1、第54讲向量的数量积、向量积与混合积问题的引入向量之间的位置关系平行垂直共面面积与体积的计算平行四边形的面积平行六面体的体积=？=？第54讲向量的数量积、向量积与混合积问题的引入ABF常力做功力作用在杠杆上的力矩第54讲向量的数量积、向量积与混合积主要内容向量的数量积向量的向量积向量的混合积第54讲向量的数量积、向量积与混合积向量的数量积定义1 设?是三维向量空间?中两个向量,则称?一般地，设?是 维向量空间?中两个向量,则 的数量积定义为?为向量 的数量积（点积或内积）.记作第54讲向量的数量积、向量积与混合积向量的数量积?cos?定理1设，为三维向量空间?中的向量，且夹角为(),则关于它们
2、的数量积有ABOABF向量，的夹角也记作常力做功问题第54讲向量的数量积、向量积与混合积向量的数量积对于三维向量,有坐标形式对于三维非零向量 ，由定理1可得?柯西-施瓦茨不等式第54讲向量的数量积、向量积与混合积向量的数量积对于三维空间的基向量,有特别地，当?，则若向量 与 的夹角为?，则称向量 与 正交或垂直，并记作?第54讲向量的数量积、向量积与混合积向量的数量积数量积运算规律(1)交换律(2)结合律(3)分配律(4)?第54讲向量的数量积、向量积与混合积向量的数量积例1已知三点，求【例1解】即向量与的夹角?第54讲向量的数量积、向量积与混合积向量的数量积例2证明三角形的三条高交于一点.例
3、3已知向量 的夹角?且求?因此【例3解】第54讲向量的数量积、向量积与混合积向量的数量积向量的投影一般地，设 为非零向量，为向量 和 的夹角，称为向量 在 上的投影，记作?或?，即：?第54讲向量的数量积、向量积与混合积向量的数量积一般地，设 为非零向量，为向量 和 的夹角，称为向量 在 上的投影，记作?或?，即：?由,有?且同理，如果 为非零向量,则有?，即?=?向量的投影第54讲向量的数量积、向量积与混合积向量的数量积【例4解】例4设均匀流速为 的流体流过一个面积为的平面域，且 与该平面域的单位垂直向量 的夹角为，求单位时间内流过该平面域的流体的质量(流体密度为).单位时间内流过的体积为单
4、位时间内流过的质量为为单位向量第54讲向量的数量积、向量积与混合积向量的向量积233112123233112123ijkijkaaaaaaaaabbbbbbbbb定义2设?是三维向量空间?中两个向量，则称向量为 与 的向量积（亦称叉积或外积）,记作，即第54讲向量的数量积、向量积与混合积向量的向量积例5证明：关于向量积，有(1)与、分别垂直;第54讲向量的数量积、向量积与混合积向量的向量积例5证明：关于向量积，有(2)、与服从右手法则;(1)与、分别垂直;第54讲向量的数量积、向量积与混合积向量的向量积关于向量积，有(2)、与服从右手法则;(1)与、分别垂直;(3)，其中 为 与 的夹角.ba
5、O当 为非零向量时,的长度等于由 所确定的平行四边形的面积.即第54讲向量的数量积、向量积与混合积向量的向量积力 作用在杠杆上的力矩为关于向量积，有(2)、与服从右手法则;(1)与、分别垂直;(3)，其中 为 与 的夹角.第54讲向量的数量积、向量积与混合积向量的向量积向量积运算规律：(1)反交换律(2)结合律(3)分配律(4)(5)两非零向量/第54讲向量的数量积、向量积与混合积向量的向量积例6已知三角形三个顶点为A，(1)求垂直于这个三角形所在平面的单位向量.(2)求这三角形的面积.【例6解】(1)?第54讲向量的数量积、向量积与混合积向量的向量积例6已知三角形三个顶点为A，(1)求垂直于
6、这个三角形所在平面的单位向量.(2)求这三角形的面积.【例6解】(2)?第54讲向量的数量积、向量积与混合积向量的混合积定义3已知三向量 称数量为 的混合积.几何意义以 为棱作平行六面体,底面积:高:故平行六面体体积为则其记作=|第54讲向量的数量积、向量积与混合积向量的混合积混合积的坐标表示设?,则(xyzxyzxyzaaabbbccc第54讲向量的数量积、向量积与混合积向量的混合积性质(1)三个非零向量 共面的充要条件是(2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)第54讲向量的数量积、向量积与混合积向量的混合积例7证明四点 共面.【例7解】混合积三向量共面第55讲 平面及其方程问题的引入第55
7、讲 平面及其方程问题的引入通过网格精确描述和生成大飞机复杂外形第55讲 平面及其方程主要内容平面的点法式方程平面的一般方程平面的参数方程点到平面的距离第55讲 平面及其方程平面的点法式方程?设平面 通过已知点?且垂直于非零向量设为平面 上任一点?平面 的点法式方程 平面的法向量?平面的法线第55讲 平面及其方程平面的点法式方程平面的三点式方程例1求过点?,法向量为的平面方程.例2求过不在同一直线上的三点?及?的平面方程.?【例1解】即第55讲 平面及其方程平面的点法式方程特别,当平面与三坐标轴的交点分别为?,0,0?,?0,?,0?,?0,0,?时，平面方程为其中分别称为在三个坐标轴上的截距.
8、平面的截距式方程第55讲 平面及其方程平面的一般方程?平面的三点式方程点法式方程平面的截距式方程?平面的一般方程第55讲 平面及其方程平面的一般方程以上两式相减,得平面的点法式方程任取一组满足上述方程的数?，则设有三元一次方程?满足三元方程的点所构成的图形表示一个法向量为的平面.平面一般方程?第55讲 平面及其方程平面的一般方程特殊情形：当时,表示 通过原点的平面;当时,的法向量平面平行于轴;表示表示平行于轴的平面;平行于轴的平面;?第55讲 平面及其方程平面的一般方程表示表示表示平行于面的平面;平行于面 的平面；平行于面 的平面.当时,的法向量垂直于 和，特殊情形：?第55讲 平面及其方程平
9、面的一般方程例3求过轴及点的平面方程.例4求过点且垂直于二平面和的平面方程.设过 轴的平面为【例3解】点?的坐标满足上述方程所求平面的方程为（如取）/(所求平面方程法向量【例4解】第55讲 平面及其方程平面的参数方程面可以表示为集合:如果以为参数，则面可以描述为：xOy 面：xOy 面：第55讲 平面及其方程平面的参数方程对一般的平面方程，可以表示为集合(设)如果以为参数，平面可以描述为：第55讲 平面及其方程平面的参数方程设?是平面内两个已知不平行的非零向量,?是平面内的已知点,对应的分量形式为称上式为平面的参数方程.?一点，有那么对平面内的任意第55讲 平面及其方程平面的参数方程例5设一平
10、面经过三点，试写出该平面的参数方程.a=b=?(1,1,1)?【例5解】取第55讲 平面及其方程点到平面的距离设点?是平面外一点，求到平面的距离P?点到平面的距离公式?第55讲 平面及其方程点到平面的距离例6设为一平面在坐标轴上的截距，是原点到该平面的距离，证明：?第56讲 空间直线及其方程问题的引入高楼大厦的轮廓电视塔的主体结构第56讲 空间直线及其方程主要内容直线的参数方程直线的一般方程点到直线的距离第56讲 空间直线及其方程直线的参数方程设直线过已知定点?，其方向向量为，其中是不全为零的常数.s?直线的参数方程设为直线 上任一点?/第56讲 空间直线及其方程直线的参数方程?直线的对称式方
11、程或标准方程?直线的参数方程?第56讲 空间直线及其方程直线的参数方程直线的向量方程?直线的参数方程?s第56讲 空间直线及其方程直线的参数方程例1求过两点?与?的直线的标准方程.过两点?与?的直线的标准方程为?直线的两点式方程问题：如何写接两点?与?线段?的方程？第56讲 空间直线及其方程直线的一般方程?直线 可视为两平面?和?交线：直线的一般式方程?：?：?直线的对称式方程第56讲 空间直线及其方程直线的一般方程例2化直线的一般方程为标准方程.【例2解】首先求直线上一点?=1求得直线上一点?，直线的方向向量为?直线的标准方程为第56讲 空间直线及其方程直线的一般方程直线 可视为两平面?和?交线：直线的一般式方程?(,不同时为0)过直线 的平面束方程：?思考：如果或，以上平面束方程表示怎样的平面？第56讲 空间直线及其方程直线的一般方程例3求过直线：和点的平面方程.如果过点或，那么平面方程是怎样的呢？【例4解】过直线 的平面束方程为即此为所求平面方程第56讲 空间直线及其方程点到直线的距离设点?是直线?外一点,求点 到直线的距离.?点到直线的距离公式例4 求点到直线的距离.
