1、4.5 三角函数的图象和性质一、明确复习目标1.掌握正、余弦函数，正余切函数的性质; 2.能把一般的三角函数变形为y=Asin(x+)的形式,并能求解它的周期、最值、单调区间以及奇偶性、图象的对称性等问题。二建构知识网络1三角函数的性质：(结合图象理解, 表中）)y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx定义域RRxR|xk值域-1,1-1,1RR周期22奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数增区间无减区间无 (k,k+)对称轴x=k无对称中心(,0)2. 函数y=Asin(x+),xR（其中A0,0）的性质：周期：; 单调递增区间:由2 k-x+2 k+ （kZ）可解得. 单调递减区间.由2
2、k+x+2 k+(kZ）可解得.类似可求,对称轴和对称中心.特别提醒：假设A或是负数，单调区间应在相反的单调区间内求。y=Acos(x+)也类似。3.三角函数求最值的方法: 化Asin(x+), 换元法,配方法,数形结合,不等式法,单调性法等.三、双基题目练练手1.(2023浙江)k4，那么函数ycos2xk(cosx1)的最小值是 ( )(A) 1 (B) 1 (C) 2k1 (D) 2k12(2023全国)函数的单调增区间为 ( )A B C D 3（2023江西）设函数为 （ ）A周期函数，最小正周期为B周期函数，最小正周期为C周期函数，数小正周期为D非周期函数4sin+cos=1，那么
3、y=sin2+cos的取值范围是_.5. 为了使y=sinx（0）在区间0，1上至少出现50次最大值，那么的最小值是6. ，的最小正周期是_7.给出以下命题：正切函数的图象的对称中心是唯一的；y=|sinx|、y=|tanx|的周期分别为、；假设x1x2，那么sinx1sinx2；假设f（x）是R上的奇函数，它的最小正周期为T，那么f（）=0.其中正确命题的序号是_.答案:1-3.ACA; 4. y=sin2sin+1=（sin）2+. cos=1sin. sin0，1y，1.(此题易错解为y=sin2+1sin，sin1，1，求y的取值范围.)5.49T1，即1，.答案思考：假设条件改为在x
4、0，x0+1上至少出现50次最大值呢？6.化为一个角的三角数 周期是； 7. 答案：四、经典例题做一做【例1】（2022春北京）函数f（x）=，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.解：由cos2x0得2xk+，解得x+（kZ）.所以f（x）的定义域为x|xR且x+，kZ.因为f（x）的定义域关于原点对称，且f（x）=f（x），所以f（x）是偶函数.又当x+（kZ）时，f（x）=3cos2x1=，所以f（x）的值域为y|1y或y2.提炼方法：对复杂的函数式,要先化简为Asin(x+)+m,或Acos(x+)+m的形式,再讨论性质.【例2】 锐角x、y满足sinycscx=cos（x+
5、y）且x+y，求tany的最大值.和取最大值时角x的集合.解：sinycscx=cos（x+y），sinycscx=cosxcosysinxsiny，siny（sinx+cscx）=cosxcosy.tany=，当且仅当tanx=时取等号.tany的最大值为.对应角x的集合为 提炼方法：先由变换出tany与x的函数关系，再用不等式求最值;是三角、函数、不等式知识的综合应用。【例3】（2023辽宁）函数，.求:（I）函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；（II）函数的单调增区间.（I）解法一： 当，即时，取得最大值因此，取得最大值的自变量的集合是 解法二： 当，即时，取得最大值因此，取得最大值
6、的自变量的集合是 （II）解：由题意得，即因此，的单调增区间是 【例4】是否存在实数a，使得函数在闭区间上的最大值是1？假设存在，求出对应的a值？假设不存在，试说明理由。解：当时，令那么，综上知，存在符合题意。思维点拨：化，闭区间上的二次函数的最值问题字母分类讨论思路。【研讨.欣赏】（2022江苏）函数上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数.求的值。解：由是偶函数，得，即，所以,对任意x都成立，且，所以得，依题设，所以解得. 由的图象关于点M对称，得，取得所以， .当k=0时，上是减函数；当k=1时，上是减函数；当时，上不是单调函数.所以，综合得. 五提炼总结以为师1.熟记三角函数
7、的图象与各性质很重要.2.设参可以帮助理解,熟练了以后可以省却这个过程.3.要善于运用图象解题，数形结合，数形转化。同步练习 4.5 三角函数的图象和性质 【选择题】1.(2023福建9)函数在区间上的最小值是，那么的最小值等于 ( )（A）（B）（C）2（D）32.（2023全国卷）函数内是减函数，那么（ ）A01B10C1D13.（2023辽宁）函数,的值域是 （ ）（A）（B） （C） （D） 4.（2023 全国卷）函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是 （ ）ABCD2【填空题】5.函数的最小值等于_。6. 半径为R的圆的内接矩形周长的最大值等于_.练习简答：1-4：BB
8、CC；5. 令t=sinx+cosx，那么y=最小值6.4R.【解答题】7.设，假设方程有两解，求的取值范围。解：设，要使两函数图象有交点,由图可知。8.(2023 浙江)函数f(x)sin2xsinxcosx () 求f()的值； () 设(0，)，f()，求sin的值解：() () 解得 9. (2023陕西)函数f(x)=sin(2x)+2sin2(x) (xR)()求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合 解:() f(x)=sin(2x)+1cos2(x) = 2sin2(x) cos2(x)+1 =2sin2(x)+1 = 2sin(2x) +1
9、T= ()当f(x)取最大值时， sin(2x)=1，有 2x =2k+ 即x=k+ (kZ) 所求x的集合为xR|x= k+ ， (kZ)10.函数（a(0，1)），求f(x)的最值，并讨论周期性，奇偶性，单调性。解:三角函数式降幂 f(x)= 令 那么 y=au 0a1 y=au是减函数 由得，此为f(x)的减区间由得，此为f(x)增区间 u(-x)=u(x) f(x)=f(-x), f(x)为偶函数 u(x+)=f(x), f(x+)=f(x) f(x)为周期函数，最小正周期为当x=k（kZ）时，ymin=1当x=k+（kZ）时，ynax=【探索题】函数f（x）=12a2acosx2si
10、n2x的最小值为g（a），aR，（1）求g（a）；（2）假设g（a）=，求a及此时f（x）的最大值.解：（1）f（x）=12a2acosx2（1cos2x）=2cos2x2acosx12a=2（cosx）22a1.假设1，即a2，那么当cosx=1时，f（x）有最小值g（a）=2（1）22a1=1；假设11，即2a2，那么当cosx=时，f（x）有最小值g（a）=2a1；假设1，即a2，那么当cosx=1时，f（x）有最小值g（a）=2（1）22a1=14a.g（a）=（2）假设g（a）=，由所求g（a）的解析式知只能是2a1=或14a=.由a=1或a=3（舍）.由a=（舍）.此时f（x）=2
11、（cosx+）2+，得f（x）max=5.假设g（a）=，应a=1，此时f（x）的最大值是5.备选题5函数的值域是_ (2023安徽)设，对于函数，以下结论正确的选项是( ）A有最大值而无最小值 B有最小值而无最大值C有最大值且有最小值 D既无最大值又无最小值【例1】 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值，假设x0，呢？剖析：注意sinx+cosx与sinxcosx之间的关系，进行换元可将原函数转化成一元二次函数来解.解：令t=sinx+cosx=sin（x+），那么y=t2+t+1，3+，即最大值为3+，最小值为.当x0，时，那么t1，此时y的最大值是3+，
12、而最小值是3.评述：此题考查的是换元法，转化思想，在换元时要注意变量的取值范围.(2023广东)函数（）求的最小正周期；（）求的最大值和最小值；（）假设，求的值 解：（）的最小正周期为;（）的最大值为和最小值；（）因为，即,即 (2023春上海19) 函数.（1）假设，求函数的值； （2）求函数的值域. 19. 解（1）， . （2）， ， ， ， 函数的值域为. 6.化简并求函数的值域和最小正周期和递增区间.解： 所以函数f(x)的值域为，最小正周期由.(kZ)(2023上海) 求函数的值域和最小正周期. 解 函数的值域是,最小正周期是；（2023重庆卷）假设函数的最大值为，试确定常数a的值.解：因为的最大值为的最大值为1，那么所以8.（） 假设xR，求f(x)的单调递增区间；（） 假设时，f(x)的最大值为4，求的值解(1)由使,解得,
