1、第 44 卷第 1 期 温 州 大 学 学 报（自 然 科 学 版）2023 年 2 月 Vol.44 No.1 Journal of Wenzhou University(Natural Science Edition)Feb.2023 非定常渗透对流模型的二阶 BDF 有限元 算法的误差分析 曹 敏(温州大学数理学院，浙江温州 325035)摘 要：研究了非定常渗透对流模型的全离散化的二阶 BDF 有限元算法，提出并分析了基于外推的线性化全离散方案，证明了该方程组离散解的稳定性，通过对误差函数利用能量估计方法，结合有限元逆不等式和 Sobolev 空间的插值不等式，得到了无条件的最优2L误
2、差估计 关键词：渗透对流模型；二阶 BDF 有限元；误差分析；无条件最优误差估计 中图分类号：O175.2 文献标志码：A 文章编号：1674-3563(2023)01-0012-09 DOI：10.3875/j.issn.1674-3563.2023.01.002 本文的 PDF 文件可以从 https:/ 获得 渗透对流是指流体从较不稳定区域对流延伸到相邻的稳定区域的一种运动，这一运动现象引起了地球物理学、天体物理学以及流体动力学等多学科研究人员的注意文献1论述了这类型对流发生的区域；文献2-3研究了渗透对流模型的稳定性；文献4给出了不可压缩 Navier-Stokes问题的二阶 BDF（
3、Backward Difference Method）误差估计；Ravindran 在文献5中给出了半离散有限元空间离散化的最优阶误差估计，提出并分析了两种基于外推的线性化的时间离散化方案且证明了它们的收敛性；Sun 等在文献6中提出了一种证明耦合非线性薛定谔方程的 Crank-Nicolson 差分格式的无条件最优误差估计方法，其中离散2L范数下的最优误差估计分别就h进行了讨论本文的主要工作就是在 Ravindran 和 Sun 等的工作基础上研究非渗透对流模型的二阶 BDF 有限元全离散算法，得到相应的最优误差估计 本文主要考虑如下渗透对流模型：2123()()tuuuupif +=，x，
4、Tt 0，（1）div0u=，x，Tt 0，（2）()tug +=，x，Tt，(,)u x t是速度，(,)x t是温度，(,)p x t是压力，0()ux是给定的初始速度场，0()x是给定的初始温度场，3i是一个单位基向量，f，g分别表示流体的粘性系数、导热系数、体积力和重力常数假设区域是3R中有界的凸多边形区域 收稿日期：2021-12-28 作者简介：曹敏(1998)，女，江西南昌人，硕士研究生，研究方向：偏微分方程数值解 曹敏：非定常渗透对流模型的二阶 BDF 有限元算法的误差分析 13 1 预备知识 对于kN+，1p+，让,()k pW表示标准索伯列夫空间，,()k pW中的范数用,
5、k pW表示将,0()k pW定义为在上具有零轨迹的函数的,()k pW的子空间当2p=时，我们简单地使用()kH来表示,2()kW()，表示2L或23()L 内积设0()C是中具有紧支集的所有无限可微函数的集合，而30,()C是在中具有紧支集的所有无限可微无散度向量函数的集合10()H和V分别表示1中0()C和30,()C的闭包：1100()()HC=，130,()VC=对于130()uH，有 Poincar 不等式22LLuCu，Sobolev 不等式2,(1pLLuCu 6)P 和插值不等式3261122LLLuuu此外，对于23()uH，有2LHuu 在本文的分析中，将使用以下符号来表
6、示公式中各项的弱形式 11212(,)da u uuux=，130()iuH 21212(,)dax=，10()iH(,)db v qqv x=，130()vH，20()qL 下面介绍三线性项 12312313211(,)()d()d22c u u uuuuxuuux=，131230,()u u uH 11211212111(,)()d()d22c uuxux =，11230,()H 三线性项满足下面的反对称性质：123132(,)(,)c u u uc u u u=，131230,()u u uH 当0u=时，有123123(,)()dc u u uuuu x=和112112(,)()dc
7、uux =成立 假设 1 )(;,0(32HTLu，)(;,0(2HTL，)(;,0(1HTLp 23(0,;()tuLT H，2(0,;()tLT H 2223(0,;()tuLT L，222(0,;()tLT L 3213(0,;()tuLT H，321(0,;()tLT H 2(0,;()fLT L，2(0,;()gLT L 2 二阶 BDF 全离散格式和主要结果 2.1 线性 BDF 格式 在这节，对非线性方程（1）（3）提出了一种线性化的二阶 BDF 全离散有限元格式其 温州大学学报（自然科学版）(2023)第 44 卷第 1 期 14 中，0130()hXH，010()hYH20(
8、)hLL，0,d0hhLqLq x=设010NtttT=是时间间隔0T，上的均匀分割，其中ntn=(0)nN，时间步长为NT=，当Nn 0时，定义()nnuu t=，()nnpp t=，()nnt=，()nnff t=和()nngg t=对于任何序列函数0nNnu=，定义 243111+=nnnnuuuuD，212=nnnuuu，11Nn （6）对于0hXu，有逆不等式：33pqpqLLuChu，1qp 假设2 引入Stokes投影0:0,shhP uTX，0,0:0hLLTph：1(,)(,shhha uP u vb vp+0)0hLp=，0hhvX(,)0shhb uP u q=，0hhq
9、L 引入 Ritz 投影0:0,rhhPTY：2(,)0rhhaP=，hhY 引理 1 若假设 1 成立，则（i）Stokes 投影0shhP uX满足：21222()()sshhHHLLuP uhuP uChup+（7）（ii）Ritz 投影0hrhYP满足：2222()sshhHLLPhPCh+（8）引理 2 对于（6）式定义的时间离散导数D，内积11(,)nnD uu+满足：222222222111112111(,)(2242),(11)nnnnnnnnLLLLnnnLD uuuuuuuuuuunN+=+（9）引理 3 当整数0k 时，设,kkka b c和k为非负数，使得 000nnn
10、nkkkkkkkabacB=+，0n （10）对所有k，假设1及1=k成立 利用上述符号，一种线性化的二阶 BDF 有限元格式描述如下：当11nN时，已 知1100(,),(,)nnnnhhhhhhUUXY，需 求 出111(,)nnnhhhUP+000hhhXYL使得对所有的000(,)hhhhhhvqXYL有：11111111111323(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)nnnnnnhhhhhhhhhhhnnnnhhhhhhD UvUvc UUvb v Pb Uqi vi vfv +=，（12）曹敏：非定常渗透对流模型的二阶 BDF 有限元算法的误差分析 15 11111(,
11、)(,)(,)(,)nnnnnhhhhhhhhDc Ug+=（13）取00uIUhh=，00hhJ=hhJI,分别是1300()hHX和100()YhH 的2L正交投影且满足相应的逼近性质 注：11(,)hhU为一阶向后欧拉格式的数值解，满足CULhLh+2211且 22112211()()()hhLLu tUtCh+2.2 稳定性分析 在（13）式中令14+=nhh，则有：2222222222221111122112222nnnnnnnnnhhhhhhhhhLLLLLnnhLLCg+（14）将不等式（14）从1=n加到1=Nmn，有：222222222111122211101222mmmmn
12、hhhhLLLnmnhhhLLLnCgC+=+=+（15）在（12）式中令11(,)4(,)nnhhhhv qUP+=，且由（6）式，有：22222222223362222222211111211111111122221112224444(2)2nnnnnnnnnhhhhhhhhhLLLLLnnnnnhhhhLLLLLnnnnhhhhLLLnnnhhLLLUUUUUUUUUUfUUUCfUC+（16）将不等式（16）从1=n加到1=Nmn，结合（15）式有：2222222222111122221111011222mmmmmhhhhLLLnmmnnhhhhLLLLnnUUUUCfCUUUC+=+
13、=+（17）为了误差分析的需要，在（1）式和（3）式中，取1+=ntt，则其变分形式为：11111110(),)(),)(),(),)(),)(,),()nnnnnnDttc u ttg tRH+=+，（18）1111111121131132100(),)(),)(),(),)(,()(),)()()(),)(),)(,),(,)()()nnnnnnnnnnnuD u tvu tvc u tu tvb v p tb u tqttti vf tvRvv qHL +=+，（19）其中，截断误差11,+nnuRR分别为：温州大学学报（自然科学版）(2023)第 44 卷第 1 期 16 111111
14、1221113()()()()()()()()()nutntnnnnnnnnRDu tu tu tu tu tu tttti+=+，（20）1111111()()()()()()ntntnnnnnRDttu ttu tt+=+（21）根据正则性假设 1 和泰勒公式，有：41N1212CRnLnu=+，（22）411212CRNnLn=+（23）为了方便估计，我们定义如下符号：111()nsnuhnheP u tU+=，111()()nsuhnnEP u tu t+=，111()nsnuhnheP u tU+=，111()()nsuhnnEP u tu t+=，111()nrnhnhePt+=，
15、111()()nrhnnEPtt+=，111()nrnhnhePt+=，111()()nrhnnEPtt+=，0111()hnnpnhLep tP+=2.3 主要结果 定理 1 设,u是（1）（3）式的唯一解并满足假设 1，则全离散格式（12）（13）式的解1010,01nnhhhhUXYnN+存在且唯一，且存在0和0h使得当0和0hh 时，以下误差估计成立：2112211()()C()nnnhnhLu tUth+，（24）其中，0,1,2,1nN=，C是一个常数，不依赖于和h 3 误差分析 引理 4 若（12）和（13）的解满足定理 1 和假设 1，则 2222122221111222200
16、()()NnnnnuuLLLLneeeeCh+=+，（25）其中00C且独立于和h 证明：（18）式与（13）式作差有如下误差方程：11111111(,)(,)(),(),)(,)(,)(,)nnnnhhnnhhhhnnhhD eec u ttc UD ER+=+，（26）其中，11111111111111111111(),(),)(,)(),(),)(),)(),)(),)(,(),)(,(),)nnnnnhhhhnnhhnnnnnhhhnhnhnrnnrnuhnhuhnhc u ttc Uc u ttc u tUc u tec u tEc ePtec EPte+=+=+曹敏：非定常渗透对流模型的二阶 BDF 有限元算法的误差分析 17 在（26）中令14+=nhe且由式（7）、（8）和（9）有：222222222222111111111111111111122244(,)4(,)4(),)4(,(),)4(,(),)4nnnnnnnnnnLLLLLLnnnnnnnnrnnrnuhnuhneeeeeeeeeeD EeRec u tEec EPtec ePteD E+222222362
