1、第 卷第期计算机集成制造系统 年月 ：收稿日期：；修订日期：。；基金项目：国家自然科学基金资助项目（，）；山西省自然科学基金面上资助项目（）；山西省回国留学人员科研资助项目（，）；山 西 省 留 学 回 国 人 员 科 技 活 动 择 优 资 助 项 目（）；山 西 省 研 究 生 优 秀 创 新 项 目（）。：，（，），（），（，），（），（）基于 理论的多部件系统剩余寿命核密度预测方法石慧，康辉，赵李志，董增寿（太原科技大学 电子信息工程学院，山西太原 ）摘要：各类工业系统的功能结构日趋复杂，部件间存在复杂的随机相关性是进行系统剩余寿命预测建模中不可忽视的重要因素。针对多部件系统，在研究部
2、件间随机相关性特征及其对连续退化状态影响的基础上，提出基于 理论的多部件系统实时剩余寿命非参数核密度预测方法。首先通过核密度估计得到各部件的退化分布函数；并采用 函数表征部件退化的随机相关性，利用赤池信息准则进行 函数优选；然后建立考虑存在连续退化随机相关性影响条件下可实时递推的部件剩余寿命预测模型；最后通过齿轮箱试验台进行试验，验证了所提模型的有效性和准确性。关键词：剩余寿命预测；多部件系统；随机相关性；函数；核密度估计中图分类号：文献标识码：，（，）：，；，；：；第期石慧 等：基于 理论的多部件系统剩余寿命核密度预测方法引言剩余寿命（，）预测是制定最优维修决策的前提和保证。根据剩余寿命预测
3、结果提前进行维修准备，可以有效减少故障的发生，进而提高系统的可用性和可靠性，降低或避免故障造成的重大损失，同时减少维修保障费用，具有重要的研究意义和实用价值。剩余寿命预测是系统故障预测和健康管理领域的核心。等对剩余寿命预测建模方面的研究进展进行了综述，其方法主要包括物理模型的方法、基于专家知识的方法和数据驱动的方法等。对大多数系统而言，难以建立准确的物理模型表征复杂系统的退化及故障的机理，同时获取有关系统完整的专家知识成本较高，而数据驱动方法仅依赖于观测数据，因此它们更常用于 预测中。现有的许多数据驱动实时剩余寿命预测方法需要进行模型结构假设及参数估计，需要假设其作为判断依据的随机取值的样本符
4、合某种特定模型结构，这些模型结构的假设与实际的物理模型之间常常存在较大的差距，同时参数估计的最优化过程有可能收敛到局部最小而不能保证全局最优，因而预测模型将不能保证最终渐近收敛于真实的样本模型。基于深度学习的数据驱动预测方法有强大的特征自学习能力，不需要事先对未知的退化模型进行假设，但其内部网络结构不能清楚地表征系统退化特征的变化。核密度估计（，）不需要对数据分布进行假设，完全从数据 出 发 研 究 分 布 特 征，是 一 种 非 参 数 估 计 方法。等 提出一种基于均值的监督学习聚类方法，称为监督核密度估计均值，将核密度估计用于数据分类。等 利用核密度估计方法来建立风速的概率密度函数模型，
5、通过与参 数 估 计 模 型 的 比 较 验 证 了 该 方 法 的 准 确 性。等 提出一种基于改进的核密度估计模型的检测算法估计风电机组的可靠性。张卫贞等 针对单部件系统建立相应的核密度估计模型，并进行寿命预测。但其仅针对单部件的退化过程及其剩余寿命预测展开研究。大型复杂系统往往是由相互作用的多个部件组成，部件之间的相互依赖关系是不可忽略的。多部件之间的相互依赖关系包括经济相关性、结构相关性和随机相关性。随机相关性影响着部件的退化状态和剩余寿命分布，是维修相关性产生的原因，因此考虑随机相关性影响的部件剩余寿命预测可以更为准确地反映系统的退化规律和未来状态。在以往的研究中，许多描述多部件系统
6、相关性的可靠性模型是通过研究部件失效对其他部件性能的影响来建立的。但在实际系统运行过程中难以获得故障率，部件发生故障之前的各部件的连续退化状态与实时剩余寿命的相关性在研究多部件系统预测与健康管理问题中更值得关注。针对多部件系统部件间相关性的建模，常用的方法有多维退化模型 、退化率相关模型 和基于 函数的退化相关模型 。多维退化模型一般采用多维正态分布来描述系统中各部件的退化过程，退化率相关模型仅考虑部件间随机相关性对退化率产生的影响，忽视了其对部件退化状态造成的影响，函数相较于前两种方法，在具体的多变量模型未知的情况下，可以灵活地构造多变量分布，是一种有效而灵活的随机变量间相关性建模方法，近年
7、来被广泛 应 用 于 可 靠 性 和 剩 余 寿 命 建 模 中。等 利用 函数建立了多部件系统在相同环境下考虑部件间随机相关性的可靠性模型。盖炳良等 和 等 利用 函数建立了的 随 机 相 关 的 两 部 件 系 统 退 化 模 型。杨 志 远等 基于伽马过程建立系统退化模型，使用 函数描述退化过程的相关性，进行系统可靠度分析和剩余寿命预测。等 提出一种基于维纳过程 的 产 品 预 测 方 法，其 相 关 性 用 函数来表征。但对于不同的应用问题，尤其存在连续退化随机相关多部件系统，很难建立一个剩余寿命预测模型完全包含所有复杂系统的情况。综上所述，本文依靠传感器获得的实时监测数据，考虑多部件
8、系统连续退化过程中部件间随机相关性影响，提出一种基于 理论的多部件系统非参数核密度剩余寿命预测方法。首先基于核密度估计求得部件的退化分布函数；然后采用 函数进行部件随机相关性建模，利用赤池信息准则选择最优的 函数，避免了不同类型的 函数可能导致的预测结果不准确的问题；最后建立连续退化过程中随机相关性影响的多部件系统非参数核密度剩余寿命预测模型并通过齿轮箱试验台进行试验，验证了所提模型的有效性和准确性。计算机集成制造系统第 卷基于非参数核密度估计的退化分布假设系统由个部件组成，其部件的退化过程表示为（），。设为部件当前监测时刻，内每单位时间随机退化特征增量为，。通过不同时刻的监测数据可求得在，内
9、个独立同分布退化增量样本，将其概率密度函数记为（），则（）的核密度估计为：?（）（）。（）式中：为部件选用的核函数窗宽，为部件的单位退化增量的样本数，（）为部件选用的核函数。由式（）可以推出，当样本数，窗宽且 时，?（）依概率收敛于（）。当样本数据已知时，样本点对估计的贡献度取决于核函数和所 选 择 带 宽 的 形 状，?（）完 全 由 核 函 数（）和窗宽决定。核函数（）可以反映分布密度函数在一点的值对该点邻域样本点密度的正比依赖关系。大量的仿真说明，当窗宽一定且样本数足够多时，核函数的类型对未知变量的概率密度函数估计影响不大，任何满足条件的函数均可用做核函数，但为了密度函数估计的合理性，可
10、选用 核 函 数，核 函 数，核函数，核函数和 核函数等，本文在分析其形状影响及光滑权重的基础上选用 核作为核函数：（）。（）窗宽影响拟合效果，对概率密度函数估计的准确性具有较大影响。取值过大时，平均的影响突出，使密度函数的细节变得模糊，不能清楚地反映密度函数的特点；若取值过小，随机性的影响会增强，使密度函数变的不光滑，不能很好地反映密度函数的趋势。因此，随着样本数据的变化可采用均方误差最小准则来选取最优的窗宽，进而准确估计其概率密度函数。常用的准则包括积分均方误差准则（，）和渐进积分 均 方 误 差 准 则（，）。可以更精确地平衡偏差项和方差项的阶数，更适合应用于核密度估计 中 最 优 窗
11、宽 的 计 算，因 此 采 用 极 小 化 来求解窗宽的最优解。其表达式为：（）?（）（）（）（）（）（）。（）令 ，可求得最优窗宽 为：（）（）（）（）。（）通过式（）可求得时刻退化增量样本的概率密度函数?（），则部件在当前监测时刻累积退化的概率密度函数，记为（），可通过?（）的重卷积得到：?（）?（）（）。（）在时刻部件新增一个样本数据时，未知密度函数（）的核密度估计为：?（）（）（）（）（）（）?（）（）（）（）。（）相应的累积退化概率密度函数为：?（）?（）（）。（）随着实时监测的进行，监测到的样本数据不断增多，样本的核密度估计也随之不断更新。设在时刻部件累积特征退化量首次到达故障阈值
12、，定义部件首次到达故障阈值时间与当前时刻之差为剩余寿命 ，可依据退化分布的核密度估计模型，求得部件在时刻的剩余寿命的分布函数（）为：（）（）（）?（）。（）由式（）可得?（）?（）（），代入式（）同时经过换元积分变换后得到部件在时刻预测第期石慧 等：基于 理论的多部件系统剩余寿命核密度预测方法的剩余寿命分布函数（）为：?（）（）（）（）。（）则相应的剩余寿命概率密度函数?（）为：?（）?（）（）（）（）。（）考虑随机相关性的剩余寿命建模 退化之间的相关性分析建立部件间退化相关性模型，首先需要分析系统各部件之间是否存在相关性。常用的相关性分析方法有 系数、系数和 系数。系数具有很好的捕获线性相关
13、性的能力，但在非线性相关噪声方面表现较差；秩相关系数用于测量两个有序数列之间对应程度的非参数统计量，对于非高斯噪声，秩相关系数比 相 关 系 数 更 适 合，并 且 表 现 出 比 秩相关系数更强的鲁棒性和有效性 ，因此选择 系数进行部件退化的相关性分析。秩相关系数是衡量系统中各部件之间相关性的重要指标，的取值范围为，当为时，表示两个随机变量相互独立。设，和，分别为部件和部件的样本数据，可组成容量为的成对数据集，其中（，）和（，）（）为任意元素，则可表示为：（），（）（），。（）其中：（），（）（）；，（）（）；，（）（）。采用 秩相关系数判断其部件间存在相关性后可通过 函数表征其相关关系。考
14、虑随机相关性的多部件剩余寿命预测模型假设系统中个部件存在随机相关性，其剩余寿命联合分布函数（，）为维分布函数，可用 函数表示为：（，）（），（），（）；）（，；）。（）式中为相关参数，用来表征相关性程度。根据 定理可知，选择合适的 函数就可以通过 函数得到退化分布函数的联合分布函数。将部件的剩余寿命的退化分布函数式（）带入式（）中得：（，）（），（），（）；）?（）（）（），?（）（）（），?（）（）（）；。（）式中：，分别为相应部件的退化故障阈值，（），（），（）为不考虑随机相关性的剩余寿命分布函数，（，）为个部件的联合剩余寿命分布函数。则联合分布的概率密度函数为：（，）（），（），（）（）
15、。（）式中（），（），（）为 函数的联合概率密度函数，（），（），（）（），（），（）（）（）（）。（）第个部件在考虑随机相关性下的条件分布函数为：（，）?（）（）（）?（）（）（），?（）（）（），?（）（）（），?（）（）（）计算机集成制造系统第 卷?（）（）（），?（）（）（），?（）（）（），?（）（）（）?（）（）（）?（）（）（）?（）（）（）?（）（）（）。（）由于（，）是维的联合分布函数，不考虑随机相关性的剩余寿命分布函数（），（），（），（）值域为，条件分布函数（，）的值域为，且（，）是连续的，令（，）。根据反函数的相关性质，考虑随机相关性的边缘分布函数?（）表达式为：?（）
16、（，）（），（），（），（）。（）考虑随机相关性的剩余寿命分布的概率密度函数?（）为：?（）?（）。（）表中列举了几种常见的 函数形式。表常见的 函数函数（，）参数范围 （）（）（），（），（，）（，）（）（）（）（）（，）（，）在实际应用中，函数的种类很多，如表所示为种常用的 函数形式，选择不同的 函数进行研究，可能会导致不同的分析结果。赤池信息准则（，）、贝叶斯信息准则（，）和交叉验证法（，）是统计 学 中 模 型 选 择 和 评 价 的 重 要 工 具。等 通过实验验证了 和 比 准则的计算速度更快，准则可用于衡量估计模型的复杂度与退化数据拟合程度，且能更好地避免参数过拟合，因此采用 准则来检验函数拟合的优劣性，值越小表明模型越适合。通过 准则选择最优的 函数，表达式为：。（）式中：为样本个数，和分别表示 函数的似然函数值和参数个数。对于 函数中的未知参数，本文采用极大似然函数进行估计。首先利用非参数核密度估计得到退化分布函数，然后利用极大似然估计方法估计 函数中的未知参数。?（?（），?（），?（）；）。（）通过式（）求得不同 函数的参数及其似然函数值，将其似然函数值代入式（）
