1、 第二章函数与极限第一节 函数的极限与性质的极限时一)(,.xfx的极限时二)(,.0 xfxx 三.函数极限的性质右极限的左时四、xfxx)(,.0的极限时一)(,.xfx 由于数列实际上可以看成是定义域为正整数的函数,所以,可望将数列的极限理论推广到函数中,并用极限理论研究函数的变化情形.1 :nxxnn从数列),0(1 xxy与函数的图形可以看出:.01lim ,01limxnxnOxy123 n nxn1xy1 1 :极限的定义：回忆数列nxxnn有时使当若 ,0 ,0NnN|axn记为为极限以时当则称数列成立 ,anxn.limaxnn.)(:Znnfxn数列是一种特殊的函数故可以从
2、形式进行相当与而 ,)(lim lim axfaxxnn :,),(,XNxnxfxn替换为替换为替换为将推广有时使当若 ,0 ,0XxX|)(|axf记为为极限以时当则称函数成立 ,)(,axxf.)(limaxfx有时使当若 ,0 ,0XxX ,)(,极限存在时当则称函数成立xxf ,)(limaxfx|)(|axf的极限函数时)(,.1xfx .)()(xaxf或记为记为为其极限值常数 ,a想想：如何从几何的角度来表示该定义？)(|)(|axfaaxf的几何意义 )(limaxfxOxyay ay ayX)(xfy ,)(,即函数的图时当axfaXx .之间和图形夹在两条平行线ayayO
3、xyay ay ayXX)(xfy .,函数的极限时我们将得到x有时使当若 ,0 ,0XxX ,)(,极限存在时当则称函数成立xxf ,)(limaxfx|)(|axf的极限函数时)(,.2xfx .)()(xaxf或记为记为为其极限值常数 ,a .)(lim )(lim的情形类似的几何意义与axfaxfxxOxyay ay ayXX)(xfy 现在从整体上来看这个图形现在从整体上来看这个图形 ,你有什么想法你有什么想法?0|XxXxXx或Oxyay ay ayXX)(xfy 你能否由此得出 一个极限的定义 和一个重要的定理.0|XxXxXx或 现在从整体上来看这个图形现在从整体上来看这个图形
4、 ,你有什么想法你有什么想法?有时使当若 ,|,0 ,0XxX ,)(,极限存在时当则称函数成立xxf ,)(limaxfx|)(|axf的极限函数时)(,.3xfx .)()(xaxf或记为记为为其极限值常数 ,a由于|x|X 0 x X 或 x X,所以,x 按绝对值无限增大时,又包含了 x 的情形.既包含了 x+,.)(lim)(lim )(limaxfxfaxfxxx及极限的三个定义即可证明该定理.0)(|XXxXxXx或由绝对值关系式:3321lim xxx证明：证证 ,0 ,2121 33xx要 ,|21 3x即要 ,21|3x即 ,|,21 3有时则当故取XxX 2121 33x
5、x成立.由极限的定义可知:.2121lim 33xxx例例1 1.21.11)(2时的极限当讨论函数xxxf解2211 ,1 ,|xxx此时也无限增大无限增大时当无限缩小,可以小于任意小的正数.因而应该有 .011lim2xx下面证明我们的猜想:要由极限的定义 ,0 ,11 11 011 222xxx ,11 2x即要 .11 ,0 ,1 2显然成立则时当xx.11 ,11|,1 2成立时时当xx证 明 过 程怎么写？例例2 2则当取不妨设 ,11 ,)10 (0X有时 ,|Xx ,11 11 011 222xxx .011lim :2xx故由极限的定义可知 这里想得通吗？,)(0 的接近程度
6、的与是用来描述由于axf .,某个正数它小于设故可以在一开始时就假小且它的值可以取得任意 arctan lim xx证明22yxyarctanx由图容易看出：分析 ,2arctanlimxx ,2arctanlimxx .arctan lim 不存在由定理可知：xx 需要证明之处例例3 3 .不存在证 .2arctanlim )1(xx证明：,|2arctan|,0即要要x .2arctan2x ,2arctan2 所以只需证明由于x .arctan2x.2arctan 0 ,2 xx就有时当,tan 2arctan ,20 的单调性及由时当xx .02tanx ,0 ,2tan max ,时
7、则当取综上所述XxX .2arctanlim ,|2arctan|xxx即证 .2arctanlim )2(xx证明：,|2arctan|,0即要要x .2arctan2x ,2arctan2 所以只需证明由于x .2arctanx.2arctan 0 ,2 xx就有时当得的单调性及由时当 ,tan 2arctan ,20 xx .2tan2tanx ,0 ,2tan max ,时则当取综上所述XxX .2arctanlim ,|2arctan|xxx即的极限时二)(,.0 xfxx x x0 时函数的极限,是描述当 x 无限接近 x0 时,函数 f(x)的变化趋势.112)(,0 xxfx时
8、当 f(x)在点 x0=0 处有定义.11)(,1 3xxxfx时当 函数 f(x)在点 x0=1 处没有定义.312 xx例例5 5无限只考虑有无定义在必考虑 ,)(0 xxxxf的变化函数时即接近)(,),(U ,00 xfxxx是否成立。趋势，即不等式|)(|axf我们不这类极限过程时在讨论 ,0 xx 的极限函数时)(,.10 xfxx ,|0 ,0 ,00时当若xx|)(|axf ,)(,0时的极限当为函数则称成立xxxfa .)()()(lim 00 xxaxfaxfxx或记为 :,需要考察的是就是说 ,0去心邻域时的落在点当轴上在xxx )(,是否落在点对应点轴上在xfyyy .
9、邻域内的aOxyay ay ay0 x()(xfy xy(),(U0 xx),U(ay0 x0 x的几何解释 )(lim0axfxxP .lim 00 xxxx证明证证 ,|0 ,00时则当取xx|0 xx .lim ,00 xxxx故成立例例6 6 .82)4(2lim 22xxx证明证 ,0 ,)8(2)4(2 2xx要|)2(|2|2|2|8)2(2|xxx只要 ,|)2(|0 ,2 有时则当故取x ,)8(2)4(2 2xx .82)4(2lim 22xxx即2x例例7 7证 .311lim 31xxx证明 ,0 ,311 3xx要 ,|1|2|2|31|22xxxxxx只要？如何处理
10、它例例8 8 这里|x+2|没有直接的有界性可利用,但又必须设法去掉它.因为 x 1,所以,从某时候开始 x 应充分地接近 1.()0 x211 11+14|2|x1 1取分析分析结论1|1|0 x证 .311lim 31xxx证明 ,0 ,311 3xx要 ,|1|2|2|31|22xxxxxx只要 ,|1|4|1|2|311 3xxxxx于是 ,|1|0 ,4 ,1 min 有时则当取x .311 3xx证毕 ,)1 ,1 (U ,1 ,1 1此时必有时当令xx ,4|2|x例例8 81)与 和 x0 有关,即 =(,x0).一般说来,值越小,相应的 值也越小.2)不等式|f(x)a|0,
11、同 时也要对 x x0 以任何方式进行都成立.3)函数 f(x)以 a 为极限,但函数 f(x)本身可以 不取其极限值 a.考虑两个问题.y=a y=a y=axOyx0 x0+)(xfy 函数在 x0 的左边可以无定义想想这种情形下,函数有极限吗?如何描述这种情形？想想这种情形下,函数有极限吗?y=a y=a y=axOyx0 x0 )(xfy 函数在 x0 的右边可无定义 如何描述这种情形？3.函数的左、右极限,0 ,0 ,00时当若xx|)(|axf记为右极限,时的当为则称成立 )(,0 xxxfa )(lim0axfxx.)0(0axf也可记为,)()(0 xxaxf或,0 ,0 ,0
12、0时当若xx|)(|axf记为左极限,时的当为则称成立 )(,0 xxxfa )(lim0axfxx.)0(0axf也可记为,)()(0 xxaxf或(1)左、右极限均存在,且相等；(2)左、右极限均存在,但不相等；(3)左、右极限中至少有一个不存在.找找范例！函数在点 x0 处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：111211)(2xxxxxxf求)(lim1xfx)(lim1xfxy=f(x)xOy1121在 x=1 处的左、右极限.1lim21xx0)1(lim1xx解例例9 9y=a y=a y=axOyx0 x0+y=a y=a y=aOyx0 x0 )(xfy 对此有什么想法没有？
13、axfxx)(lim0axfxfxxxx)(lim)(lim00 利用|x x0|x x0 和极限的定义,即可证得.。求设)(lim ,1,11,1)(12xfxxxxxfx2)1(lim)(lim 211xxfxx2)1(lim)(lim11xxfxx2)(lim 1xfx解例例1010 .|lim 0 xxx求|lim 0 xxx|lim0 xxx)(lim)(lim00 xfxfxx .|lim 0不存在xxxxxx0lim11lim0 xxxx0lim1)1(lim0 x解例例1111例例1212 .|)(|lim ,)(lim :00axfaxfxxxx则若证明证证,0 ,0 ,)(
14、lim 0所以因为axfxx ,|0 0有时当xx|)(|axf|)(|axf ,得故由极限的定义 .|)(|lim 0axfxx?立该命题的逆命题是否成情形也成立的对 x三、极限定义及定理小结三、极限定义及定理小结 极限定义一览表目标不等式过 程 描 述度 量 极限形式axnnlimaxfx)(limaxfx)(limaxfx)(limaxfxx)(lim0axfxx)(lim0axfxx)(lim00000000时当,0NnN时当|,0XxX时当 ,0XxX时当 ,0XxX时当|0 ,00 xx时当 0 ,00 xx时当 0,00 xx|axn|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)
15、(|axf|)(|axf|)(|axf 极限定义一览表目标不等式过 程 描 述度 量 极限形式axnnlimaxfx)(limaxfx)(limaxfx)(limaxfxx)(lim0axfxx)(lim0axfxx)(lim00000000时当,0NnN时当|,0XxX时当 ,0XxX时当 ,0XxX时当|0 ,00 xx时当 0 ,00 xx时当 0,00 xx|axn|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf0|)(|axfaxfxfaxfxxx)(lim)(lim)(limaxfxfaxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000在以后的
16、叙述中,如果函数 f(x)极限的某种性质与运算对任何一种极限过程均成立,则将使表示对任意一种极限过程的函数用符号)(limxf极限.函数极限的性质与数列极限的性质类似,我们只列举出来,其证明过程请同学们自己看书.1.有界性定理 若 lim f(x)存在,则函数 f(x)在该极限过程中必有界.2.唯一性定理 若 lim f(x)存在,则极限值必唯一.3.保号性定理 极限值的正负与函数值正负的关系 函数值的正负与极限值正负的关系 极限值的正负与函数值正负的关系 ),0(0 ,)(lim 0aaaxfxx若。有)0)(0)(xfxf ),0(0 ,)(lim aaaxfx若,0 0X则,D|0时且当fxXx。有)0)(0)(xfxf 该定理也称为第一保号性定理 ,)(U 0 x则 ,)(U 0时当fDxx极限值正负与函数值正负关系的推论 ),(,)(lim 0cacaaxfxx若 ,)(U 0 x则 ,)(U 0时当fDxx。有)()(cxfcxf ),(,)(lim cacaaxfx若,0 0X则,D|0时且当fxXx。有)()(cxfcxf 作辅助函数 F(x)=f(x)c 再利用定理的
