1、5 控制系统稳定性分析控制系统稳定性分析 5.1系统稳定性的基本概念系统稳定性的基本概念 5.2系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件 5.3代数稳定性判据（代数稳定性判据（RouthRouth判据、判据、Hurwitz Hurwitz 判据）判据）5.4乃奎斯特稳定性判据（乃奎斯特稳定性判据（NyquistNyquist判据）判据）5.5应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性 5.6由伯德图判断系统的稳定性由伯德图判断系统的稳定性 5.7控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性 5.1系统稳定性的基本概念系统稳定性的基本概念 1.单摆单摆 2.闭环控制系统的稳
2、定性问题闭环控制系统的稳定性问题 定义定义 系统受扰动后能否恢复原来的状态系统受扰动后能否恢复原来的状态 5.2 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件 N(s)到到Xo(s)的传递函数：的传递函数：+-1G s+2Gs H s IXs N s OXs 120111120111mmommnnnnXsG sb sbsbsbN sG s G s H sa sa sasa 10111011mmmmOnnnnb sbsbsbXsa sa sasa设设n(t)为单位脉冲函数，为单位脉冲函数，1N s 222222jjiijijjjjjjde scsssss n(t)为输入时，系统输出为：为输入时，系统输出
3、为：1s2212ss222ssste221sin11tet22211sin1arctan1tet 2 sin1ijjtoiitjjjjjxtf eg et 如果系统稳定，应有如果系统稳定，应有 0otx t0,0ijj 即即 系统输出的时域表达式系统输出的时域表达式:10sss,的根:222222221,20224412ssssj 的根:0,0ijj 为系统闭环特征方程式的根的实部,控制系统稳定的充分必要条件是：控制系统稳定的充分必要条件是：闭环特征方程式的根全部具有负实部闭环特征方程式的根全部具有负实部 系统特征根即闭环极点，系统特征根即闭环极点，故也可以说充要条件为故也可以说充要条件为 极
4、点全部在极点全部在ss平面的左半面平面的左半面 为系统的特征根为系统的特征根 12,ns ss基于方程式的根与系数的关系 5.3 代数稳定性判据代数稳定性判据 012111000000nnnnnaaaasssaaaassssss10110nnnna sa sasa设系统特征方程为设系统特征方程为 复数根与系数的关系：复数根与系数的关系：112021 21 31031 2 31 2 42101 2 3210;1nnnnnnnnnnnasssaas ss sssaas s ss s ssssaas s ssssa （2）特征方程的各项系数的符号都相同。（1）特征方程的各项系数 (i=0，1，2，n
5、)。0ia 要使全部特征根均具有负实部，必须满足：要使全部特征根均具有负实部，必须满足：ia 一般取正值，一般取正值，则上述两条件简化为则上述两条件简化为 0ia 必要条件！必要条件！02461135721234312342121101nnnnsaaaasaaaasbbbbsccccsuusvsw充要条件：充要条件：如果如果“劳斯阵列劳斯阵列”中第一列所有项均为正，则系统稳定。中第一列所有项均为正，则系统稳定。劳斯阵列：劳斯阵列：120311140521160731a aa abaa aa abaa aa aba其中 131 211151 321171 4311 21 211baabcbbaa
6、bcbbaabcbcbbcdc实部为正实部为正的特征根数的特征根数 劳斯阵列中第一列的系数符号劳斯阵列中第一列的系数符号改变的次数改变的次数。例例:设控制系统的特征方程式为设控制系统的特征方程式为 试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。0516178234ssss431751618ss劳斯阵列第一列中劳斯阵列第一列中 系数符号全为正，系数符号全为正，所以控制系统稳定。所以控制系统稳定。解：解：首先首先由方程系数可知由方程系数可知满足稳定的满足稳定的必要条件（系数必要条件（系数均大于均大于0 0）。0516178234ssss2515s05s1403s其次，排劳
7、斯阵列其次，排劳斯阵列 例2 设控制系统的特征方程式为 试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。43210133241332sssss03432234ssss解：由方程系数可知已满足稳定的必要条件。解：由方程系数可知已满足稳定的必要条件。排劳排劳斯阵列斯阵列 第一列系数改变符号第一列系数改变符号2次，次，闭环系统的根中有闭环系统的根中有2个实部个实部为正，为正，控制系统不稳定。控制系统不稳定。二阶系统特征式为二阶系统特征式为 ，劳斯，劳斯表为表为 2012a sa sa2210120aasssaa故故二阶系统稳定的充要条件二阶系统稳定的充要条件是是 0120,0,0aaa 对于特征方程阶次低（对于
8、特征方程阶次低（n3n3）的系统，劳）的系统，劳斯判据可简化：斯判据可简化：三阶系统特征式为三阶系统特征式为 ，劳斯表劳斯表:320123a sa sa sa32201120313031aaa aa aasasassa01231203,0,a aa aaaaa故故三阶系统稳定的充要条件三阶系统稳定的充要条件是是 例例 设某反馈控制系统如下图所示，试计算使设某反馈控制系统如下图所示，试计算使系统稳定的系统稳定的K值范围。值范围。12oiXsKXss ssK解：系统闭环传递函数为解：系统闭环传递函数为+-12Ks ss iXs oXs3212320s ssKsssK02 31KK 特征方程为特征方
9、程为 根据根据三阶系统稳定的充要条件三阶系统稳定的充要条件，可知使系统稳定须满足可知使系统稳定须满足 故使系统稳定的故使系统稳定的K值范围为值范围为 06K10221ss例例:设控制系统的闭环特征方程式为设控制系统的闭环特征方程式为 用劳斯判据判断稳定性。用劳斯判据判断稳定性。4322210ssss 劳斯阵列表劳斯阵列表 4311122ss符号改变符号改变2次，次，2个正实根。个正实根。20()1s32220sss 3210112220ssss无正实根，无正实根，有虚根。有虚根。6543182016212160168000ssss例:设控制系统的闭环特征方程式为 用劳斯判据判断稳定性。6543
10、228122016160ssssss劳斯阵列表 临界稳定临界稳定 21038841243sss 4268A sss 3412dA sssds101100,0nnnna sasasaa13502413502412000nnnaaaaaaaaaaaaaaa nn行列式：行列式：赫尔维茨赫尔维茨稳定性判据稳定性判据 系统稳定的充要条件：系统稳定的充要条件：各阶主子行列式均各阶主子行列式均 00 即：即：110a 132020aaaa 13530241300aaaaaaaa 例例:设控制系统的特征方程式为设控制系统的特征方程式为 试应用试应用赫尔维茨稳定判据赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性。判断系统的
11、稳定性。0516178234ssss00008816160117575011 解：由方程系数可知解：由方程系数可知满足稳定的必要条件。满足稳定的必要条件。各系数排成行列式各系数排成行列式 180 816001175000816001175 由于由于 故该系统稳定。故该系统稳定。281601 17 38160117500816 代数稳定性判据使用的多项式代数稳定性判据使用的多项式 是系统是系统闭环闭环特征多项式。特征多项式。例：一个反馈控制系统的特征方程为例：一个反馈控制系统的特征方程为 s3+5Ks2+(2K+3)s+10=0,试确定使该闭环系统稳定的试确定使该闭环系统稳定的K值值。劳斯判据劳
12、斯判据的不足：的不足：定性定性较难从量上判断系统的稳定程度较难从量上判断系统的稳定程度 必须知道系统的闭环传递函数必须知道系统的闭环传递函数 Nyquist稳定判据稳定判据 根据开环频率特性判断闭环稳定性根据开环频率特性判断闭环稳定性 对含有延迟环节的系统无效对含有延迟环节的系统无效 F ssa sReImOFReImO F ssaaCC1.1.a 为复数为复数 C 为顺时针方向为顺时针方向 sF s5.4乃奎斯特稳定性判据乃奎斯特稳定性判据 如果如果 C 包围包围 a，则，则 C 顺顺时针包围原点时针包围原点1 1圈；圈；如果如果 C 不包围不包围 a，则，则C不包围原点。不包围原点。sRe
13、ImOaCFImO F ssaC 1F ssasReImOaCFReImO 1F ssa2.2.ReImOReImOCsReImOaCReImO 1F ssaReImOFReImO 1F ssa如果如果 C 包围包围 a，则，则 C 逆逆时针包围原点时针包围原点1 1圈；圈；如果如果 C 不包围不包围 a，则，则C不包围原点。不包围原点。12zF ssasasasReImOCFReImOC?C包围包围z z个零点，个零点，C绕原点绕原点 顺时针绕原点顺时针绕原点1 1圈，角度增量圈，角度增量 2顺时针顺时针z z圈圈 121pF ssasasasReImOCFReImOC?C包围包围1 1个极
14、点，个极点，C 逆时针绕原点逆时针绕原点1 1圈圈 C包围包围p p个极点，个极点，C绕原点绕原点 逆时针逆时针p圈圈 1212mnsasasaF ssasasa F(s)有有m个零点，个零点，n个极点，个极点，在在s平面上的平面上的C顺时针包围了其中顺时针包围了其中z个个零点和零点和p个极点，个极点，映射定理映射定理 z p圈。圈。则在则在F平面上的平面上的C顺时针包围原点顺时针包围原点 反馈控制系统反馈控制系统 开环传递函数开环传递函数 1212,B sBsG sH sA sA s 1212B s BsG s H sA s A s+-G s H s闭环传递函数闭环传递函数 11121211
15、212211B sG sA sB s A sB s BsG s H sA s A sA s A sB s Bs闭环稳定闭环稳定闭环传递函数右极点个数为闭环传递函数右极点个数为0 0 111222A s AB s AsB s Bss 1212A s A sB s B s 右零点个数为右零点个数为0 0 12121212121A s AsA s AsB s BsB sAssABs 逆时针包围原点的圈数逆时针包围原点的圈数 =开环右极点个数开环右极点个数 1 G s H s 顺时针绕顺时针绕 s 右半平面的曲线，经过右半平面的曲线，经过 1F sG s H s 的映射，的映射，Fjj R ReImO
16、sReImOD 1F sG s H s FsG s H sF(s)包围原点的圈数包围原点的圈数 =F(s)包围包围-1点的圈数点的圈数 F-1NyquistNyquist稳定判据稳定判据 在在s平面作包围右半平面的平面作包围右半平面的D形曲线，形曲线，如果开环传递函数的如果开环传递函数的Nyquist图逆时针包围图逆时针包围 (1,j0)1,j0)点的圈数等于开环右极点的个数，点的圈数等于开环右极点的个数，则系统稳定。则系统稳定。充要条件充要条件 ,20126KG s H sKsss-1-0.500.511.52-1.5-1-0.500.511.5Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis右极点数：右极点数：0 0 逆时针包围圈数：逆时针包围圈数：0 0 稳定稳定 ,200126KG s H sKsss-505101520-15-10-5051015Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-2-1.5-1-0.50-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81Nyquist DiagramReal
