1、一、连续函数的概念极限形式增量形式第三章 函数的连续性设 f(x)在 U(x0)内有定义,若)()(lim0 0 xfxfxx则称函数 f(x)在点 x0 处是连续的.1.函数连续性的定义(极限形式)函数的连续性是一个局部性的概念,是逐点定义的.是整个邻域函数 f(x)在点 x0 处连续,应该满足以下三点：(1)f(x)在 U(x0)内有定义；(包括在点 x0 处有定义).)()3(0 xfa(极限值等于函数在点 x0 处的函数值)(lim )2(0；存在axfxx)(,(0有极限时xfxx 函数 y=x2 在点 x=0 处是否连续?0lim20 xx 函数 y=x2 在点 x=0 处连续.又
2、且0020 xxxy y=x 2 在 U(0)内有定义,例1解 函数的连续性是通过极限定义的,当然可以 运用 语言描述它.2.连续性的 语言形式设函数 f(x)在 U(x0)内有定义.,若 ,当|x x0|时,有则称函数 f(x)在点 x0 处是连续的.|f(x)f(x0)|0sinx x 00 21x在 x=0 处的连续性.yxO121)(xfy y=sinxyx+1 由图可知,函数在 点 x0 处间断.例6 21)0(f)(lim 0 xfx)(lim0 xfx)(lim)(lim 00 xfxfxx故 x=0 是 f(x)的第一类间断点.将左、右极限存在但不相等的间断点,称为函数的跳跃型
3、间断点.)0 )(处有定义在xxf1)1(lim0 xx0sinlim0 xx解讨论.1 11)(2处的连续性在xxxxf函数在 x=1 无定义,2)1(lim11lim 121xxxxx而故 x=1 为函数的第一类间断点.x=1 为函数的间断点.yxO11P(1,2)y x+1 进一步分析该间断点的特点.例7解补充定义211lim|211xxyxx则函数 f*(x)在 x=1 连续.f*(x)=1 112xxx2 x=1 即定义分析211lim 21xxx由于这种间断点称为可去间断点.处函数值后,可得到一个新的连续函数,故将在且相等,即极限存在,经过补充定义间断点这个间断点的特点是该处的左、
4、右极限存 补充定义f*(x)=)(lim0 xfxx,x=x0 ,)(0 xxxf 跳跃型间断点 可去间断点 第一类间断点 左右极限存在 极限不相等 极限相等、补充定义(2)第二类间断点 凡不属于第一类的间断点,称为函数的第二类间断点.这算定义吗？即左右极限至少有一个不存在的点即左右极限至少有一个不存在的点.讨论函数.0 1)(处的连续性在xxxfxyOxy1在 x=0 无定义,xxf1)(x=0为函数的间断点,1lim)(lim 00 xxfxx又故 x=0为函数的第二类间断点.xxf1)()(lim 0 xfx所以称它为无穷间断点.由于例8解.0 1sin)(处的连续性在讨论函数xxxf在
5、 x=0 处无定义,xxf1sin)(.0 为函数的间断点x又xxfxx1sinlim)(lim00不存在,故 x=0 为函数的第二类间断点.看看该函数的图形.例9解O11xy 1sinxy .1sin)(0 的振荡型间断点为称xxfx 无穷型间断点 其它间断点 第二类间断点左右极限至少有一个不存在左右极限至少有一个为无穷 振荡型间断点 左右极限至少有一个振荡3 连续函数的运算 及其基本性质 ,)(lim0axfxx,)(lim0bxgxx则baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000)0()(
6、lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx的极限存在、函数时设当)()(,0 xgxfxx 1.连续函数的四则运算 设函数 f(x)、g(x),fi(x)在点 x0 处连续,)()(lim00 xfxfxx则),2 ,1()()(lim00nxfxfiixx即,)()(lim00 xgxgxx(1)有限个在点 x0 处连续函数的和仍是一个 在点 x0 处连续的函数.即(2)有限个在点 x0 处连续的函数之积仍是一个在点 x0 处的连续函数.即(3)两个在点 x0 处连续函数的商,当分母不为 零时,仍是一个在点 x0 处连续函数.即2.几个重要定理 这些定理与极限中的
7、定理类似xyy=f(x)y=|f(x)|O若 f(x)在区间 I 上连续,则|f(x)|仍在 I 上连续.x0I,由 f(x)在 x0 的连续性:,当|x x0|时,有|f(x)f(x0)|此时,由绝对值不等式得|f(x)|f(x0)|f(x)f(x0)|0,(或 f(x0)0,使当 xU(x0,)时,有 f(x)0 (或 f(x)0,使当 xU(x0,)时,有若 f(x0)0,推论推论Oxy y =f 1(x)的图形只是 y=f(x)的图形绕直线 y=x 翻转 180 而成,故单调性、连续性仍保持.从几何上看:x=f 1(y)与 y=f(x)的图形相同,连续性保持.从而,单调性、)(1yfx
8、)(xfy)(1xfy设函数 y=f(x)在区间 I 上严格单调增加(减少)且连续,则其反函数)(1yfx在相应的区间 I*=y|y=f(x),xI 上严格单调增加(减少)且连续.(反函数连续性定理)xy2211O增加单调)1 ,1 (arcsinCxy22xy11O增加单调)2 ,2 (sinCxy例11讨论复合函数的连续性如果 y=f(u)在 u0 处连续,则 ,当|u u0|时,有|f(u)f(u0)|再假设 u=(x),且在 x0 处连续,即.lim00uuxx,)()(lim00 xxxx亦即|u u0|=|(x)(x0)|故 对上面的 ,当|x x0|时,有则 ,当|x x0|时,
9、|u u0|=|(x)(x0)|且有（假设可以构成复合函数）|f(u)f(u0)|f(x)f(x0)|0.时,幂指函数 g(x)h(x)也是连续函数.当 g(x)与 h(x)均为连续函数,且 g(x)0eeexxxxxx1111lim1111lim(3)1 (eeexxxxxx1sin1lim100)sin1(lim)1 (2)(1)1),5(5)52(lim2cos20baxxxx例15四.初等函数的连续性 基本初等函数在其定义域内是连续的.初等函数在其有定义的区间内连续.注意两者的区别！求xxxxarctan)2ln(lim21xxxxarctan)2ln(lim2141arctan)12
10、ln(12 连续性给极限运算带来很大方便.例16解,)2(2lim)(2的连续性讨论函数nnnnxxxf.0 ,x其中有时当 ,210 x.4)2(222nnnnnxx有时当 ,221 x.3221)2(22)2(222nnnnnnnnxxxxxxx注意夹逼定理例17解解有时当 ,2 x.3122)2(222222nnnnnnnnxxxxxxx,14lim ,13lim ,12lim nnnnnn由于xxxxxxf2 ,21/2 ,2 2/10 ,1 )(2故由于初等函数在其有定义的区间内是连续的,夹逼定理.),2(),2 ,21(),21 ,0 )(,内是连续的在所以xf,1)(lim 21
11、xfx又,1)(lim 21xfx,4)(lim 2xfx,4)(lim 2xfx,1)21(f,4)2(f.),0 ()(,Cxf从而,1lim)(2212nnnxbxaxxxf设.),()(,上连续在取何值时问xfba1 ,211 ,211|,1|,1lim)(22212xbaxbaxxxbxaxxbxaxxxfnnn,),1(),1 ,1(),1,()(上为初等函数在由于xf所以在其上是连续的.例18解 1 )(,),()(xxfxf在只需上连续在要处连续即可.即应有,)1()(lim)(lim11fxfxfxx,)1()(lim)(lim11fxfxfxx11baba解此方程组得所求:
12、.1 ,0ba得到方程组的表达式由 ,)(xf作业P81-82 4大题 奇数小题6大题往后预习1.最大值和最小值定理3.介值定理4.函数的一致连续性2.零点存在定理1.最大值和最小值定理设 f(x)C(a,b),则 (i)f(x)在 a,b 上为以下四种单调函数时 aObxyaObxyOab xyOabxyy=f (x)a,b,y=f(x)a,b,.)()(max,bfxfbax,)()(min,afxfbax，)()(max,afxfbax.)()(min,bfxfbax此时,函数 f(x)恰好在 a,b 的 端点 a 和 b 处取到最大值和最小值.则则 (ii)y=f(x)为一般的连续函数
13、时xya a1a2a3a4a5a6bmamby=f(x)O1am2am3am4am5am6am(最大值和最小值定理)若 f(x)C(a,b),则它在该闭区间上,至少取到它的最大值和最小值各一次.在定理中,闭区间的条件是很重要的,例如,y=x 在(1,3)内连续,但它不能取到它的最大值和最小值.若 f(x)C(a,b),则 f(x)在 a,b 上有界.xya a1a2a3a4a5a6bmamby=f(x)O1am2am3am4am5am6am 看图就知道如何证明了.推论推论 f(x)在 a,b 上可取到它的最大值 M 和 f(x)C(a,b)故 m f(x)M,xa,b,|f(x)|M*,xa,
14、b,令 M*=max|m|,|M|,则即 f(x)在 a,b 上有界.最小值 m,证二.介值定理axyy=f(x)f(a)bf(b)Of(x)C(a,b),f(a)f(b)0,f()0.先看一个图 描述一下这个现象(根存在定理或零点定理)则至少存在一点 (a,b),使得 f()0.设 f(x)C(a,b),且 f(a)f(b)0,axyy=f(x)f(a)bf(b)O 如何证明？将区间 a,b 等分为 a,a1 和 a1,b,在这两个区间中,选择与 a,b 性质相同的一个,例如,若 f(a1)f(b)0,则选取区间如此下去,小区间的长度趋于零,并且a1,b,然后,对 a1,b 进行等分,并进行
15、选择,又得一个新的小区间.总保持函数区间端点值反号的性质,由函数的连续性,这些小区间的左端点或右端点构成的数列的极限值,就是要求的 (a,b).f(a)=Af(b)=Byy=f(x)Cy f()=C下面看看,坐标平移会产生什么效果.xxxxOabxabxO如何描述这个现象?(介值定理)设 f(x)C(a,b),f(a)A,f(b)B,且 A B,则对于 A,B 之间的任意一个数 C,至少存在一点 (a,b),使得 f()=C.令 (x)=f(x)C 故由根存在定理,至少存在一点 (a,b)使 则 (x)C(a,b)C 在 A,B 之间 (a)(b)=(f(a)C)(f(b)C)=(A C)(B
16、 C)0yBCAOabbxx证()=0,即 f()=C.最大、最小值定理介质定理？引入设 f(x)C(a,b),则 f(x)取得值 m 之间的任何一个值.推论推论介于其在 a,b 上的最大值 M 和最小.)()()()(21nxfxfxffn设 f(x)C(a,b),证明:至少存在一点 x1,xn,使得例1a x1 x2 xn b,证故由 ),()(baCxf ,)(max)()(min,Mxfxfmxfbaxbax,)()(1Mnxfxfmn从而由介值定理,至少存在一点 (x1,xn),使.)()()(1nxfxffn证明方程 x5 3x=1,在 x=1 与 x=2 之间令 f(x)=x5 3x 1,x1,2,则 f(x)C(1,2),又 f(1)=3,f(2)=25,f(1)f(2)0,b 0)设 f(x)=x a sin x b,x 0,a+b,则 f(x)C(0,a+b ),而 f(0)=0 a sin 0 b=b 0,则 f(0)f(a+b)0,由根存在综上所述,方程在(0,a+b 上至少有一个根,三*.函数的一致连续性设函数 f(x)在 U(x0)内有定义.,若 ,当|x
