1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学大 学 数 学（一）第二十七讲 广义积分脚本编写：刘楚中教案制作：刘楚中湖南大学高等数学第五章 一元函数的积分本章学习要求：熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式.熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法.了解利用建立递推关系式求积分的方法.理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系.熟悉牛顿莱布尼兹公式.理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法.能熟练运用牛顿莱布尼兹公式计算广义积分。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分表达和计算一些几何量
2、与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。第五章 一元函数的积分第五节 广义积分 一、无穷区间上的积分 二、瑕积分 函数四、值三、广义积分的柯西主我们前面讨论的积分是在有限区间上的有界函数的积分.在科学技术和工程中，往往需要计算无穷区间上的积分或者计算不满足有界条件的函数的积分，有时还需计算不满足有界条件的函数在无穷区间上的积分.这就需要我们将定积分的概念及其计算方法进行推广.我们将运用极限的方法来完成这个工作.一、无穷积分 无穷区间上的广义积分 .),)(上有定义在设函数+axf .)
3、,()(,记且AaRxfaARA ,d)(limd)(+=AaAaxxfxxf .),)(上的无穷积分在称之为+axf限值称此无穷积分收敛，极若式中的极限存在，则 该无穷积中的极限不存在，则称即为无穷积分值；若式 .分发散1.无穷积分的概念 类似地可定义：.)(d)(limd)()1(bBxxfxxfbBBb=+=d)(d)(d)()2(ccxxfxxfxxf .d)(limd)(lim +=AcAcBBxxfxxf.d)(d)(d)(收敛则称同时收敛，与若+xxfxxfxxfcc .d)(,d)(d)(发散则至少有一个发散与若+xxfxxfxxfcc d)(的可加性，而言，由定积分对区间对+
4、xxf .0 .=cc为方便起见，通常取值无关与显然其收敛性例1解 .d 0 2+xexx计算+=AxAxxexxex 0 0 d limd 22 2xu=令+=2 0 d21limAuAue20 )(21limAuAe+=)2121(lim2+=+AAe .21=能否将这里的书写方式简化？)()(的一个原函数，则约定是为书写方便起见，若xfxF .)()(lim )(d)(0 aFxFxFxxfxa=+.)(lim)()(d)(xFbFxFxxfxbb=.)(lim)(lim )(d)(xFxFxFxxfxx+=这样就将无穷积分的计算与定积分的计算联系起来了.例2解 .1d 0 2+xx计算
5、+=+0 0 2 arctan1dxxx 0arctanarctanlim=+xx .2=例3解 .1d 2+xx计算+=+arctan1d 2xxx arctanlimarctanlimxxxx+=)2(2=.=Oxy211xy+=1例4解 .d1 0 2+xxx计算+=+02 0 2)1 ln(21d1xxxx 0)1 ln(21lim2+=+xx ,+=.d1 0 2发散故积分+xxx例5解 .dcos 0 +xx计算+=0 0 sindcosxxx,0sinsinlim=+xx .dcos sinlim 0 发散不存在，故原积分由于+xxxx例5解 )0(d 的敛散性，积分讨论+axx
6、Pap .为任意常数其中P :1 时当=P|lnd +=aaxxxaxxln|lnlim=+,+=.1 积分发散时，故=Pp :1 时当P+=apapxxx 1d1 .1 ,1 ,1 ,1 +=ppapp 发散 收敛综上所述，.1 1 时发散时收敛；当积分当ppP )0(d +axxPap积分2.无穷积分的基本运算性质 均存在，则设以下所有出现的积分 .d)(d)(d)()2(Rcxxfxxfxxfccaa+=+.d)(d)(d)()()3(+=aaaxxgxxfxxgxf .d)()()()(d)()()4(+=aaaxxvxuxvxuxxvxu .)5(分的换元法进行计算无穷积分也可按照定
7、积 .d)(d)()1(+=aaxxfxxf .d)(d)(,)()(),)6(+aaxxgxxfxgxfa则上若在其它类型的无穷积分的情形类似于此.例6解 .dln 1 2+xxx计算 运用分部积分法xln21xx1x1+=1 21 1 2d1 lndlnxxxxxxx01lim lnlim=+xxxxx罗+=1 2dxx+=1 1x .1=例7解 .)0()(d 2 2/322+aaxxa计算 ,23 :,2 :,sec 故时则令+=taxtax tan dtansec )(d2/3/33 2 2/322=+tatttaaxxa=2/3/22sin dcost 1tta sin 11/2/
8、32ta=.3 322a=)(原积分收敛例8解 .1 d 0 4+xx计算 dd 1 2，则令ttxtx=，故时，且+0 :0 :tx+=+=+0 42 0 42 0 41d)11(1d1dttttttxx+=0 4 0 42d11d11ttttt,d11d 1 11 0 4 0 222+=xxtttt+=+0 222 0 4 ,d 111 211d ttttxx故 ,d)11 (d ,1 2ttuttu+=则令 ,:0 :从而，时且+ut+=+2 0 42d 211duuxx+=2arctan2121u .22222121=3.无穷积分敛散性的判别法 :,定义式写成下面的形式我们可以将无穷积
9、分的实际上;d)(limd)(+=xaxattfxxf.d)(limd)(=bxxbttfxxf .函数来进行有关的讨论这样可以利用积分上限定理 .0)(,),()(+xfaCxf且设函数 ),d)()(+=attfxFxa在若积分上限函数 .d)(,收敛则无穷积分上有上界+axxf证 ,0)(,),()(所以且因为+xfaCxf .),)(上单调增加在积分上限函数+axF ,),)(从而上有上界在又已知函数+axF d)()(=xattfxF .),由极限存在准则上单调增加且有上界在+a .d)(lim)(lim x存在可知极限+=xaxttfxF .d)(收敛即无穷积分+axxf定理（比较
10、判别法）,),)(,)(aARAaxgxf+上有界在设函数 0)()(，xfxg .d)(d)()1(也收敛收敛时，积分当则+aaxxfxxg .d)(d)()2(也发散发散时，积分当+aaxxgxxf ,),()(),(且满足AaRxgxf证 )()(0 ,得时由xgxfxa+d)()1(，则下列极限存在收敛若积分+axxg ,d)(d)(0 xaxattgttf ,积分上限函数从而 .),d)()(上有上界在+=attgxGxa ,),d)()(上有上界在+=attfxFxa .d)(收敛故积分+axxf.d)(lim Ittfxax=+,故可知限过程中必有界由于有极限的量在该极 .)2(
11、运用反证法 ,d)(,d)(收敛积分发散时如果+aaxxgxxf .d)(:)1(收敛立即可得出矛盾则由+axxf .,之一积分是重要的比较标准敛散性的重要方法穷积分比较判别法也是判别无与级数的情形类似P定理（比较判别法的极限形式法）,),),)(,)(+aAaxgxf上的非负函数为定义在设 .)A ,()(,)(aRxgxf d)(d)(,0 )1(同时与无穷积分时当+aaxxgxxf .,或同时发散收敛 ,)()(lim 那么若有极限=+xxfx .d)(,d)(,0 )2(收敛则收敛无穷积分时当+=aaxxfxxg .d)(,d)(,)3(发散则发散无穷积分时当+=aaxxfxxg例9解
12、 .1 d 1 34的敛散性判别无穷积分+xx 由于 1 1 1 103/43434xxx=+,d1 134 1 3/4故收敛积分的而+=xxPp .1 d 1 34收敛无穷积分+xx读者不妨自己用比较判别法的极限形式进行判别.定理（柯西极限判别法）积分综合而成由比较判别法与P .0)(,)0(),()(+xfaaCxf且设 ,)(lim ,1 则存在使得若存在常数xfxppx+;d)(收敛无穷积分+axxf则或者若 ,)(lim 0)(lim +=+xfxIxfxxx .d)(发散无穷积分+axxf证 :,)(lim ,1 则由极限的定义存在时设bxfxppx=+,11有时当xxax ,1|
13、)(|bxfxp ,1)(0 Mbxfxp=+故 ).()(0 1+xxxMxfp即有 ,d 1 1故收敛积分的由于+xpxxMPp .d)(1收敛无穷积分+xxxf .d)(d)(d)(d)(11收敛可知由+=axxaaxxfxxfxxfxxf则或者若 ,)(lim 0)(lim +=+xfxIxfxxx ,2|)(|,11故有时当IIxfxxxax ,2 )(1MIxfx=).,)(lim(Ixfxx可取任意正数作为时+=+).()(11+xxxMxf即有 ,d 1 11故发散积分的由于+=xxxMPp .d)(1发散无穷积分+xxxf .d)(d)(d)(d)(11发散可知由+=axxa
14、axxfxxfxxfxxf例10解 .d arctan 1 的敛散性判别无穷积分+xxx 因为 ,2arctanlimarctanlim=+xxxxxx .d arctan 1 是发散的故无穷积分+xxx例11解+1 23 .1d 的敛散性判别无穷积分xxx 因为 ,1lim1lim2223+=+=+xxxxxxxx .1 d 1 23是发散的故无穷积分+xxx例12解+1 2 .1 d 的敛散性判别无穷积分xxx 因为)12(,11 lim1 1lim222=+=+pxxxxxxx .1 d 1 2收敛故无穷积分+xxx下面介绍两个有关函数乘积的无穷积分敛散性的判别法定理（阿贝尔判别法）.)
15、,)(,)(上有定义在设+axgxf ),)(,d)(上在函数收敛若积分+axgxxfa .d)()(,收敛则积分有界单调+axxgxf有关证明请参看微积分学教程第二卷第三分册.M.菲赫金哥尔茨北京大学高等数学教研组译人民教育出版社1954.定理（狄利克雷判别法）.),)(,)(上有定义在设+axgxf，存在有界的原函数上若在 d)()()(),=+xattfxFxfa .d)()(,0)(lim )(x收敛则积分单调减少且+=axxgxfxgxg有关证明请参看微积分学教程第二卷第三分册.M.菲赫金哥尔茨北京大学高等数学教研组译人民教育出版社1954.例13解 d)(时，收敛，则当如果积分+x
16、xxfa 0)(吗？一定有xf .不一定 .dsin 1 2+=xxI例如，考虑积分,2dd ,ttxtx=则令+=1 1 2 dsin21dsintttxxI，且显然，0 1lim)(lim ,1)()1,=+ttgttgtt .)t(1 ,2|cos1cos|cos|dsin|)(|1 1 +=tuuutFtt .sinlim 2不存在原积分收敛，但由狄利克雷判别法可知xx+4.无穷积分的绝对收敛性 ,d|)(|则称无穷积分收敛若积分+axxf .d)(为绝对收敛的+axxf .d)(,为条件收敛的则称积分收敛+axxf d)(,d|)(|+aaxxfxxf而积分发散若积分 .),)(,d)(上绝对可积在也称为绝对收敛时+axfxxfa定理 ,d|)(|,),()(收敛若设函数+axxfaCxf .d)(必收敛则+axxf .定收敛绝对收敛的无穷积分一证 由于 ,|)(|2|)(|)(0 xfxfxf+,d|)(|故无穷积分收敛又+axxf .d)|)(|)(收敛+axxfxf ,|)(|)|)(|)()(从而但xfxfxfxf+=,d|)(|d)|)(|)(d)(+=aaaxxf
