1、11.4函数的单调性与极值 最值一、明确复习目标1.了解可导函数的单调性与其导数的关系；2.了解可导函数在某点处取极值的必要条件和充分条件，会求一些实际问题（单峰函数）的最大值与最小值。二建构知识网络1.函数的单调性（1）函数y=f(x)在某个区间内可导，假设f (x)0，那么f(x)为增函数；假设f (x)0，那么f(x)为减函数。（2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法。确定函数f(x)的定义区间；求f (x)，令f (x)=0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；把函数f(x)的间断点即包括f(x)的无定义点的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的
2、定义区间分成假设干个小区间；确定f (x)在各小区间内的符号，根据f (x)的符号判定f(x)在每个相应小开区间内的增减性。例如：求函数y=(x21)(x24)单调区间。2.可导函数的极值（1）极值的概念设函数f(x)在点x0附近有定义，且假设对x0附近所有的点都有f(x)f(x0)（或f(x)f(x0)），那么称f(x0)为函数的一个极大（小）值，称x0为极大（小）值点。（2）求可导函数f(x)极值的步骤求导数f (x)； 求方程f (x)=0的根；检验f (x)在方程f (x)=0的根的左右的符号，如果根的左侧为正，右侧为负，那么函数在此处取得极大值；如果在根的左侧为负，右侧为正，那么函数
3、在此处取得极小值。3.函数的最大值与最小值（1）设y= f(x)是定义在区间a,b上的函数，并在（a,b）内可导，求函数在a,b上的最值可分两步进行：求y= f(x) 在（a,b）内的极值；将y= f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。（2）假设函数f(x)在a,b上单调递增（或递减），那么f(a)为函数的最小值（或最大值），f(b)为函数的最大值（或最小值）。三、双基题目练练手1(2023广东)函数f(x)=x3-3x2+1是减函数的区间为（ ）ABCD（0，2）2函数y=1+3xx3有A.极小值2,极大值2, B.极小值2,极大值3C
4、.极小值1,极大值1, D.极小值1,极大值33(2023全国)函数f(x)=x3+ax2+3x9f(x)在x=3时取得极值，那么a=（ ）A2B3C4D54. 函数y=2x（x0）的最大值为_.5.（2023北京）是上的减函数，那么的取值范围是 6.如果函数y=f（x）的导函数的图象如以下列图所示,给出以下判断:函数y=f（x）在区间（3,）内单调递增;函数y=f（x）在区间（,3）内单调递减;函数y=f（x）在区间（4,5）内单调递增;当x=2时,函数y=f（x）有极小值;当x=时,函数y=f（x）有极大值.那么上述判断中正确的选项是_简答:14.DDD；4.y=2, 当0x时，y0,为增
5、函数.当x时，y0,是减函数.x=时，y有最大值.5. ； 6. 当x（4,5）时,恒有f（x）0.答案:四、经典例题做一做【例1】函数f（x）=2ax,x（0,1.（1）假设f（x）在x（0,1上是增函数，求a的取值范围；（2）求f（x）在区间（0,1上的最大值.分析:（1）要使f（x）在（0,1上为增函数，需f（x）0,x（0,1）.（2）利用函数的单调性求最大值.解:（1）由可得f（x）=2a+,f（x）在（0,1）上是增函数，f（x）0,即a, x（0,1.a1.当a=1时，f（x）=2+对x（0,1）也有f（x）0，满足f（x）在（0,1上为增函数，a1.（2）由（1）知,当a1时,
6、f（x）在（0,1上为增函数,f（x）max=f（1）=2a1.当a1时，令f（x）=0得x=,01,0x时,f（x）0; x1时，f（x）0.f（x）在（0, ）上是增函数，在（,1减函数.f（x）max=f （）=3.解法点评:求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.【例2】 (2023天津) 函数，其中xR,为参数，且00时，随x的变化f(x)的符号及f(x)的变化情况如下表：x0f/(x)+0-0+f(x)极大值极小值因此，函数f(x)在处取得极小值，且要使，必有，可得由于，故当时cos0，那么cosx0。矛盾。所以当cosx0时，f(x)的极小值不会
7、大于零。综上，要使函数f(x)在(,+)内的极小值大于零，参数的取值范围为。（III）由（II）知，函数f(x)在区间与内都是增函数。由题设，函数f(x)在(2a-1,a)内是增函数，那么a须满足不等式组 或 由（II），参数时时，。要使不等式关于参数恒成立，必有，即。综上，解得或。所以的取值范围是。特别提示：对于求单调区间、极值、最值问题，根据导数的零点把定义区间分开，列出表格，再分析各区间导数的符号，进而确定单调区间、极值最值，清楚直观不易出错。【例3】(2023福建) 统计说明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：(00f（x
8、）为增函数（x）0，函数f（x）=x3ax在1，+）上是单调增函数，那么a的最大值是A0 B1 C2 D32.(2023天津)函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)内的图象如下列图，那么函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ ）A1个 B2个 C3个D 4个3f（x）=（x1）2+2，g（x）=x21，那么fg（x）A.在（2，0）上递增 B.在（0，2）上递增C.在（，0）上递增 D.在（0，）上递增4.函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数A.（,） B.（,2）C.（, ） D.（2,3）【填空题】5.函数的单调增区间是 6.函数f(x)=sin2x-x,(-x)的最大值是 ，最小值是 。简答提示：14：DACC ；1. （x）=3x2a在1，+)上，（x）0恒成立，即a3x2在1，+）上恒成立，a
