1、第 41 卷 第 1 期2023 年 1 月 广西师范大学学报(自然科学版)Journal of Guangxi Normal University(Natural Science Edition)Vol.41 No.1Jan.2023DOI:10.16088/j.issn.1001-6600.2022071801http:周正春.互补序列研究进展J.广西师范大学学报(自然科学版),2023,41(1):1-16.ZHOU Z C.Research progress of complementarysequencesJ.Journal of Guangxi Normal University(
2、Natural Science Edition),2023,41(1):1-16.?互补序列研究进展周正春(西南交通大学 信息科学与技术学院,四川 成都 611756)摘 要:互补序列(也称为互补码)因其完美的相关性被广泛应用于通信、雷达、信息安全等领域,其与 Hadamard 矩阵、Reed-Muller 码、差族、广义布尔函数等数学结构之间具有紧密联系。鉴于其重要理论意义和应用价值,互补序列一直是序列编码领域的研究热点,大量研究成果被报道。本文系统介绍互补序列的研究现状,重点梳理 Golay 序列、互补序列、互正交互补序列、Z 互补序列的构造方法和参数。关键词:互补码;序列设计;通信系统;
3、雷达系统;Z 互补码中图分类号:TN921 文献标志码:A 文章编号:1001-6600(2023)01-0001-16序列是复数域上的有限维离散信号,因其具有抗干扰、稳定、易实现、高速等特点,被广泛应用于通信、雷达、声呐、密码、超宽带无线定位和压缩感知等领域,以满足同步、多址随机接入、信道估计、测距、感知、抗干扰等需求1-5。例如,以 Golay 序列(一类特殊互补序列)、m-序列、Gold 序列、Zadoff-Chu(ZC)序列为代表的优相关序列为第三/四/五代移动通信和 WiFi 系列无线局域网提供了关键技术支持6-9。此外,优相关序列和 Hadamard 矩阵、差集(族)、Bent 函
4、数、循环码等数学结构之间也存在紧密联系10。互补序列(也称为互补码)是一类特殊的优相关性序列,其源头可追溯到 20 世纪 50 年代。1951 年,Golay11在红外多光谱的设计中引入互补对概念,并在 1961 年正式发表与互补对相关的第一篇学术论文12。如果一个二元(二相)序列对的非周期自相关函数之和是一个冲激函数,则称该对序列为互补对12。这样的序列对后来称为 Golay 互补对(GCP),且其中的每一条序列都称为互补序列。在 Golay 的初始定义中,GCP 的概念仅限于二元序列,但这种概念在多元(多相)序列中同样适用。Sivaswamy13和Frank14均将 GCP 的概念引入多相
5、序列中。GCP 自提出以来备受数学与工程领域的关注。在数学领域,学者们探究 GCP 存在的长度、相关性质及其数学构造。与 GCP 长度相关的研究是一个非常困难的问题,到目前为止,经过严格数学证明的结论仅如下 4 条:1)二元 GCP 存在的长度形如u2+v2,其中 u、v 是 2 个整数12;2)不存在长度为 23t的二元 GCP15;3)不存在长度为 249t的二元 GCP16;4)二元 GCP 存在的长度不含模 4 余 3 的素因子17。GCP 具有良好的相关性,因而在工程领域被广泛应用于不同场景中,特别是在通信系统和雷达系统中,例如信道估计18、抗多普勒雷达波形设计3、CDMA 系统19
6、、OFDM 系统20、上行控制信道设计21等。特别地,Davis 等20基于广义布尔函数提出一种长度为 2m的 GCP 构造(称之为标准 GCP 或 GDJGCP),并且证明 GCP 中任意一条序列的峰值平均功率比(PAPR)不超过 2。Davis 等的工作促进了 GCP收稿日期:2022-07-18 修回日期:2022-08-15基金项目:国家自然科学基金重点项目(62131016)通信作者:周正春(1978),男,江西九江人,西南交通大学教授,博导,2013 年获全国百篇优秀博士学位论文奖,2018 年入选第四批国家“青年拔尖人才”。E-mail:广西师范大学学报(自然科学版),2023,
7、41(1)在工程中的广泛使用,尤其是在基于 OFDM 的通信和雷达系统中。遗憾的是,GCP 存在的长度不够灵活。到目前为止,已知的二元 GCP 存在的长度形如 2a10b26c,其中 a、b、c 是非负整数22;已知的四元 GCP 存在的长度形如 2a+u3b5c11d13e,其中 a、b、c、d、e、u 是非负整数并且满足一些不等式限制23。长度受限会影响 GCP 在工程中的使用,例如 3GPP LTE 系统中的主同步序列长度为 62,这样的长度不满足二元或四元GCP 的长度要求24。互补序列不应局限于上述定义,应适当扩展得到更多具有相似性质的序列,以满足更多场景对参数灵活选择的需求。目前,
8、对互补序列的扩展主要分为 2 类。1972 年,Tseng 等25将 GCP 的概念扩展为互补集(CS):一个参数为(M,N)的 CS 中包含 M 条长度为N 的序列,并且所有序列的非周期自相关函数之和是一个冲激函数。相比 GCP,互补集具有更广泛的长度与更高的码率,某些场景下可代替 GCP。例如,在 OFDM 系统中,标准 GCP 码率低,不适用于信息传递,只能作为导频序列。通常来说,同等长度下互补集的码率远高于标准 GCP,因此更适合信息传递。2000 年,基于广义布尔函数,Paterson26提出一种码率远高于标准 GCP 的互补集。继 Paterson 工作之后,相继有学者研究具有更高
9、码率或具有非 2 次幂长的互补集,促使互补集成为序列设计的一个研究热点。此外,文献25还提出互正交互补集(MOCS)的概念。一个参数为(K,M,N)的 MOCS 中包含 K 个参数为(M,N)的CS,并且任意 2 个不同 CS 之间满足移位正交。值得注意的是,MOCS 中参数 K 与 M 之间满足不等式 KM 的限制。Suehiro 等27将等号成立的情况称为完备互补码(CCC),并基于正交矩阵给出多种 CCC 的构造。他们还首次将 MOCS 应用于 CDMA 系统中,消除 CDMA 系统中用户的多径干扰与多址干扰。MOCS在 MIMO 通信系统28和 MIMO 雷达系统29中也有重要应用。2
10、007 年,Fan 等30将二元 GCP 的概念扩展为二元 Z 互补对(ZCP),其中“Z”表示零相关区。相比GCP 要求序列对的非周期相关函数之和在非零时延处为零,ZCP 仅要求序列对的非周期相关函数之和在一个区域内为零,这个区域称为零相关区。零相关区的引入使得 ZCP 具有更加灵活的长度,文献31已经证明存在任意长度的具有小零相关区的二元 ZCP。类似地,零相关区的概念引入到 CS 与 MOCS 中可分别得到 Z 互补集(ZCS)与 Z 互补码集(ZCCS)。因为它们的参数更加灵活,在一些特殊场景中,ZCS/ZCCS可以代替 CS/MOCS。例如在多径信道估计中,若多径相对时延都落入零相关
11、区内,ZCP 在最小二乘法估计准则下仍可以达到最优的信道估计效果。除此之外,ZCCS 可以解决 MOCS 在 CDMA 应用中用户容量低的问题。在 CDMA 系统中,MOCS 可以完全解决用户的多址干扰与多径干扰问题,但 MOCS 会严重限制系统支持的用户容量。相比于 MOCS,ZCCS 可以成倍增加系统的用户容量。此外,为解决全极化雷达系统中的抗多普勒波形设计问题,Wang 等4还提出准正交 ZCP 的概念。准正交 ZCP 考虑了互相关函数的影响,因此相比基于 GCP 的抗多普勒波形,基于准正交 ZCP 的抗多普勒波形具有更好的模糊函数性能。互补码自提出后在国内外引起较大反响,目前许多学者已
12、经进行研究,并已取得丰硕的成果。结合本团队在互补码上多年的积累,本文系统阐述相关研究的重要成果。1 基本概念1.1 相关函数对于 2 条长度为 N 的复数序列 a=(ai)N-1i=0和 b=(bi)N-1i=0,它们的非周期、周期和奇周期互相关函数分别定义为Ra,b()=N-1-i=0aibi+,0 N-1,Ca,b()=N-1i=0aib(i+)N,0 N-1,Oa,b()=N-1-i=0aibi+-N-1i=N-aib(i+)N,0 N-1,式中:()表示复数共轭;()N表示模 N 运算。若 a=b,则它们分别记为非周期、周期和奇周期自相关2http:函数,简记为Ra()、Ca()和Oa
13、()。下文中,若无特殊说明,相应结论均是关于非周期相关函数的。1.2 广义布尔函数一个具有 m 个变量 x1,x2,xm的广义布尔函数 f(x)定义为从 Zm2到 Zq的映射,其中 x=x1,x2,xm(),xiZ2,Zq=0,1,q-1是模 q 剩余类环。任意一个广义布尔函数 f(x)对应一条与之相关的序列 f-=f-0,f-1,f-2m-1(),其中 f-i=f i1,i2,im(),i=mj=1ij2j-1。例 1 取 m=3,q=4,f x()=x1x2+3x2x3+1,广义布尔函数 f x()对应的序列为 f-=(1,1,1,2,1,1,0,1)。通常来说,具有 m 个变量的广义布尔
14、函数 f(x)对应一条长度为 2m的序列,但本文基于广义布尔函数的构造所涉及的序列长度并非全为 2m,因此定义 f(x)的相关截断序列 f-L()为通过截断其序列尾部的2m-L个元素得到的序列,即 f-L()=f-0,f-1,f-L-1()。为了符号的简洁,若能够从上下文中理解符号的意义,本文将忽略相关截断序列 f-L()的上标。此外,广义布尔函数的相关序列或者相关截断序列均是在Zq上定义的,需要通过相移键控调制到复数单位圆盘,即f=?f0q,?f1q,?f2q,(),式中 q=exp(2-1/q)。本文使用 f-表示定义在 Zq上的序列,f 表示对应的复数序列。2 互补码2.1 Golay
15、互补对本节主要介绍 GCP 的定义、性质及相关研究成果。定义 1 设 a=ai()N-1i=0和 b=bi()N-1i=0是 2 条长度为 N 的复值序列,如果它们的相关函数满足Ra()+Rb()=0,1N-1,(1)则称序列对(a,b)为 Golay 互补对。式(1)由非周期自相关函数定义 GCP,而通过周期或奇周期相关函数定义的序列对通常称为周期互补对(PCP)32或奇周期互补对(OPCP)33。在最初的研究中,GCP 中的每条序列都被称为互补序列。后来,学者们扩展这一概念,将互补集中的每条序列也称为互补序列。性质 112 如果(a,b)是一个长度为 N 的 GCP,则下列序列对也是 GC
16、P:1)交换序列对(a,b)的顺序,即(b,a);2)对 a 与/或 b 颠倒并取共轭,即(a,b),(a,b),(a,b),其中a=aN-1,aN-2,a0();3)对 a 与/或 b 取反,即(-a,b),(a,-b),(-a,-b),其中-a=-a0,-a1,-aN-1();4)对 a 与 b 的偶数或奇数索引位置同时取反。Golay12提出 4 种 GCP 的迭代构造,这些构造都针对二相序列,但稍作修改同样适用于多相序列。定理 112如果 a,b()是一个长度为 N 的多相 GCP,则序列对a,b,a,-b()是长度为 2N 的GCP,其中 a,b=a0,a1,aN-1,b0,b1,bN-1()表示序列 a 与 b 的级联。定理 212 如果 a,b()是一个长度为 N 的多相 GCP,则序列对 int a,b(),int(a,-b)()是长度为 2N 的GCP,其中 int a,b()=a0,b0,a1,b1,aN-1,bN-1()表示序列 a 与 b 的交织。定理 312设(a,b)和(c,d)分别是长度为 L1和 L2的 2 个多相 GCP,则序列对ca,db,(da,-
