1、第四章 三角函数知识结构网络4.1 三角函数的概念与根本公式三角函数阐述了自然界中奇妙有趣的数量关系，是非常有用，而且益智的数学知识一、明确复习目标1.熟悉任意角的概念、弧度制与角度制的互化、弧度制下的有关公式;2.掌握任意角的三角函数概念、符号、同角三角函数公式和诱导公式;二建构知识网络1 角的定义：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。2.角在直角坐标系中的表示：角的顶点在原点，始边在x轴的非负半轴上.(1) 象限角:角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。(2) 象间角:角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象间角
2、。(3) 与角终边相同的角的集合：|=k360+,kZ终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍。(4) 正确理解：“间的角 “第一象限的角，“锐角，“小于的角，这四种角的集合分别表示为：， 。3弧度制: 规定(1)等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角,作为弧度制的单位;(2) 任一角的弧度数的绝对值。(3) 正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。这种以“弧度作为单位来度量角的制度叫做弧度制。比值l/r与所取圆的半径大小无关，而仅与角的大小有关。4弧度与角度的换算：1800=（弧度），1弧度=（180/）057018。5弧长公式:; 扇形的面
3、积公式： 。6. 任意角三角函数的定义:在角的终边上任意一点P（x，y）与原点的距离是r（r=0），那么sin=，cos=，tan=.三角函数两件事:一是符号,二是比值,且比值与P上在终边上的位置无关.7.同角三角函数关系式:sin2+cos2=1（平方关系）；=tan（商数关系）；tancot=1（倒数关系）.8.诱导公式+2k（kZ）、2的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.函数名不变，符号看象限。另外：sin（）=cos，cos（）=sin.函数名改变。三、双基题目练练手1.sin=，cos =，那么的终边在 （）A.第一象限B.第三或第四象限C.第三象
4、限D.第四象限2. (2023全国)设,且,那么 （ ）A. B. C. D. 3. 角的终边过点P（8m，6cos60）且cos=，那么m的值是（）A.B.C.D.4. cos=，且0，那么=_.5. sin=，sin（+）=1，那么sin（2+）=_.6. sin=，cos=，假设是第二象限角，那么实数a=_简答:1-3.DCA; 4. ; 5. ; 6. .1.结合三角函数线知在第四象限. 答案：D法2: sin=0，cos= 0，终边在第四象限.3. cos=.m=或m=（舍去）答案：A4.从cos=中可推知sin、cot的值，再用诱导公式即可求之.5. sin（+）=1，+=2k+.
5、sin（2+）=sin2（+）=sin=.6.依题意得解得a=或a=1（舍去）.四、经典例题做一做【例1】是第二象限的角（1） 指出2所在的象限，并用图象表示其变化范围；（2） 假设还满足条件|+2|4，求的取值区间;（3） 假设,求的范围. 解：依题意，2k+/22k+（kZ）（1） 所以k+/4/2k+/2（kZ），假设k为偶数，那么/2是第一象限的角；假设k为奇数，那么/2是第三象限的角；其变化范围如图中的阴影局部所示（不含边界）（2） 因为|+2|4，所以62，即（2k+/2，2k+）6，2，结合数轴可知，（3/2，）（/2，2。(3)又提炼方法: 理解象限角、终边相同的角、区间角的概
6、念，掌握角的取值范围与2、/2角的取值范围间的相互关系。【例2】化简（1） （） （2）; (3) 假设sincos0，sintan0，化简+. 解：（1）当k为偶数时，原式=1；当k为奇数时同理可得，原式=1，故当时，原式=-1。 （2）原式=3(3)由所给条件知是第二象限角，那么是第一或第三象限角.原式=关键点注:（1）分清k的奇偶，决定函数值符号是关键；（2）平方式降次是化简的重要手段之一。【例3】（1）确定lg（cos6sin6）的符号； （2）假设+=0，判断cos（sin）sin（cos）的符号。 解：（1）6是第四象限的角，cos60，sin60，故cos6sin60；（cos6
7、sin6）2=1-2sin6cos61，cos6sin61，lg（cos6sin6）0（2）由题意可得=0，sincos0，故在第二或第四象限。 假设在第二象限，那么0sin1，-1cos0，cos（sin）0，sin（cos）0；原式0。 假设在第四象限，那么-1sin0，0cos1，cos（sin）0，sin（cos）0；原式0。 思路方法:判断角所在的象限是解决此类问题的关键。对于用弧度制表示的角不好判定所在象限时，可转化成角度来表示。【例4】时钟上自7点整到分针与 时针第一次重合,求分针转过的弧度数.如果分针长11cm,求分针转过扇形的面积.解:设分针转过的弧度数的绝对值为x,那么时针
8、转过的角的弧度数的绝对值为,由分针、时针转过的时间相等得：（分钟）。分针转过扇形的面积 答：分针转过，转过扇形的面积为77cm2.【研讨.欣赏】证明：(1)(2) 假设sin=msin,tan=ntan,且,为锐角,那么证明(1)法一：右边=左边法二：要证等式即证只需证 即证即显然成立,所以原等式成立。(2)(注意结论,应消去)由 由sin=msin 得,代入得ncos=mcos与平方相加得(n2-1)cos2=m2-1.是锐角, 思维点拨：证等式常用方法：从一边推另一边；化繁为简；左右归一；变形论证；综合法；比较法等.常用变形技巧：切割化弦，化异为同，凑分母，“的代换五提炼总结以为师1.任意
9、角、弧度制、与角度制的互化，弧长、扇形面积公式；任意角的三角函数概念.2.在一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并就不同的象限正确确定三角函数值的符号,求出相应的值.3.弦切互化、三角代换、消元是三角变换的重要方法，要注意公式的变形使用，要尽量减少开方运算，慎重确定符号.,并注意“1的灵活代换:如1=sin2+cos2=sec2tan2=csc2cot2=tancot.4.应用诱导公式，重点是“函数名称与“正负号的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限的口诀.5.，三个式子中，其中一个式子的值，求出其余两个式子的值。同步练习 4.1 三角函数的概念与根本公
10、式【选择题】1.（2022. 辽宁卷）假设的终边所在象限是( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2.（2023山东）函数，假设，那么的所有可能值为 （ ） （A）1 （B） （C） （D）3.设、是第二象限的角，且sinsin，那么以下不等式能成立的是 ( )A.coscosB.tantanC.cotcotD.secsec【填空题】4.化简=_.5.sin+cos=，那么角是第_象限的角.6.扇形的周长为20，当扇形的半径r=_时，扇形的面积最大，面积的最大值等于_；练习简答：1-3.DBA; 3.A与D互斥，B与C等价，那么只要判断A与D对错即可.利用单位圆或特殊值法，易知选A. 4
11、.=|sin4cos4|=sin4cos4.5.两边平方得1+2sincos=，sincos=0.是第二或第四象限角.6.当时面积最大，最大值为25【解答题】7.，求的范围。 解：设2-=A（+）+B（-），（A，B为待定系数），那么2-=（A+B）+（A-B）。比较两边的系数得A=，B=；2-=（+）+（-），从而可求得26。思维点拨:解决此类问题要用待定系数法，千万不能先由条件得出、的范围，再求2的范围比实际范围要大。8.，求（1）的值；（2）的值。解：（1）法一：由sin=2cos，原式=； 法二：，cos0，原式=。（2）=提炼方法：关于的齐次式的一般处理方法。.(1)，求的值。（2）
12、解：(1)由得，所以是方程的两根，而思维点拨：常用关系，那么在解题中的作用。 (2)原式=当n为奇数时，设，那么原式=。当n为偶数时，设，同理可得原式=0。1. 求证：证明：左边=右边=所以原等式成立（1），求的值。 （2）(0,),且sin,cos是关于x的方程 5x2-x+m=0的根,求sin3+cos3和tan的值. 解：（1）条件中的表示10条不同终边的角，这10条终边分成5组，每组互为反向延长线，余弦值的和为零.f（1）+f（2）+f（2022）= f（1）+f（2）+f（4）+f(5)+f(6)+ f(2022)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4) （2）由韦达定理得: 由(sin+cos)2=1+2sincos得,Sin3+xos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)=(sin+cos)(1-sincos)=又0,sincos0,cos0sin-cos=.【探索题】是否存在、，（，），（0，）使等式sin（3）=cos（），cos（）=cos（+）同时成立假设存在，求出、的值；假设不存在，请说明理由. 解：由条件得2+2得sin2+3cos2=2，cos2=.（，），=或=.将=代入得cos=.又（0，），=，代入可知，符合.将=代入得=，代入可知，不符合.
