1、线性代数练习册第四章习题及答案篇一：线代第四章习题解答第四章 空间与向量运算4-1-1、已经明白空间中三个点A,B,C坐标如下：A2,1,1,B3,2,1,C2,2,1 （1）求向量,的坐标，并在直角坐标系中作出它们的图形； （2）求点A与B之间的间隔解：(1) (1,3,0), (5,0,0), (4,3,0)(2)AB4-1-2利用坐标面上和坐标轴上点的坐标的特征，指出以下各点的特别位置： A3,4,0; B0,4,3 ； C3,0,0 ；D0,1,0 解： A (3，4，0) 在xoy面上 B（0，4，3）点在yoz面上C（3，0，0）在x轴上 D（0，1，0）在y轴上 4-1-6. 设
2、uab2c,v3bc，试用a、b、c表示3u3v解：3u2v3（ab2c）2（3bc）3a3b8c4-1-7. 试用向量证明：假设平面上的一个四边形的对角线互为平分，那么这个四边形是平行四边形 解：设四边形ABCD中AC与DB交于O，由已经明白AOOC，DOOB 由于ABAOOBOCDODC,AD=AO+OD=OC+BO=BC 因此ABCD为平行四边形。4-1-8. 已经明白向量a的模是，它与轴u的夹角60，求向量a在轴u上的投影解：.prjuu)4xcos604rrcos(r。323 24-1-9. 已经明白一向量的终点在点B2,1,7，它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4、-4、7，求这向
3、量起点A的坐标 解： 设起点A为（x,y,z）prjxAB(2x0)4prjyAB(1y)4 prjzAB(7z0)7解得：x2y3z004-1-12. 求以下向量的模与方向余弦，并求与这些向量同方向的单位向量：（1）a2,1,1 ； （2）b4,2,2 ； （3）c6,3,3 ； （4）d2,1,1 解：（1）a（2，1，1）a22(1)122cos22 a36cos126 cos a6a6（2）b=(4,-2,2) b42(2)2 cos2226 b3cos262b666 cos b0, b6b6b366（3）c=(6,-3,3) cb2(4)3 cos222363cos33 6cos23
4、3626 62（4）d=(-2,1,-1)d(2)1(1)6cos263cos16d6cosd0,66d366与前三向量单位同的d6,。 3664-1-13. 设向量的方向余弦满足以下条件：（1）cos0； （2） cos1 ； （3） coscos0 指出这些向量与直角坐标系的坐标轴或坐标平面的关系解：(1)cos0(2)cos1说明向量与x轴垂直；说明向量与y轴平行；(3)coscos0量的方向余弦 解：说明向量既和x轴垂直又与y轴垂直，即垂直于xoy面。4-1-14. 设一向量与x轴及y轴的夹角相等，而与z轴的夹角是与x轴夹角的两倍，求这向设向量的方向余弦为cos.cos.cos。由已经
5、明白2，又cos2cos2cos2112即cos2cos2cos2212cos2(2cos21)21cos0或cos111方向余弦为0，0，1,。2223,a3,b4，求以下各值：（1）ab ； （2）bb ； （3）abab； （4）(a2b)(3ab) ；（5）aabb.解： (1)ababcos34cos3 (2)bbbbcos44116；226；(3) (ab)(a-b)ab9167；(4) (a-2b)(3ab)3a25ab2b227303235；(5)(aa)(bb)916144；4-2-2.试在点P0,1,1与Q1,1,2的联线上确定一点R，使点A1,0,1与R的联线垂直于PQ.
6、解：PQ1,0,1，设R坐标为x,y,z即1,0,1x1,y,z10PQAR,PQAR1x,y,z10 R坐标为1,y,1。4-2-3.已经明白向量ae1e2,be12e22e3求a与b的夹角. 解：a1,1,0cos(ab)b1,2,2ab111(2)022 ab223a,b夹角为135。4-2-4.试用向量证明三角形的余弦定理.证明：在ABC中，建立向量如图，又cab,c2aba2b22ab.2cab2abcosc2224-2-5.已经明白向量a1,0,1,b1,2,1，求ab.a1,0,-1iab1j0b1,2,1k12k2i1124-2-6.已经明白向量a2e13e2,b3e22e3，
7、求ab. .解.a2,3,0b0,3,2ijkab2306i4j6k032ab62(4)26222、B(1,0,6)、C(4,5,-2)4-2-7.求以A(7,3,4)为顶点的三角形的面积.解：由向量积定义，知SABC11ABACsinAABAC22ijkABAC63214i42j21k3SABC264924-2-8.设a、b为互相垂直的单位向量，求以c2a3b,da4b为邻边的平行四边形面积.cdc、d为邻边的平行四边形面积，即4-2-9.已经明白向量a、b、c满足abc0，求证abbcca.Scd2a3ba4b2aa8ab3ba12bbab11证：abaacaaacca4-2-10.已经明
8、白向量a、b、c、d满足abcd,acbd,，求证向量ad与bc平行.adbcabacdbdcabcdacbd0证：故ab与bc共线。、B(1,2,1)、C(2,3,0)与D(5,0,6)在同一平面上. 4-2-11.证明点A(2,-1,-2)证：1,3,30,4,23,1,4422022,18,6,12 244331ABACAD1,3,318,6,120故A、B、C、D四点共面。4-2-12.证明向量ae13e22e3,b2e13e24e3与c3e112e26e3是共面的.e1证：a1,3,2e2e3e1b2,3,4e2e3e1c3,12,6e2e31abcb23c故a、b、c共面。a331
9、22e114e2263e3331224064-2-13.假设abbcca0，证明向量a、b、c共面.证：abcbccacbcccac0故a、b、c共面。4-2-14.设向量a1,0,1,b2,1,0,c0,0,1，计算以下各式：（1）abc ； （2）abac解：1abc10121010012abac、B（1,2,2)与C3,1,4，4-2-15.四面体的三条棱从点O0,0,0连至点A(2,3,1)求四面体OABC的体积.解：篇二：线性代数第四章习题习题四答案(A)1 求以下矩阵的特征值与特征向量:3113(1) 1(2) 22022(4) 410111 (6)2302121301422 10
10、0 22(3) 204(5) 21212201312 5解 （1）矩阵A的特征多项式为EA3113(2)(4)，因此A的特征值为12,24关于12，解对应齐次线性方程组(2EA)XO，可得它的一个根底解系为1(1,1)T，因此A的属于特征值2的全部特征向量为k11k1(1,1)T(k10为任意常数)关于24，解对应齐次线性方程组(4EA)XO，可得它的一个根底解系为2(1,1)T，因此A的属于特征值4的全部特征向量为k22k2(1,1)T (k20为任意常数)（2）矩阵A的特征多项式为1222(1)(1)(3)，EA22121因此A的特征值为11，21，33关于11，解对应齐次线性方程组(EA
11、)XO，可得它的一个根底解系为1(1,1,0)k11k1(1,1,0)TT，因此A的属于特征值-1的全部特征向量为(k10为任意常数)关于21，解对应齐次线性方程组(EA)XO，可得它的一个根底解系为2(1,1,1)k22k2(1,1,1)T，因此A的属于特征值1的全部特征向量为T(k20为任意常数)关于33，解对应齐次线性方程组(3EA)XO，可得它的一个根底解系为3(0,1,1)k33k3(0,1,1)TT，因此A的属于特征值3的全部特征向量为(k30为任意常数)(3) 矩阵A的特征多项式为2202(2)(1)(4)，EA2012因此A的特征值为11，24，32关于11，解对应齐次线性方程
12、组(EA)XO，可得它的一个根底解系为1(2,1,2)k11k1(2,1,2)T，因此A的属于特征值1的全部特征向量为 (k10为任意常数)T关于24，解对应齐次线性方程组(4EA)XO，可得它的一个根底解系为2(2,2,1)k22k2(2,2,1)TT，因此A的属于特征值4的全部特征向量为(k20为任意常数)关于32，解对应齐次线性方程组(2EA)XO，可得它的一个根底解系为3(1,2,2)k33k3(1,2,2)TT，因此A的属于特征值-2的全部特征向量为(k30为任意常数)(4)矩阵A的特征多项式为4232(1)(3)，2EA2112因此A的特征值为1,21（二重），32关于1,21，解
13、对应齐次线性方程组(EA)XO，可得它的一个根底解系为1(1,2,1)k11k1(1,2,1)TT，因此A的属于特征值1的全部特征向量为(k10为任意常数)关于32，解对应齐次线性方程组(2EA)XO，可得它的一个根底解系为2(0,0,1)k22k2(0,0,1)TT，因此A的属于特征值2的全部特征向量为(k20为任意常数)(5)矩阵A的特征多项式为4211(2)，2EA2131因此A的特征值为10，2,32（二重）关于10，解对应齐次线性方程组(0EA)XO，可得它的一个根底解系为1(1,1,2)T，因此A的属于特征值0的全部特征向量为Tk11k1(1,1,2) (k10为任意常数)关于2,
14、32，解对应齐次线性方程组(2EA)XO，可得它的一个根底解系为2(1,1,0)k22k2(1,1,0)TT，因此A的属于特征值2的全部特征向量为(k20为任意常数)(6)矩阵A的特征多项式为4232(1)(3)，2EA2112因此A的特征值为16，2,32（二重）关于16，解对应齐次线性方程组(6EA)XO，可得它的一个根底解系为1(1,2,3)k11k1(1,2,3)TT，因此A的属于特征值6的全部特征向量为(k10为任意常数)关于2,32，解对应齐次线性方程组(2EA)XO，可得它的一个根底解系为2(1,1,0)T，3(1,0,1)TT，因此A的属于特征值2的全部特征向量T为k22k33k2(1,1,0)
