1、94二面角及平面的垂直一、明确复习目标1.掌握两平面垂直的判定和性质，并用以解决有关问题2.掌握二面角及其平面角的概念，能灵活作出二面角的平面角，并能求出大小3在研究垂直和求二面角的问题时，要能灵活运用三垂线定理及逆定理二建构知识网络1.二面角、平面角的定义；范围：.两个平面相交成900二面角时，叫两个平面垂直.2判定两平面垂直的方法：利用“面面垂直的定义，即证“两平面所成的二面角是直二面角；利用“面面垂直的判定定理，即由“线面垂直面面垂直.3二面角的平面角的作法：直接利用定义；利用三垂线定理及其逆定理; 作棱的垂面.三、双基题目练练手1.在三棱锥ABCD中，假设ADBC，BDAD，BCD是锐
2、角三角形，那么必有( )A.平面ABD平面ADCB.平面ABD平面ABCC.平面ADC平面BCDD.平面ABC平面BCD2.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面.考查以下命题，其中正确的命题是 （ ） 3.设两个平面、，直线l ，以下三个条件： l ; l;,假设以其中两个作为条件，另一个作为结论，可构成正确命题的个数是 （ ）A.3 B.2 C. 1 D. 04.P为ABC所在平面外的一点，那么点P在此三角形所在平面上的射影是ABC垂心的充分必要条件是A.PA=PB=PC B.PABC，PBAC ( )C.点P到ABC三边所在直线距离相等D.平面PAB、平面PBC、平面PAC与ABC所在
3、的平面所成的角相等5如图在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.6.夹在互相垂直的两个平面之间长为2a的线段和这两个平面所成的角分别为45和30，过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线，那么两垂足间的距离为_. 答案提示：1-4.CBBB； 5. MDPC或MBPC ; 6. a四、典型例题做一做【例1】 如以下列图，在三棱锥SABC中，SA平面ABC，平面SAB平面SBC.（1）求证：ABBC；（2）假设设二面角SBCA为45，SA=BC，求二面角ASCB的大小. ABCSEH证明（1）：作AHSB于H，
4、平面SAB平面SBC， AH平面SBC. ，又SA平面ABC， SABC.SASB=S，BC平面SAB. BCAB.解（2）：SA平面ABC，SABC.平面SABBC，SBA为二面角SBCA的平面角. SBA=45.设SA=AB=BC=a.作AESC于E，连结EH.由(1)知AH平面SBC, AE在面SBC内的射影EHSC，AEH为二面角ASCB的平面角，AH=a，AC=a，SC=a，AE=a，sinAEH=，二面角ASCB为60.【例2】 正三棱柱ABCA1B1C1，假设过面对角线AB1且与另一面对角线BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一边A1C1于点D.（1）确定D的位置，并证明你的结
5、论；（2）证明：平面AB1D平面AA1D；（3）假设ABAA1=，求平面AB1D与平面AB1A1所成角的大小. C1_B1_A1_BCA分析：此题结论不定，是“开放性的，点D位置确实定如果仅凭条件推理难以得出.由于AB1与BC1这两条面对角线是相邻二侧面上的异面直线，于是可考虑将BC1沿BA平行移动，BC1取AE1位置，那么平面AB1E1一定平行BC1，问题可以解决.（1）解：如以下列图，将正三棱柱ABCA1B1C1补成一直平行六面体ABCEA1B1C1E1，由AE1BC1，AE1平面AB1E1，知BC1平面AB1E1，故平面AB1E1应为所求平面，此时平面AB1E1交A1C1于点D，由平行四
6、边形对角线互相平行性质知，D为A1C1的中点. AE1B1C1BCEDA1（2）证明：连结B1D，那么B1DA1C1;从直三棱柱定义知AA1底面A1B1C1，AA1B1D, 又A1DAA1=A1，B1D平面AA1D，又B1D平面AB1D，平面AB1D平面AA1D.（3）解：因为平面AB1D平面AA1D=AD，所以过A1作A1HAD于点H.作HFAB1于点F，连结A1F，从三垂线定理知A1FAB1.故A1FH是二面角A1AB1D的平面角.设侧棱AA1=1，侧棱AB=.于是AB1= .在RtAB1A1中，A1F=，在RtAA1D中，AA1=1，A1D=A1C1=，AD= .A1H=.在RtA1FH
7、中，sinA1FH=，A1FH=45.因此知平面AB1D与平面AB1A1所成角为450或1350.【例3】在四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，PA 平面ABCD，设PA=AB=1，BC=2，求二面角B-PC-D的大小.解析1.定义法过D作DE PC于E，过E作EF PC，交BC于F，连接FD，那么 是所求二面角B-PC-D的平面角.求解二面角B-PC-D的大小，只需解DEF即可.所求角为BDPCAEF解析一解析2.垂面法易证面PAB面PBC，过A作AM BP于M，显然AM 面PBC，从而有AM PC，同法可得AN PC，再由AM与AN相交与A得PC 面AMN.设面AMN交PC于Q，那么为二
8、面角B-PC-D的平面角；MAN为它的补角，在三角形AMN中可解.计算较繁.BDPCA解析二解析3.利用三垂线求解把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱PAB-EDC，显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B互补，转化为求二面角E-PC-D.易证面PEDA PDC，过E作EF PD于F，显然PF 面PDC，在面PCE内，过E作EG PC于G，连接GF，由三线得GF PC 即为二面角E-PC-D的平面角，只需解EFG即可.BDPCA解析三EFG解析4. 射影面积法。由解析3知，PFC为 PEC在面PDC上的射影，由射影面积公式得 ，所求角为BDPCA解析四EFG解析5.在面PDC内，分别过D、
9、B作DE PC于E，BF PC于F，连接EF即可.利用平面知识求BF、EF、DE的长度，再利用空间余弦定理求出q 即可.BDPCA解析五思悟提炼：想一想求二面角都用了哪些方法：【例4】由一点S引不共面的三条射线SA、SB、SC，设ASB=a，BSC=b，ASC=g，其中a，b，g均为锐角，那么平面ASB平面BSC的充要条件是cosacosb=cosg证明：必要性如图(1), 过点A作ADSB于D. 平面ASB平面BSC, AD平面BSC过D作DESC于E，连AE，那么AESC在RtADS中，cosa=；在RtDES中，cosb=；(1)gbaESDABC例3在RtAES中，cosg=，由此可得
10、cosacosb=cosg 必要性得证充分性如图2，过点A作AA1SB于A1，过点A1作A1C1SC于C1.在RtAA1S中，cosa=；在RtA1C1S中，cosb=;cosg=cosacosb=,SC1=SAcosg(2)bgaC1C1SA1ABC过A作AC1SC，垂足为C1，在RtAC1S中，SC1=SAcosg由此得SC1=SC1，即C1与C1重合，故SCAC1而SCA1C1，且AC1IA1C1=C1，SC平面AA1C1，SCAA1又SBAA1，SBISC=S，AA1平面BSC，而AA1平面ASB，平面ASB平面BSC充分性得证五提炼总结以为师1.注意线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的
11、转化和应用.2求二面角的方法是：找（或作）平面角，用射影法: cos=；用异面直线上两点间距离公式.3作平面角的方法：（1）定义法（2）三垂线定理； （3）垂面法 .同步练习 9.4二面角、面面垂直【选择题】1. PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A、B的任一点，那么以下关系不正确的选项是 ( )A PABC B ACPB C PCBC D BC平面PAC2在边长为a的正三角形ABC中，ADBC于D，沿AD折成二面角BADC后，BCa，且二面角BADC的大小为 （ ）A30 B.45 C60 D903在1200的二面角 内，有一点P到面、的距离分别是6和9 ，那么点P到棱l的距
12、离等于 （ ）A3 B. C. 2 D. 12【填空题】4.设a、b是异面直线，、是两个平面，且a，b，a，b，那么当_（填上一种条件即可）时，有.5(2023浙江)设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAB于E(如图)现将ADE沿DE折起，使二面角ADEB为45，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，那么M、N的连线与AE所成角的大小等于_6一条直线与直二面角的两个面所成的角分别是和，那么的范围是_答案提示： 1-3. BCB; 4. ab; 5. ; 6.0，90； 提示:3. l平面PAB于C,PC是PAB外接圆直径，用余、正弦定理.【解答题】7在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底
13、面三角形ABC为等腰直角三角形，且ABC=90 ，E为C1C的中点 ，F是BB1上是BF=BB1，AC=AA1=2,求平面EFA与面ABC所成角的大小答案： arctan8矩形ABCD中,AB=1, BC=(0),PA面ABCD,PA=1（1）问BC边上是否存在一点Q，使得PQQD并且说明理由（2）假设BC边上有且只有一个点Q使得PQQD，求这时二面角QPDA大小DBACPQ解：（1） a=2时只有一点；a2时有两点；a2时没有点；（2）arctan9（2022天津） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.（）证明PA/平面EDB；（）证明PB平
