导，且11111()()10,(1)(1)10 11022222FfFf ，所以由介值定理得，存在一点1,12，使得()(0Ff）即存在一点1,12，使得(f），原命题得证.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料12(2)令 10fxf xx，解微分方程得()xf xxCe，即()xef xxC令()()xF xef xx因为0(0)(0)0)0,()()0FefFef，所以，在(0,)上由罗尔定理知，必然存在点(0,)，使得()0F即()()()1)Fefef()()1)0eff即 1ff九九【详解】(1)因为
23、2244200111tan(1tan)tansecnnnnaaxx dxxxdxnnntan1400111tantan(1)x tnnxdxt dtnnn n又由部分和数列211111111()1,(1)11nnnniiiiiSaaii iiin 有lim1,nnS因此2111.nnnaan(2)先估计na的值，因为40tannnaxdx，令tantx，则2secdtxdx，即21dtdxt所以112001,11nnntat dttn所以111,(1)nannnn关注公众号【考研题库】保存更多高清资料13由于10，所以111nn收敛，从而1nnan也收敛.十十【详解】方法方法 1：()TTTB
24、EA A()TTTEA A()TTTEAATEA AB，根据实对称矩阵的定义，故B是实对称阵.对任意的非零向量x，()TTTx AAx，有()TTxEA A x()()TTTxE xxA A xTTTx xx A Ax()TTx xAxAx因0 x，故有0Tx x.(设12,0Tnxa aa，则,1,2,ia in中至少一个不为零，则2,1,2,iain中至少一个大于零，故210nTiix xa)()0TAxAx(设12,TnAxb bb，21()0nTiiAxAxb，因为Ax有可能为零，即有可能0,1,2,ibin，故这里可能取等号.)故当0时，0Tx x.对任意的0 x，均有()()0TT
25、TTTx BxxEA A xx xAxAx由正定矩阵的定义，得证：B是正定矩阵.方法方法 2：B正定 B的全部特征值大于零设B有特征值，对应的特征向量为，由特征值和特征向量的定义，B，将TBEA A代入，得()TEA A，其中0上式两边左乘T，得()TTEA ATTTA A()()TTAA T 变形得()()()TTAA 因0，设12,0Tnc cc，则,1,2,ic in中至少一个不为零，则2,1,2,icin中至少一个大于零，故210nTiic 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料14()()0TAA(设12,TnAd dd，21()0nTiiAAd，因为A有可能为零，即有可能0,1,2
26、,idin，故这里可能取等号.)故()()0TTAA 所以，当0时，有0，故知B的特征值全部大于零，B是正定矩阵.十一十一【定义】(1)相关系数cov(,)(,)X YX YDXDY);(2)协方差cov(,)U VE UVEUEV;(3)离散型随机变量期望iiiEXx p;(4)方差的定义：22DUEUEU【详解】(1)由题知UV和均服从0 1分布，0P UP XY，1P UP XY，02P VP XY，12P VP XY二维随机变量,X Y 在矩形,02,01Gx yxy 上服从均匀分布(根据二维均匀分布的性质，各部分所占的概率是其面积与总面积之比)所以，如图所示：111 1121 24D
27、SP XYS 总311 21221 22DSP XYS 总1112121424P YXYP XYP XY ,U V有四个可能值：0,0,0,1,1,0,1,110,0,24P UVP XY XYP XY 0,1,20P UVP XY XYP 11,0,224P UVP XY XYP YXY1xyOxy2yxyxy212xy2xy1D2D3D关注公众号【考研题库】保存更多高清资料1511,1,222P UVP XY XYP XY(2)由根据边缘概率的定义：,1,2,iiijijjjpP XxP Xx Yyp i,1,2,jjijijiipP YyP Xx Yypj有1100,00,1044P U
28、P UVP UV11311,01,1424P UP UVP UV11100,01,0442P VP UVP UV1110,11,1022P VP UVP UV而00,00,11,0P UVP UVP UVP UV1110442111,12P UVP UV即所以11101222EUV ，13301444EU ，11101222EV 所以1311cov(,)2428U VE UVEUEV又213301444EU ，211101222EV 所以2223334416DUEUEU，222111224DVEVEVV01p1212UV01p1212U01p14342U01p14342V01p1212关注公众
29、号【考研题库】保存更多高清资料16故1cov(,)38(,)33142U Vr U VDUDV十二【十二【概念和性质】(1)E aXbYaEXbEY；(2)2()()D cXc D X；(3)若XY和独立，则()D XYDXDY；(4)t分布的定义：若(0,1)XN，2()Yn，,X Y独立，则()XTt nYn(5)正态分布标准化的定义：若2(,)ZN u，则(0,1)ZuN【详解】由于19,XX是来自总体X的简单随机样本，故19,XX独立.设2(,)XN u，则219,(,)XXN u，又因为服从正态分布的独立随机变量其线性组合也服从正态分布，则211261(,)66YXXXN u其中11
30、26126116()666uuE YEXXXEXEXEXu 2112612611()636D YDXXXD XXX 261113666iiDXDX故21(,)6YN u同理，因为278913YXXX，所以22(,)3YN u又由于12,Y Y独立，且都服从正态分布，故12YY也服从正态分布，其期望方差分别为：1212()0E YYEYEYuu，2221212()632D YYDYDY得212(0,)2YYN关注公众号【考研题库】保存更多高清资料17将12YY标准化得120(0,1)2YYUN由正态总体样本方差的性质：222(1)(1)nSn，推得22222(2)S因2S与2Y独立(由于样本方差与样本均值独立)而21YS与独立，故1202YYU与222S独立.所以由t分布的定义有：1222202(2)222YYUtS化简上式12122202()222YYYYSS即122()(2)YYZtS关注公众号【考研题库】保存更多高清资料
