1、5.5 复数一、明确复习目标1.了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义.2.掌握复数代数形式的运算法那么，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算3.了解从自然数系到复数系的关系及扩充的根本思想二建构知识网络1 虚数单位i：i2=1，实数可以与它进行四那么运算，原有的加、乘运算律仍成立；就是1的一个平方根，即方程x2=1的一个根，方程x2=1的另一个根是；i具有周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1（nN）.2 形如：z=a+bi（a,bR）的数叫复数(代数形式), a叫实部，b叫虚部.复数（集C）的分类： NZQRC3.复数相等：设a,b,c,dR，
2、那么a+bi=c+dia=c,b=d；a+bi=0a=b=0；利用复数相等的条件转化为实数问题是解决复数问题的常用方法；4. 复数的模：.两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小；5共轭复数：实部相等，虚部互为相反数：a+bi和abi（a,bR）；Z的共轭复数用表示,特别地:6复平面、实轴、虚轴：复数z=a+bi(a、bR)可用点Z(a，b)表示，,虚轴上的点,除原点外,都表示纯虚数.和向量一样,复数也可用有向线段表示,复数的加减法运算也可按平行四边形法那么或三角形法那么进行.7掌握复数的和、差、积、商运算法那么：z1z2=(a+bi) (c+di)=(ac)+(bd)i； (a+bi)(
3、c+di)=(acbd)+(bc+ad)i；(a+bi)(c+di)= i（即分子分母同乘以分母的共轭复数,再化简）.复数运算满足加、乘的交换律、结合律、分配律.8.由复数相等的定义知:实系数一元二次方程ax2+bx+c=0在当|z2|成立，试求实数a的取值范围.简答:1-4.BCDD; 5.i ; 6.；7.4; 8.|z1|z2|即(2a-1)x21-a2恒成立,得四、经典例题做一做【例1】设复数z=lg（m22m2）（m23m2）i，试求实数m取何值时，(1)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z对应的点位于复平面的第二象限解：(1)由lg（m22m2）=，m23m2，得m=3(2)由m2
4、3m2=，得m=1或m=2(3)由 lg（m22m2），m23m2，得1m1或1m3点评：对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样【例2】（2023上海）在复数范围内解方程(i为虚数单位)解. 原方程化简为, 设z=x+yi(x、yR),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i, x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=, 原方程的解是z=-i.提炼方法：设z=x+yi(x、yR),利用复数相等的定义.【例3】设aR,z=x=yi,(x,yR),满足是纯虚数，求x,y应满足的条件解：设=ki(kR,k0) 那么z2a2=ki(z2+a2)z2(1ki)=a
5、2(1+ki), (x2y2+2xyi)(1ki)=a2+a2ki,消去参数k即得：x2+y2=a2,提炼方法： (1)纯虚数的概念; (2)虚部的概念; (3)化复数问题为实数问题的化归思想(设z=a+bi(a,bR);(4)假设两个复数能比较大小，那么它们都是实数 (5) 实轴,虚轴的概念【例4】(2023春上海) 复数满足为虚数单位），求一个以为根的实系数一元二次方程.解法一 ，. 假设实系数一元二次方程有虚根，那么必有共轭虚根. ， 所求的一个一元二次方程可以是. 解法二 设 ， 得 ， 以下解法同解法一. 【研讨.欣赏】设zC，求满足z+R且|z2|=2的复数z.分析：设z=a+bi
6、(a、bR)，代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得a、b的两个方程解法一：设z=a+bi，那么z+=a+bi+=a+bi+=a+(b)iRb=b=0或a2+b2=1当b=0时，z=a，|a2|=2 a=0或4a=0不合题意舍去，z=4当b0时，a2+b2=1又|z2|=2，(a2)2+b2=4解得a=，b=，z=i综上，z=4或z=i解法二：z+R，z+ = +(z)=0，(z)=0z=或|z|=1，下同解法一点评：解法一设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究;解法二利用复数是实数的条件复数问题实数化.这些都是解决复数问题的常用方法五提炼总结以为师1.复数的加、减、乘、除运算一
7、般用代数形式进行;2.求解计算时，要充分利用i的性质计算问题;3.在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用;4.复数问题实数化是解决复数问题的最根本也是最重要的思想方法.同步练习 5.5复数 【选择题】1.（2023山东） ( )A. B. C. D. 2.(2023广东)假设，其中a、bR，i是虚数单位，那么=A0 B2 CD5 ( )3.(2023福建1)设那么复数为实数的充要条件是( )A.B.C.D.4.(2023浙江4)在复平面内，复数(1i)2对应的点位于 ( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【填空题】5.（2023全国）复数的共轭复数是 _6.
8、(2023湖南)复数zii2i3i4+i2023=_7.(2023广东) 假设复数满足方程，那么_ 8.(2023全国).复数z0=3+2i, 复数z满足zz0=3z+z0，那么z= 9.假设 , ，且为纯虚数，那么实数a的值为_ 10.假设复数（aR，i为虚数单位位）是纯虚数，那么实数a的值为_ 练习简答:1-4.DDDB; 5.-i ; 6.0; 7.; 8.; 9.; 10.-6.【解答题】11.z是复数，z+2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围解：设z=x+yi(x、yR)，z+2i=x+(y+2)i，由题意得y=2=(x
9、2i)(2+i)=(2x+2)+ (x4)i由题意得x=4，z=42i(z+ai)2=(12+4aa2)+8(a2)i，根据条件，解得2a6，实数a的取值范围是(2，6)12. 复数当求a的取值范围，解：因故a的取值范围是13. ，且复数的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数的模；解. 即14. 设复数z=+，问当x为何实数时，z是实数， 虚数， 纯虚数， z在复平面上对应的点在实轴上方，|z|=1解：当，即x=a或时z为实数；当，即且时z为虚数；当0且，即x=1时z为纯虚数.假设0a1，那么0x；假设a1，那么xa或0x时z对应的点在实轴上方；当1即x=1时，|z|=1【探索题】设z是虚数，=z+是实数，且12（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设u=，求证：u为纯虚数；（3）求u2的最小值解（1）：设z=a+bi(a、bR，b0)，那么=a+bi+=(a+)+(b)i是实数，b0，a2+b2=1，即|z|=1=2a，12，z的实部的取值范围是(，1) （2）证明：u= =ia(，1)，b0，u为纯虚数（3）解：u2=2a+=2a1+=2(a+1)+3a(，1)，a+10u2223=1当a+1=，即a=0时，上式取等号u2的最小值为1
