1、 1 2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、选择题一、选择题:18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.指定位置上.(1)曲线221xxyx渐近线的条数为 ()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【答案】C【考点】函数图形的渐近线【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）当曲线上一点 M 沿曲线无限远离原点时，如果 M 到一条直线
2、的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。（ii）渐近线分为水平渐近线（lim()xf xb，b为常数）、垂直渐近线（0lim()xxf x）和斜渐近线（lim()()0 xf xaxb，,a b为常数）。（iii）注意：如果（1）()limxf xx不存在；（2）()limxf xax，但lim()xf xax不存在，可断定()f x不存在斜渐近线。在本题中，函数221xxyx的间断点只有1x .由于1limxy，故1x 是垂直渐近线.（而11(1)1limlim(1)(1)2xxx xyxx，故1x 不是渐近线）.又211limlim111xxxyx，故1y 是水平渐近线.（无
3、斜渐近线）综上可知，渐近线的条数是 2.故选 C.2 (2)设函数2()(1)(2)()xxnxf xeeen,其中n为正整数,则(0)f ()(A)1(1)(1)!nn (B)(1)(1)!nn (C)1(1)!nn (D)(1)!nn【答案】A【考点】导数的概念【难易度】【详解一】本题涉及到的主要知识点：00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx.在本题中，按定义 200()(0)(1)(2)()(0)limlim0 xxnxxxf xfeeenfxx 1(1)(2)(1)(1)(1)!nnn .故选 A.【详解二】本题涉及到的主要知识点：()()()()()()()f
4、xu x v xu x v xu x v x.在本题中，用乘积求导公式.含因子1xe 项在0 x 为 0，故只留下一项.于是 20(0)(2)()xxnxxfe een1(1)(2)(1)(1)(1)!nnn 故选（A）.(3)如果函数(,)f x y在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ()(A)若极限00(,)limxyf x yxy存在,则(,)f x y在(0,0)处可微 (B)若极限2200(,)limxyf x yxy存在,则(,)f x y在(0,0)处可微(C)若(,)f x y在(0,0)处可微,则极限00(,)limxyf x yxy存在 大型考试资源分享网站百度搜索：
5、华宇课件网 http:/www.china-更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 3(D)若(,)f x y在(0,0)处可微,则 极限2200(,)limxyf x yxy存在【答案】B【考点】全微分存在的必要条件和充分条件【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：全微分存在的充分条件 如果函数(,)zf x y的偏导数zx、zy在点(,)x y连续，则函数在该点可微分.在本题中，若2200(,)limxyf x yxy记()A，则00lim(,)0 xyf x y 又(,)f x y在(0,0)连续(0,0)0
6、f.于是 22220000(,)(,)(0,0)limlimxxyyf x yf x yfAxyxy 由极限与无穷小的关系220(,)(0,0)(1)0 xf x yfAoyxy，其中(1)o为无穷小.2222(,)(0,0)()()(1)f x yfA xyxy o 00()(0)xyo ，其中220 xy.因此(,)f x y在(0,0)可微.故选（B）.（A）不正确，如(,)f x yxy满足条件，但(,)f x y在(0,0)不存在偏导数，故不可微.（C）不正确，如(,)f x yx在(0,0)可微，但00limxyxxy不存在.（D）也不正确，如(,)f x yx在(0,0)可微，但
7、2200limxyxxy不存在.(4)设20sin(1,2,3)kxKexdx kI，则有()4(A)123III (B)321III (C)231III (D)213III【答案】D【考点】定积分的基本性质【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：设acb，则()()()bcbaacf x dxf x dxf x dx.在本题中，210sinxIexdx，2220sinxIexdx，2330sinxIexdx 222121sin0 xIIexdxII，2332322sin0 xIIexdxII，222323312sinsinsinxxxIIexdxexdxexdx 2233()22sin()
8、sintxetdtexdx223()312sin0 xxeexdxII 因此213III.故选 D.(5)设1100C,2201C,3311C ,4411C,其中1234,C C C C为任意常数，则下列向量组线性相关的为()(A)123,(B)124,(C)134,(D)234,【答案】C【考点】向量组的线性相关与线性无关【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：n个n维向量相关12,0n 在本题中，显然 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china-更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：58262221
9、4 5 134123011,0110ccc ，所以134,必线性相关.故选 C.(6)设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且1100010002p AP.若 P=（123,），1223(,)Q ，则1Q AQ()(A)100020001 (B)100010002 (C)200010002 (D)200020001 【答案】B【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：设A是一个m n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.在本题中，由于P经列变换为Q，有 12
10、100110(1)001QPPE，那么111112121212(1)(1)(1)()(1)Q AQPEA PEEP AP E 100110011101110100120012 故选 B.(7)设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则 6 P XY()(A)15 (B)13 (C)32 (D)45【答案】A【考点】常见随机变量的分布【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：若随机变量X的概率密度为,0,()0,0,xexf xx 则称X服从参数为(0)的指数分布.在本题中，依题设知X，Y的概率密度分别为,0,()0,0,xXexfxx 44,0,()0,0,yYeyf
11、yy 又X与Y相互独立，从而X与Y的联合概率密度为(4)4,0,0,(,)()()0,xyXYexyf x yfxfy其他 于是(4)(4)01(,)445xyxyxDx yP XYf x y dxdyedxdydxedy 故选 A.(8)将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ()(A)1 (B)12 (C)12 (D)1【答案】D【考点】相关系数的性质【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：若XaYb，则当0a 时，1XY；当0a 时，1XY.在本题中，设其中一段木棒长度为X，另一段木棒长度为Y，显然1XY，即1XY，Y与X之间有明显的线性关系，从而1XY.故选 D.大
12、型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china-更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 7 二、填空题：二、填空题：914 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 24 分.请将答案写在答题纸分.请将答案写在答题纸指定位置上.指定位置上.(9)若函数()f x满足方程()()2()0fxfxf x及()()2xfxf xe，则()f x 【答案】xe【考点】二阶常系数齐次线性微分方程【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：二阶常系数齐次线性微分方程0ypyqy的特征方程20rprq有两个
13、不同的实根，微分方程的通解形式为1212r xr xyCeC e.在本题中，因()f x满足()()2()0fxfxf x ()()2xfxf xe 由、，得()3()2xfxf xe，两边乘以3xe得32()2xxef xe 积分得32()xxef xeC，即3()xxf xeCe 代入式得3392xxxxxeCeeCee0C，于是()xf xe 代入式自然成立.因此求得()xf xe.(10)2202dxxxx=【答案】2【考点】定积分的换元积分法【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：第一类换元法 ()()()baftt dtfx dx 8 在本题中，2212220012d1(1)d1
14、(1)1xxxx=xxxtxtt dt 11221111022tt dtt dt，其中1211 t dt是半单位圆的面积.(11)(2,1,1)()|zgrad xy+y 【答案】1,1,1【考点】梯度【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：(,)(,)fffgradf x y zxyz 在本题中，记zuxyy，则 uyx，2uzxyy，1uzy(2,1,1)(2,1,1)|(,)|(1,1,1)fffgraduxyz 因此(2,1,1)()|(1,1,1)zgrad xy+y(12)设,1,0,0,0 x y z xyzxyz，则2y ds 【答案】312【考点】曲面积分的计算【难易度】【
15、详解】本题涉及到的主要知识点：大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china-更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 9 曲面积分公式：22(,),(,)1xyxyDf x y z dsf x y z x yzz dxdy 在本题中，投影到xy平面上.在xy平面上的投影区域为(,)01,01xyDx yxyx 由的方程1zxy 1zx，1zy 现将曲面积分化为二重积分，然后求出积分值.11222222001()()33xyxyxDDzzy dsydxdyy dxdydxy dyxy 1134
16、0033 13(1)(1)33412x dxx (13)设为 3 维单位列向量，E 为 3 阶单位矩阵，则矩阵TE的秩为 【答案】2【考点】矩阵的特征值的性质；实对称矩阵的相似对角矩阵【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）若()1r A，则11nnniiiEAa；（ii）实对称矩阵必可对角化.在本题中，设123aaa，则有2221231Taaa，又 21112132212321223233 1323(,)Taaa aa aAaa a aa aaa aaa aa aa，易见秩()1r A.那么3222232123()EAaaa，所以矩阵A的特征值为 1，0，0，从而EA的特征值为 0，
17、1，1.10 又因EA为对称矩阵，从而011EA，故()2Tr E.(14)设A,B,C是随机事件，A 与 C 互不相容，11,23p ABP Cp ABC 【答案】34【考点】条件概率【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：条件概率公式()()()0)()P ABP B AP AP A 在本题中，由于A与C互不相容，所以AC，ABC，从而()0P ABC.于是 1()()()()32()11()1()4()13P ABCP ABP ABCP ABP AB CP CP CP C.三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在
18、答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)证明：21lncos1(11)12xxxxxx 【考点】函数单调性的判别【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：函数单调性的判定法 设函数()yf x在,a b上连续，在(,)a b内可导.如果在(,)a b内()0fx，那么函数()yf x在,a b上单调增加；如果在(,)a b内()0fx，那么函数()yf x在,a b上单调减少.证明：令 21lncos1(11)12xxf xxxxx ，则转化为证明()0f x（(1,1)x）大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网
19、http:/www.china-更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 11 因()()f xfx，即 f x为偶函数，故只需考察0 x 的情形.用单调性方法.111111lnsinlnsin111111xxfxxxxxxxxxxxx，221111()cos111(1)(1)fxxxxxx，22331122()sin0(0,1)(1)(1)(1)(1)fxxxxxxx，其中22110(1)(1)xx，331120(1)(1)xx，sin0(0,1)xx 因(0,1)x时(3)()0fx，又()fx在0,1)连续()f
20、x在0,1)，()(0)20fxf（(0,1x），同理()fx在0,1)，()(0)0(0,1)fxfx()f x在0,1)，()(0)0(0,1)f xfx.又因()f x为偶函数()0(1,1),0)f xxx，(0)0f.即原不等式成立.(16)求函数222(,)xyf x yxe的极值.【考点】多元函数的极值【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：二元函数取得极值的充分条件：设(,)zf x y在点00(,)xy的某邻域有连续的二阶偏导数，又00(,)0 xfxy，00(,)0yfxy，令00(,)xxfxyA，00(,)xyfxyB，00(,)yyfxyC，则（1）当20A C B
21、时，(,)f x y在00(,)xy取极值，且当0A时取极小值，0A时取极大值；（2）当20ACB时，00(,)xy不是(,)f x y的极值点；（3）当20ACB时，仅此不足以判断00(,)xy是否是(,)f x y的极值点，还需另作讨论.在本题中，先求函数的驻点.12 2222222222222,10,0 xyxyxyxyf x yexexexxf x yxeyy 解得驻点为(1,0)，(1,0)又 22222222222222222222,21,1,1xyxyxyxyf x yAxeexxxf x yBexyx yf x yCxeyy 根据判断极值的第二充分条件，代入（1，0），得122
22、Ae，0B，12Ce，从而20ACB，0A，所以(,)f x y在（1，0）取得极大值，极大值为12e；代入（-1，0），得122Ae，0B，12Ce，从而20ACB，0A，所以(,)f x y在（-1，0）取得极小值，极小值为12e.(17)求幂级数22044321nnnnxn的收敛域及和函数.【考点】幂级数的收敛域、和函数【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）求幂级数0nnna x收敛域的步骤：（1）求收敛半径：设1limnnnala，则1/,0,0,0llRll （2）讨论端点的敛散性：如果0R，则需进一步讨论0nnna x在xR 处的敛散性；大型考试资源分享网站百度搜索：华宇
23、课件网 http:/www.china-更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 13（3）写出幂级数的收敛域.（ii）和函数的性质：（1）和函数()S x在(,)R R内可导，并且有逐项求导公式：100()()nnnnnnS xa xna x；（2）在幂级数的收敛域上逐项积分公式成立，即 10000()1xxnnnnnnaS t dta t dtxn.本题中，直接用求收敛半径的公式，先求 2124(1)4(1)3212(1)1limlimlim4432(1)121nnnnnnnannlnnann 2222221111
24、324(1)4()4(1)4(1)3lim134344324nnnnnnnnnnnnn 于是收敛半径1R 当1x 时，原级数=2044321nnnn，第 n 项的极限即2443lim021nnnn，所以当1x 时，原级数发散；同理可证，1x 时，原级数也是发散的.因此，原级数的收敛域为(1,1).和函数22222000044322()(21)(21)212121nnnnnnnnnnS xxnxnxxnnn(1)x 令210()(21)nnS xnx，2202()21nnSxxn，因为221120000()(21)1xxnnnnxS t dtnt dtxx(1)x，所以212221()()1(1
25、)xxS xxx(1)x.因为21202()21nnxSxxn，所以2222002()221nnnnxSxxxx(1)x 所以2220002111()()()ln1111xxxxxSxtS tdtdtdttttx(1)x 14 当0 x 时，211()ln1xSxxx；当0 x 时，1(0)1S，2(0)2S.所以212223,0,()()()111ln,1,0(1)1xS xS xSxxxxxxxx(18)已知曲线(),:(0),cos2xf tLtyt 其中函数()f t具有连续导数，且(0)0f，()0f t(0)2t.若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为 1，求函数()f t的表
26、达式，并求以曲线L及x轴和y轴为边界的区域的面积.【考点】导数的几何意义、定积分的应用【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）曲线()yf x在点00(,)M xy处的切线方程为000()()yyfxxx.（ii）由曲线()yf x()0)f x 及直线xa，()xb ab与x轴所围成的曲边梯形的面积A是定积分()baAf x dx.（）求()f t.当02t 时，曲线L在切点(),cos)A f tt处的切线斜率为/sin/()dydy dttdxdx dtf t，切线方程为sincos()()tytxf tf t 令0y 得切线与x轴的交点B的x坐标为cos()()sintf tx
27、f tt 于是B点坐标为cos()(),0)sintf tf tt，切点A的坐标为(),cos)f tt 依题设，A与B的距离为2222()coscos1sinftttt，化简得2sin()costf tt，积分得22200sinsin1 1()(0)sincos1 sinttxxf tfdxdxxx 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china-更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 15 0111sin()sin21 sin1 sinttdxxx 2211 sin1(1 sin)sin
28、lnsinln21 sin2costttttt sinln sectanttt （）求无界区域的面积S 曲线(),:(0)cos2xf tLtyt 可表为()(0)yg xx，当02t时x 当()xf t时()cosg xt，于是 200()()cos()Sg x dxxf ttdf t 22222000sincos()cossincos4tt f t dttdttdtt (19)已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周22+2xyx到点(2,0)，再沿圆周22+4xy 到点(0,2)的曲线段，计算曲线积分233d(2)dLJx y xxxyy【考点】格林公式【难易度】【详解】本题涉及到的主要知
29、识点：格林公式：()LDQPdxdyPdxQdyxy 在本题中，记LJPdxQdy 1）22(31)31QPxxxy；2）曲线L不封闭，添加辅助线1:L沿y轴由点(0,2)B到点(0,0)O.10220(0,)224LLPdxQdyQy dyydyydy；3）在1L与L围成的区域D上用格林公式（边界取正向，即逆时针方向）：1()1L LDDQPPdxQdyddxy221121422，因此42LJPdxQdy 16(20)设10010101,00100010aaAaa（I）计算行列式A；（II）当实数a为何值时，方程组Ax有无穷多解，并求其通解.【考点】行列式按行（列）展开定理；非齐次线性方程组
30、有解的充分必要条件【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122(1,2,)iiiiininDa Aa Aa A in，或1122(1,2,)jjjjnjnjDa Aa Aa Ajn.（ii）设A是m n矩阵，方程组Axb，则方程组有无穷多解()()r Ar An（I）按第一列展开，即得 4 1410001 01(1)10100101aaAaaaaa （II）因为0A 时，方程组Ax有可能有无穷多解.由（I）知1a 或1a 当1a 时，1100 11100 10110101101()0011
31、00011 01001 00000 2A，由于()3r A，()4r A，故方程组无解.因此，当1a 时不合题意，应舍去.当1a 时，大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china-更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 17 1100 11001 0011010101 1()0011 00011 01001 00000 0A，由于()()3r Ar A，故方程组Ax有无穷多解.选3x为自由变量，得方程组通解为：(0,1,0,0)(1,1,1,1)TTk（k为任意常数）.(21)已知1010
32、111001Aaa，二次型123(,)()TTf x x xxA A x的秩为 2（I）求实数a的值；（II）求正交变换xQy将f化为标准形.【考点】二次型的秩；实对称矩阵的特征值和特征向量；用正交变换化二次型为标准形【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）实对称矩阵的特性：不同特征值的特征向量互相正交.（ii）任给二次型,1()nijijijjii jfa x x aa，总有正交变换xPy，使f化为标准形 2221122nnfyyy，其中12,n 是f的矩阵()ijAa的特征值.（I）二次型()TTxA A x的秩为 2，即()2Tr A A 因为()()Tr A Ar A，故()2
33、r A.对A作初等变换有 1011010110111000101000Aaaa，所以1a .18（II）当1a 时，202022224TA A.由 202022(2)(6)224TEA A，可知矩阵TA A的特征值为 0，2，6.对0，由(0)0TEA A x得基础解系T），（1-,11，对2，由(2)0TEA A x得基础解系T），（0,11，对6，由(6)0TEA A x得基础解系(1,1,2)T.实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故只需单位化.T），（1-,11311，T），（0,11212，.T），（2,11613 于是得到正交矩阵 62-031-612131612131Q 在正交
34、变换yxQ 下，二次型的标准形为232262yyf.（22）设二维离散型随机变量(,)X Y的概率分布为 Y X 0 1 2 0 14 0 14 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china-更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 19 1 0 13 0 2 112 0 112（）求2P XY；（）求Cov(,)XY Y.【考点】随机变量的数学期望、方差；协方差及其性质【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）22()DXEXEX；（ii）(,)()Cov X YE XYEX EY,
35、(,)Cov X XDX,1212(,)(,)(,)Cov XX YCov X YCov X Y.（）由随机变量(,)X Y的概率分布可知，1120,02,1044P XYP XYP XY（）由条件知 012111236X，012111333Y，01471112312XY，从而11120122363EX ，1110121333EY ，222211150123333EY，7112()014123123E XY 又2252()133DYEYEY，于是(,)(,)(,)()Cov XY YCov X YCov Y YE XYEX EYDY222213333 .(23)20 设随机变量X与Y相互独立且
36、分别服从正态分布2(,)N 与2(,2)N，其中是未知参数且0.设.ZXY（）求Z的概率密度2(,);f z（）设12,nz zz为来自总体Z的简单随机样本，求2的最大似然估计量2（）证明2为2的无偏估计量【考点】常见随机变量的分布；最大似然估计法；估计量的评选标准【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）正态分布 202()21()2xf xe，x（ii）似然函数 121()(,;)(;)nniiLL x xxp x，对数似然方程 ln()0dLd（iii）若估计量12(,)nX XX的数学期望()E存在，且对于任意有()E，则称是未知参数的无偏估计量.（）由条件知Z服从正态分布，且(
37、)0EZE XYEXEY，2()3DZD XYDXDY，即2(0,3)ZN，从而Z的概率密度为 2222(0)22 36211(;)623zzf zee，z.（）由条件知似然函数为 2212222661111()(;)6(6)niiizznninniiLf zee，iz，1,2,in，222211ln()ln6ln226niinnLz，令222241ln()110()26niidnzd，解得22113niizn.大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china-更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 21 于是2的最大似然估计量为22113niiZn.（）由于222211111()()333nniiiiEEZEZnEZnnn 22211()(30)33DZEZ，从而可知，2为2的无偏估计量.
