1、第四节 根本不等式 三年三年8 8考考 高考指数高考指数:会用根本不等式解决简单的最大小值问题会用根本不等式解决简单的最大小值问题.1.1.主要考查应用不等式求最值和不等式的证明主要考查应用不等式求最值和不等式的证明.2.2.对根本不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现，难对根本不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档题，假设出现证明题难度也不会太大度为中低档题，假设出现证明题难度也不会太大.1.1.根本不等式：根本不等式：(1)(1)根本不等式成立的条件是根本不等式成立的条件是 .(2)(2)等号成立的条件是：当且仅当等号成立的条件是：当且仅当 时取等号时取等号.(3)(3)
2、其中其中 称为正数称为正数a,ba,b的的 ，称为正数称为正数a a，b b 的的 .a+bab2a0,b0a0,b0 a=ba=b a+b2算术平均数算术平均数 a b几何平均数几何平均数 【即时应用】【即时应用】判断以下不等式是否正确判断以下不等式是否正确.请在括号中填写请在括号中填写或或(1)a2+b22ab(a,bR)()(2)ab (a，bR)()(3)(a,bR)()(4)2(a,b均不为零均不为零)()2a+b()22a+b()222a+b2ba+ab【解析】【解析】1 1由由a a-b b2020得得a2+b2a2+b2-2ab02ab0，即即a2+b22aba2+b22ab，
3、故，故1 1正确正确.2 2由由1 1可知可知a2+b22aba2+b22ab，即，即a2+b2+2ab4ab,a2+b2+2ab4ab,即即(a+b)24ab,(a+b)24ab,即即ab ,ab ,故故2 2正确正确.3 3由由 =0,=0,故故3 3正确正确.4 4假设假设a,ba,b异号，如异号，如a=a=-1,b=1,1,b=1,那么那么 =-22,20,n0m0,n0且且mn81mn81，那么，那么m+nm+n的最小值为的最小值为 .xx+1【解析】【解析】1 1由由2=x+3y 2=x+3y 得得 故故xy xy 等号当且仅当等号当且仅当x=1,y=x=1,y=时取得时取得.(2
4、)x0(2)x0，当，当x=0 x=0时，时，f(0)=0f(0)=0；当当x x0 0时，时，f(x)=f(x)=当且仅当当且仅当 即即x=1x=1时取等号时取等号.所以所以f(x)f(x)的最大值为的最大值为 23xy,3xy,31,31311,12x+x1x=,x1.2(3)m(3)m0,n0,n0,mn81,9,0,mn81,9,m+n 18m+n 18，故，故m+nm+n的最小值为的最小值为18.18.答案：答案：1 1 2 2 3 31818 m n2mn1312 利用根本不等式求最值利用根本不等式求最值 【方法点睛】【方法点睛】应用根本不等式求最值的常见类型应用根本不等式求最值的
5、常见类型 1 1假设直接满足根本不等式条件，那么直接应用根本不等式假设直接满足根本不等式条件，那么直接应用根本不等式.2 2假设不直接满足根本不等式条件，那么需要创造条件对式假设不直接满足根本不等式条件，那么需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“子进行恒等变形，如构造“1 1的代换等的代换等.3 3假设可用根本不等式，但等号不成立，那么一般是利用函假设可用根本不等式，但等号不成立，那么一般是利用函数单调性求解数单调性求解.提醒：提醒：1 1应用根本不等式注意不等式的条件应用根本不等式注意不等式的条件.2 2假设屡次应用根本不等式要注意等号需同时成立假设屡次应用根本不等式要注意等号需同时成立.
6、【例【例1 1】1 1(2022(2022无锡模拟无锡模拟)假设假设xx-3 3，那么，那么 的最小的最小值值 为为 .2 2x,yx,y为正实数，且满足为正实数，且满足 那么那么xyxy的最大值的最大值 为为 .3 3a a，b b为正实数且为正实数且a+b=1a+b=1，那么，那么 的最小值的最小值 为为 .2x+x+3xy+=1,3411(1+)(1+)ab【解题指南】【解题指南】1 1将原式等价变形构造出应用根本不等式形式将原式等价变形构造出应用根本不等式形式可解可解.2 2直接应用根本不等式求解直接应用根本不等式求解.3 3将将 与与 中的中的1 1用用a+ba+b代换整理后利用根本
7、不等式可求代换整理后利用根本不等式可求.1a1b【标准解答】【标准解答】1 1由由xx-3 3得得x+30,x+30,又又 等号成立的条件是等号成立的条件是x+3=x+3=即即 x=x=-3.3.答案：答案：2 2因为因为x,yx,y为正实数，所以为正实数，所以 所以所以 即即xy3,xy3,当且仅当当且仅当x=y=2x=y=2时等号成立时等号成立.答案：答案：3 3 22x+=x+3+-322-3,x+3x+32,x+3222-3xyxy1=+2,3412x y1,1 223,23 3a0,b0,a+b=1,a0,b0,a+b=1,同理同理 等号成立的条件为等号成立的条件为a=b=a=b=答
8、案：答案：9 9 1a+bb1+=1+=2+,aaa1a1+=2+,bb11 ba b a(1+)(1+)=(2+)(2+)=5+2(+)5+4=9,a b a b a b1.2【反思【反思感悟】感悟】1.1.利用根本不等式求最值的关键在于凑利用根本不等式求最值的关键在于凑“和和或或“积为定值积为定值.2.2.使用根本不等式时容易无视的是不等式成立的条件使用根本不等式时容易无视的是不等式成立的条件.根本不等式的实际应用根本不等式的实际应用【方法点睛】【方法点睛】利用根本不等式求解实际应用题的方法利用根本不等式求解实际应用题的方法 1问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销问题的背景是人
9、们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料等，题目往往较长，解题时需认真阅读，售、税收、原材料等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解.2当运用根本不等式求最值时，假设等号成立的自变量不当运用根本不等式求最值时，假设等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用根本不等式求解，此时可根据变量在定义域内时，就不能使用根本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解的范围用对应函数的单调性求解【例【例2 2】某造纸厂拟建一座平面图形为矩】某造纸厂拟建一座平面图形为矩 形且面积为形且面积
10、为162162平方米的三级污水处理池，平方米的三级污水处理池，池的深度一定平面图如下图，如果池四周围墙建造单价为池的深度一定平面图如下图，如果池四周围墙建造单价为400400元元/米，中间两道隔墙建造单价为米，中间两道隔墙建造单价为248248元元/米，池底建造单价米，池底建造单价为为8080元元/米米2 2，水池所有墙的厚度忽略不计，水池所有墙的厚度忽略不计.1 1试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；低总造价；2 2假设由于地形限制，该池的长和宽都不能超过假设由于地形限制，该池的长和宽都不能超过1616米，试米，试设计污水
11、池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.【解题指南】【解题指南】1 1由题意设出未知量，构造函数关系式，变由题意设出未知量，构造函数关系式，变形转化利用根本不等式求得最值，得出结论；形转化利用根本不等式求得最值，得出结论；2 2先由限制条件确定自变量的范围，然后判断先由限制条件确定自变量的范围，然后判断1 1中函数中函数的单调性，利用单调性求最值，得出结论的单调性，利用单调性求最值，得出结论.【标准解答】【标准解答】1 1设污水处理池的宽为设污水处理池的宽为x x米，那么长为米，那么长为 米米.那么总造价那么总造价 f(x)=400f(x)
12、=400(2x+)+248(2x+)+2482x+802x+80162162 =1 296x+12 960=1 296x+12 960 =1 296=1 296x+x+12 960+12 960 1 2961 296 +12 960+12 960 =38 880(=38 880(元元)，当且仅当当且仅当 (x0),(x0),即即x=10 x=10时取等号时取等号.当长为当长为16.216.2米，宽为米，宽为1010米时总造价最低，最低总造价为米时总造价最低，最低总造价为38 88038 880元元.1 6 2x21 6 2x1 296 100 x1 0 0 x1 0 02xx1 0 0 x=x
13、2 2由限制条件知由限制条件知 x16.x16.设设g(x)=x+(x16),g(x)=x+(x16),由函数性质易知由函数性质易知g(x)g(x)在在 ，1616上是增函数，上是增函数，当当x=x=时此时时此时 =16=16,g(x)g(x)有最小值，即有最小值，即f(x)f(x)有最小值有最小值 1 2961 296()+12 960=38 882()+12 960=38 882元元.当长为当长为1616米，宽为米，宽为 米时，总造价最低，为米时，总造价最低，为38 88238 882元元.0 x1 6,1 6 20 1,b1a1,b1，假设，假设ax=ax=by=4by=4且且a+b=,
14、a+b=,那么那么 的最大值为的最大值为 .2 2函数函数f(x)=log2f(x)=log2k(x+4)+2k(x+4)+2+1+1恒过定点恒过定点P P，且点，且点P P在在 直线直线 =2(a,bR+)=2(a,bR+)上，那么上，那么3a+2b3a+2b的最小值为的最小值为 .【解题指南】【解题指南】1 1用用a,ba,b表示表示x x，y y代入后，再利用根本不等式代入后，再利用根本不等式 可求可求.2 2求得求得P P点坐标代入直线方程，再用点坐标代入直线方程，再用“1“1的代换转化为根本的代换转化为根本 不等式求解不等式求解.2211+xyyx-ba【标准解答】【标准解答】1 1
15、由由ax=by=4ax=by=4得得x=loga4,y=logb4,x=loga4,y=logb4,故故 又又a1,b1,a+b=a1,b1,a+b=故故log4ablog4ab 等号当且仅当等号当且仅当a=b=a=b=即即x=y=4x=y=4时等号成立时等号成立.的最大值为的最大值为 答案：答案：444ab11 1 1+=+=l o g a+l o g b=l o g a b.xyl o g 4l o g 422,244a+b1l o g()=l o g2=,2211+xy1,22,11+xy1.2122 2由函数由函数f(x)=log2f(x)=log2k(x+4)+2k(x+4)+2+1
16、+1可知，可知，当当x=x=-4 4时，时，f(x)=2,f(x)=2,即即P P点坐标为点坐标为-4 4，2 2，又又P P在直线在直线 (a,bR+)(a,bR+)上，上，故故 即即 3a+2b=(3a+2b)()=3a+2b=(3a+2b)()=当且仅当当且仅当3a2=4b23a2=4b2，即，即a=2+b=+1a=2+b=+1时等号成立时等号成立.3a+2b3a+2b的最小值为的最小值为 答案：答案：yx-=2ba24+=2,ba21+=1,ab21+ab3a4b8+ba8+21 2=8+43,23,338+43.8+43【反思【反思感悟】解决与其他知识综合的根本不等式题目，难点感悟】解决与其他知识综合的根本不等式题目，难点在于如何从条件中寻找根本关系在于如何从条件中寻找根本关系.本例本例1 1中其关键是构建中其关键是构建x,yx,y与与a,ba,b的关系得到的关系得到x=loga4x=loga4，y=logb4y=logb4，从而将，从而将 成功转化为成功转化为a,ba,b的关系，再利用根本不等式求解，而对本例的关系，再利用根本不等式求解，而对本例2 2中其关键中其关键点是确
