1、第第8484讲讲 利用均值不等式证明利用均值不等式证明不等式不等式 1231231231 1 1 9.1 a a aa a a ma a a m 设，均为正数，且，求证：【例】123123123123123123123111()111 ()()3 39301119.maaaaaaaaaaaamaaamaaaaaam因 为，当 且 仅 当时 等 号 成 立 又 因 为，所 以【解 析】要能够根据式子的结构特征构造应用均值不等式使用的条件，同时要注意检验等号成立的条件 【变式练习1】a,b,cR，求证【解析】因为a2+b22ab,所以2(a2+b2)a2+2ab+b2=(a+b)2，即a2+b2
2、，两边开算术平方得 2 22 22 22()abbc ca a b c 2()2ab 2222()22a babab 同理可得 ，三式相加，得 222()2bcb c222()2cac a2 22 22 22()abbc ca a b c 应用柯西不等式证明应用柯西不等式证明不等式不等式 22326 2 112.xyx y 已知【，求证：例】222222221(2)(3)(3)()()324111 (32)()611326211.xyxyxyxy 由柯西不等式得，所以【证明】要能够根据式子的结构特征构造应用柯西不等式使用的条件，同时要注意检验等号成立的条件 【变式练习2】，求证：a2+b2=1
3、.22111b ba 【证明】由柯西不等式，得 ,当且仅当 时,上式取 等号.所以 ,即a2b2=(1-a2)(1-b2)，于是a2+b2=1.22 22 2211(1)(1)1ab baa ab b 2211bbaa 2211a bab 【例3】a+b+c=1，求证：.22213abc不等式证明方法的不等式证明方法的应用应用【解析】方法1：综合法 因为a2+b2+c2=(a+b+c)2-(2ab+2bc+2ac)(a+b+c)2-2(a2+b2+c2),所以3(a2+b2+c2)(a+b+c)2=1.所以 .22213abc 方法2：比较法 因为 ,所以 .22222222222221()3
4、31(222222)31()()()03a b cabcabcabcabbcaca bb ca c 22213abc(1)综合法的思维特点是执因索果.根本不等式以及一些已经得证的不等式往往与特征的不等式有着这样或那样的联系，作由此及彼的联想往往能启发我们证明的方向.(2)证明不等式的常用的方法有：比较法、综合法、分析法，它们各有其优点.解题有法，但无定法，具体运用时，应该对具体问题的特点作具体分析，选择适宜的方法.当问题比较复杂时，通常用分析法寻找证明的思路，而用综合法来表达、表达整个证明过程.另外此题也可用柯西不等式证明如下：因为(12+12+12)(a2+b2+c2)(a+b+c)2=1,
5、即3(a2+b2+c2)1,所以 22213abc【变式练习3】a+b+c=0，求证：ab+bc+ca0.【证明】方法1：综合法 因为a+b+c=0，所以(a+b+c)2=0，展开，得ab+bc+ca=.所以ab+bc+ca0.2222abc方法2：分析法 要证ab+bc+ca0，因为a+b+c=0,故只需证ab+bc+ca(a+b+c)2,即证a2+b2+c2+ab+bc+ca0，即 (a+b)2+(b+c)2+(a+c)20,显然成立，所以原式成立.12方法3：因为 a+b+c=0，所以-c=a+b,所以ab+bc+ca=ab+(a+b)c =ab-(a+b)2 =-a2-b2-ab =2
6、23()024bba 11.4 9ababab已知，为正数，求证：。00144()()54149529.abbaabababbaababab【证明】因为，所以，所以33312.2.3abca b ca b c 设，为正实数，求证：33333336333301132323.1“”3123.abcabca b ca b ca ba b ca b ca b cabcabca b c因 为，为 正 实【证数，所 以，又当 且 仅 当时所明取以】222222121211223.11.1.nnnna aax xxa xa xa x 已知，求证：1 1221 12211222222221212|()()1n
7、nnnnna xa xa xa xa xa xaaaxxx由柯西【证不等式可得，故原不明】等式得证4.142 3xx求证：2222max142(122)1(2)(12)9123?”1203.yxxyxxxxyxxxy设，由柯西不等式得，所以，【证当且仅当时取，即当时，故原不等明】式得证 1.利用柯西不等式的关键在于正确理解柯西不等式，掌握它的各种结构，根据所给的式子，联想二维和三维柯西不等式，通过变形构造模型(有难度的通常要逐步调整去构造).2.比较法证明不等式的步骤：作差变形判定，关键是变形.常见变形手段有因式分解、配方、通分、有理化及放缩法.3.分析法是“执果索因，综合法是“由因导果，它们
8、的论证顺序相反.常利用分析法从要证的问题入手，逐步推求，再用综合法逐步完善，最后找到起始条件.4.反证法是假定原命题不成立，经过正确推理，最后得出矛盾，说明假定错误，从而证明了原命题成立.一般在利用综合法、分析法比较困难时才用反证法，即“正难那么反.反证法是证明不等式的间接方法.5.比较法、分析法、综合法和反证法四种方法是证明不等式的根本方法，特别提醒的是对较复杂的命题往往要运用多种方法，甚至利用函数法，换元法等.6662 2 2222R11822 72491.(2 0 1 0)236.a b cabcabcabca b a c b c已已 知知，证证 明明泰泰 州州 市市 期期 末末 联联不
9、不：；考考等等 式式 666666222366622218122783273182127abcabca b cabca b c由【证明均值不等式可得，即，故所证不等】式成立 2222222222224449129628184612492236ababbcbcacacabcabacbcabcabacbc因为，式两边分别相加，得，即，故所证不等【证明】式成立 2.(2022 苏州中学期末卷)定义在区间-1,1上，设x1,x2-1,1，且 x1x2.(1)求证：|f(x1)-f(x2)|x1-x2|；(2)假设a2+b2=1，求f(a)+f(b)的最大值.2()1f xx【解析】(1)证明：由题设有
10、 .因为|x1+x2|x1|+|x2|，所以|f(x1)-f(x2)|x1-x2|.22121212122212()()1111f xf xxxxx xxxx 22121211xx x x (2)因为a2+b2=1，由柯西不等式有 ，所以 ，当且仅当 a2=b2=时取“=.因为f(a)+f(b)=，所以f(a)+f(b)的最大值为6.2 22 2 2 222 2(1)(1)(1 1)(1 1)aba b 22116ab 122211ab 选题感悟：此题主要考查不等式的证明及柯西不等式的应用.处理无理因式问题常用的思路是有理化，这是此题求解的关键.第(2)题的关键在于合理地凑配，突出对通性通法的考查，这正是高考命题及考试大纲所要求的.
